Konzultační cvičení F1030, PS 2022
Dynamika hmotných bodů
Úloha č. 1.
Kostka je vržena vodorovnou rychlostí o velikosti v po nakloněné rovině o úhlu sklonu α.
Koeficient dynamického tření mezi kostkou a nakloněnou rovinou je μ.
a) Určete, která tělesa a jakými silami působí na kostku.
b) Zapište druhý Newtonův zákon pro kostku.
c) Určete oskulační kružnici trajektorie kostky v počátečním okamžiku.
Řešení:
a) Na kostku působí Země tíhovou silou GF mg , nakloněná rovina tlakovou silou ( )N N t
(kolmou v každém okamžiku k nakloněné rovině, její velikost (v závislosti na čase) předem
neznáme) a dynamická třecí síla
( )
( ) ( )
( )
d
v t
T t N t
v t

 
  
 
(směřuje v každém okamžiku proti
rychlosti).
b) Druhý NZ pro kostku ve vektorovém tvaru: dN
v
m m mgT Na N
v
g       . Pohyb se
děje v nakloněné rovině – tomu odpovídá i vhodná soustava souřadnic: osa x podél nakloněné
roviny svisle dolů (po spádnici), osa y je vodorovná a leží v nakloněné rovině, osa z je kolmá
k nakloněné rovině a orientovaná tak, aby soustava souřadnic byla pravotočivá. Složky
vektorů:
2 2 2 2
~ ( , , 0), ~ ( , , 0), ~ ( sin , 0, cos ), ~ (0, 0, ),
~ , , 0 .d
v x y a x y mg mg mg N N
x y
T N N
x y x y
 
 

 
  
   
Pohybové rovnice (vyjádření 2. Newtonova zákona ve složkách):
2 2 2 2
2 2 2 2
sin , , 0 cos
sin cos , cos
x y
mx mg N my N mg N
x y x y
x y
x g g y g
x y x y
   
    
      
 
   
 
x
x
N
mg
z
y
( )v t(0)v
dT
c) Pohybové rovnice nejsou lineární – problém s řešením. V zadání však jde o okamžik 0t  :
Pro 0t  určete ve zvolené soustavě souřadnic složky vektorů
(0), (0), (0), (0), (0), (0)nv n a a a a uvědomte si, že
2
(0)
(0) (0)
(0)
n
v
a n
r
 , kde (0)r je
hledaný poloměr křivosti trajektorie v počátečním okamžiku.