F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2022 D. Hemzal hemzal@physics.muni.cz C. OPTIKA Maxwellovy rovnice v elektroneutrálním nemagnetickém mediu: 1 V • E : -V • P V • B = 0 ^ x, dB Gauss (Gauss) Faraday „ B ÔE 9P , V x — = e0— + — + Jfree- Ampere Ho at at 1. Mawellovy rovnice. Uvažujte Maxwellovy rovnice v prostředí s polarizací P a volným proudem Jfree- • Ukažte, že vlnová rovnice je důsledkem platnosti Faradayova a Ampérova zákona (s využitím zákona Gaussova). ô2p i A E - no e0 - Mo —tu -Mo- -áv(v-p) 9í2 £o • Rovinná vlna. Ukažte, že E(r,í) = E0cos(kr—ujť) je řešením vakuové vlnové rovnice. Z Gaussova zákona v případě izotropního dielektrika (V-P = 0) ukažte, že Eo_Lk a z Faradayova zákona dopočítej te B (r, í) = Bo cos(kr—ujt). Bo = ^kxE0,E_LB_Lk_LE • Susceptibilita. Pro speciální případ izotropního dielektrika (Jfree=0, V-P=0) řešte vlnovou rovnici s využitím předpokladu E,P«exp(i(kr — wí)). [PoH=e0x(w)EoH:*:=(w/c)>/I+x] • Index lomu. Zavedte (komplexní) index lomu n+ÍK prostřednictvím vlnočtu k=nuj/c a zjistěte dopad jeho reálné a imaginární části na šířící se rovinnou vlnu E=Eoexp(i(ujt—kx)). [E=E0 exp (—2ir n/ Ao ) cos (ujt — 2imx/\0) ] 1.1 Dielektrická funkce. Nalezněte vzájemné transformační vztahy mezi relativní permitivitou eT +ie; = x(w) + l a indexem lomu n+ÍK. i , • \2 22 <-> 2 kl+Ree ,2 lei—Ree £r+i£i = (n+iK)z:er=nz —Kz,£i = 2nK,nz= 1 1 ^-,fc — 1 1 ^- 1.2* Debyeův rozklad. Uvažujte rozklad A u0 + -ui - I u2 exp ( -ý kde forma zavedení malého parametru A reflektuje představu rychle se měnící fáze oproti mnohem pomaleji se měnící amplitudě; všechny složky Uj v rozvoji amplitudy i fázový člen ip (nazývaný často eikonál) závisí na souřadnicích i čase. Dosadte uvedený rozvoj do vakuové vlnové rovnice a získejte rovnice jednotlivých aproximací (podle řádu A). Ukažte, že vlnovou rovnici lze tímto způsobem vyřešit řád po řádu. A~2: (V-0)2 — c2-02 = O rovnice eikonálu,A-1: V(2oVV>) — c2(I0ip) =0 rovnice pro přenos intenzity /0 = luol 2. Materiálová prostředí. 2.1 Plazmová frekvence 0 2.2 Drudeho model pro kovy. 1 2.1 Lorentzův model pro dielektrika. Pro pohyb elektronů o náboji —e v látce předpokládejte model tlumeného oscilátoru (Ft =—mejx) řízeného elastickou silou F=—Kx a buzeného lokálním elektrickým polem; pro jednoduchost předpokládejte, že lokální pole je přímo rovno dopadající světelné vlně E0exp(i(ujt—kr)). Sestavte pohybovou rovnici pro elektron a nalezněte amplitudu jeho kmitů za předpokladu, že x=xoexp(i(ujt—kr)). X0 = -^u>-XiTu,'u2°=K/me. 3. Fermatův princip postuluje, že mezi dvěma pevně zadanými body se světlo šíří tak, aby celková doba jeho šíření byla minimální. • Optická dráha S je v homogenním prostředí definována jakou součin indexu lomu n tohoto prostředí a vzdálenosti d, kteou v něm světlo urazilo (ne nutně přímočaře), S=nd. Při přechodu mezi prostředími je optická dráha aditivní, S=Si+S2 + ... Ukažte, že Fermatův princip je ekvivalentní požadavku minimální optické dráhy během šíření světla. U = - c/nj • Ukažte, že v homogenním prostředí se Fermatův princip (pro optickou dráhu) redukuje na podmínku přímočarého světla. [n=konst] • Z Fermatova principu pro optickou dráhu vyvodte pro lom paprsku na rovinném rozhraní dvou homogenních prostředí (n, n') Snellův zákon. Uhly paprsků (a, a') určujte vzhledem k normále k rozhraní. Nalezněte paraxiální aproximaci (a,a'—tO) Snellova zákona. [nsinoí=n'sinQí', na=n'a'] • Ukažte, že při vhodně zvolené znaménkové konvenci pro odražené světlo (n'<0, a'<0) lze ze Snellova zákona odvodit též zákon odrazu. [a' = — a] 3.1* Huygensův-Fresnelův princip. Ukažte, že pro monochromatický bodový zdroj o vlnové délce A je možné velikost pole generovaného ve zvoleném bodě spočítat prostřednictvím bodových příspěvků pocházejících z libovolné zvolené vlnoplochy, podmínkou postupu že však je projevení tzv. faktoru sklonu K{x), závisejícího na úhlu Xi P°d kterým vlnoplochu pozorujeme; hodnotu faktoru sklonu odvodte pro zjednodušený případ x=0. [K(0)=i/\] 4. Maticový formalizmus. Uvažujte osově souměrný optický systém, ve kterém paprsek v prostředí o indexu lomu n popíšete pomocí jeho vzdálenosti h od optické osy a směrem šíření s. Vektor s rozložte do složek podél optické osy (sz) a kolmo k optické ose (sx) a předpokládejte |s|=n. Při výpočtech dodržujte standardní znaménkové konvence. (h'\ • Ukažte, že v paraxiální aproximaci je možné závislost koncového stavu paprsku \si\ na stavu počátečním ^ ^^j vyjádřit maticově: pro šíření o osový interval délky d v homogenním prostředí o indexu lomu n a pro lom na rozhraní o poloměru křivosti r mezi prostředími o indexech lomu n a n' příslušné matice nalezněte. 