F1421 – Základní matematické metody ve fyzice – Zk 19. 12. 2022
1. a) V ortonormální pravotočivé bázi v R3
jsou svými složkami zadány vektory (0,0,4),a 
( 1,2, 0), ( 2,1, 0)b c    . Vypočtěte složky vektorů u b c  a ( )v a b c   v této bázi.
b) Vektory e a f jsou nekolineární. Charakterizujte všechny vektory g , pro něž je vektorový
součin ( )v g e f   nulový.
2. Pohyb hmotného bodu se děje podél osy x a řídí se pohybovou rovnicí 0x Kx  , kde K je
nenulová konstanta. Určete časovou závislost polohy bodu na čase, jestliže jeho počáteční
poloha je (0) 0x  a počáteční rychlost 0(0)x v . (Návod: Jsou tyto možnosti řešení:
a) pomocí charakteristické rovnice, b) integrací, popřípadě substitucí v x převést na rovnici
prvního řádu.)
3. a) Určete přirozený definiční obor funkce 2
( ) ln 2f x x x  , definiční obor její derivace a
derivaci vypočtěte.
b) Určete přirozený definiční obor funkce 2
( ) 1f x x  a nalezněte všechny její primitivní
funkce.
4. Je dána funkce dvou proměnných
3 3
2 2
( , )
x y
f x y
x y



pro ( , ) (0,0)x y  , (0,0) 0f  .
Dodefinováním vzniká funkce spojitá v celé rovině proměnných x, y.
a) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu (podle obou proměnných) této funkce
v obecném bodě ( , ) (0,0)x y  .
b) Zjistěte, zda funkce má parciální derivace prvního řádu také v bodě ( , ) (0,0)x y  a
v kladném případě je určete. (Návod: vyjděte z definice parciálních derivací.)
c) Je funkce diferencovatelná v obecném bodě ( , ) (0,0)x y  ? Zdůvodněte. V kladném
případě zapište její úplný diferenciál v bodě 0 0( , ) ( 1,2)x y   jako funkci přírůstků
0 0,h x x k y y    .
5. Sportovní střelec vypálil na terč 40 ran. Jedná se o klasický terč s možnými hodnotami
zásahu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (náhodná veličina X). Výsledky střelce ukazuje tabulka:
hodnota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet 1 2 3 3 5 6 9 6 2 2 1
a) Zapište tabulkou rozdělení náhodné veličiny X. (Rozdělením rozumíme soubor
{( , )},1i ix p i N  , kde ip je pravděpodobnost dosažení i-té hodnoty.)
b) Určete střední hodnotu veličiny X.
c) Určete rozptyl veličiny X.
d) Určete nejpravděpodobnější hodnotu veličiny X a jí odpovídající pravděpodobnost.