F1421 – Základní matematické metody ve fyzice – k procvičení
1. V ortonormální pravotočivé bázi v R3
jsou svými složkami zadány vektory
(1, 2,2), ( 3,1, 0), ( 1, 3, 4)a b c       .
a) Zjistěte, zda jsou tyto vektory lineárně závislé, nebo lineárně nezávislé. V kladném případě
vyjádřete některý z nich jako lineární kombinaci ostatních.
b) Vypočtěte složky vektoru u b c  a charakterizujte všechny vektory, které jsou k vektoru
u kolmé.
2. Pohyb hmotného bodu se děje podél osy x a řídí se pohybovou rovnicí 0x Kx  , kde K je
nenulová konstanta. Určete časovou závislost polohy bodu na čase, jestliže jeho počáteční
poloha je (0) 0x  a počáteční rychlost 0(0)x v ,
a) je-li 0K  , b) je-li 0K  . V obou případech zakreslete schematicky graf řešení ( )x x t .
3. a) Určete přirozený definiční obor funkce
2
ln sin
( )
cos
x
f x
x
 , definiční obor její derivace a
derivaci vypočtěte.
b) Určete přirozený definiční obor funkce
2
1
( )
1
f x
x


a nalezněte všechny její primitivní
funkce.
4. Je dána funkce dvou proměnných
2 2
2 2
( , )
x y xy
f x y
x y



pro ( , ) (0,0)x y  , (0,0) 0f  .
Dodefinováním vzniká funkce spojitá v celé rovině proměnných x, y.
a) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu (podle obou proměnných) této funkce
v obecném bodě ( , ) (0,0)x y  .
b) Zjistěte, zda funkce má parciální derivace prvního řádu také v bodě ( , ) (0,0)x y  a
v kladném případě je určete. (Návod: vyjděte z definice parciálních derivací.)
c) Je funkce diferencovatelná v obecném bodě ( , ) (0,0)x y  ? Zdůvodněte. Pokud ano,
vyjádřete její úplný diferenciál jako funkci přírůstků 0 0,h x x k y y    v bodě
0 0( , ) (2, 1)x y   .
5. Sportovní střelec vypálil na terč 50 ran. Jedná se o klasický terč s možnými hodnotami
zásahu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (náhodná veličina X). Výsledky střelce ukazuje tabulka:
hodnota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet 1 3 4 5 5 7 8 10 4 2 1
a) Zapište tabulkou rozdělení náhodné veličiny X.
b) Určete střední hodnotu veličiny X.
c) Určete rozptyl veličiny X.
d) Která z hodnot veličiny X je nejpravděpodobnější?