1 d/n^j ^ R-= ^ ^ ^ ,Lp= — (n—n')/r je mohutnost lomivého rozhraní • V daném místě podél optické osy představuje (J^^J obecný paprsek. Navrhněte speciální volbu parametrů pro význačné typy světelných svazků. ^konst^ o^-nigko, ^k0^st^ rovnoběžný svazek, ^^gj^ konkrétní paprsek • Uvažujte obecný optický systém popsaný maticí M= ^a ^ obklopený prostředími o indexech lomu n a n'. Nalezněte podmínku, za které bude systém pracovat jako zobrazující (převádět bodové předměty na bodové obrazy). Využijte skutečnosti, že detT=detR=l. 2 h! nezávisí na sx: c=-a|--dj-í)^-,T'MT=^ 1/73/' ^ Je zvětšenl' 4.1 Čočka. Nalezněte matici <ř tlusté čočky (tloušťka i, index lomu n-^, poloměry křivosti stěn r, r'), oddělující prostředí s indexem lomu n a n' a její speciální případy: tlustou čočku ponořenou do prostředí, tenkou čočku a tenkou čočku ponořenou do prostředí. Nalezněte ohniskové vzdálenosti tenké čočky a určete polohu hlavních rovin v tlusté čočce, mají-li pro její ohniskové vzdálenosti platit formálně stejné výrazy jako u čočky tenké. (fl^m íJ^^n^,(p=(p1 + (p2- /^akomod /^neakomod 1] 4.3 Mikroskop. Mikroskop je optická soustava dvou spojných čoček - objektivu s mohutností n2) • Pro neabsorbující prostředí nalezněte Brewsterův úhel dopadu 9b, kdy je odražené světlo zcela polarizováno. t an #b = ^-Rp = 0 • Nalezněte koeficient odrazivosti R v případě (skoro) kolmého dopadu světla na rozhraní a z 3 podmínky R+T=l také koeficient propustnosti T. Ukažte, že získané vztahy nezávisí na polarizaci dopadajícího světla ani na pořadí prostředí. (ni-n2)2 T_ 412x122 (ni+n2) (n1+n2) 6. Interference. Uvažujte planparalelní desku tloušťky d a indexu lomu n', vnořenou do prostředí o indexu lomu n. Předpokládejte, že na desku dopadá světlo intenzity Iq pod obecným úhlem dopadu a že na stěnách desky dochází k násobným odrazům. Pro jednoduchost na obou rozhraních předpokládejte koeficient odrazu R a koeficient propustnosti T. • ukažte, že paprsky vystupující z desky jsou rovnoběžné s dopadajícím paprskem nezávisle na úhlu dopadu světla • určete intenzity několika prvních prošlých i odražených paprsků 6.1 V rámci konkrétního výpočtu dále předpokládejte skleněnou destičku (n' = 1.5) ponořenou do vzduchu (n=l) a skoro kolmý dopad světla. S použitím příslušně zjednodušených Fresnelových vztahů vypočtěte celkovou prošlou (Jt) a odraženou (Jr) intenzitu světla včetně násobných odrazů a ověřte, že jejich součet je roven Iq. 2nn' -'t = —2~~1— 6.2 Řešte stejný příklad interferenčně: předpokládejte, že deska je navíc tenká a započtěte i fázové členy. [] 7. Difrakce. 7.0 Youngův experiment. Uvažujte neprůhledný terčík se dvěma úzkými rovnoběžnými štěrbinami, vzdálenými d. Na terčík kolmo dopadá rovinná monochromatická vlna (z dalekého monochromatického bodového zdroje). Určete rozložení světla na stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti l po směru letu světla; úlohu řešte jako ID příklad. 7.1 Fraunhoferova difrakce. Předpokládejte difrakci na rovinném terčíku s obecným otvorem S. Zdrojem světla je bodový monochromatický zářič S, centrovaný před terčíkem ve vzdálenosti a a difrakci pozorujeme v bodě P(£,r]) na rovinném stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti b za ním po směru letu světla. Za zjednodušujícího předpokladu konstantní intenzity světla na terčíku je difrakční příspěvek ip(P) v bodě P, plynoucí z Huygensova-Fresnelova principu, roven yj(P) = A J J SQiXQp exp(iM - k(SQ + QP)])dE, kde K{x) = '\/\ je faktor sklonu a A je amplituda zdroje. • Nalezněte vyjádření difrakčního integrálu v lineární aproximaci terčíkových souřadnic Q(x,y); vzdálenosti Q P aproximujte konstantní vzdáleností ro = QoP ke středu Qq otvoru terčíku. 'a^+^X i tp(P)=Au exp [ik a 1 ) dS, Au = — exp(i[ut-k(a+r0) JjQes V ro J Aa6 V 7.1 S využitím Fraunhoferova integrálu vypočtěte difrakci na centrovaném obdélníkovém otvoru o velikosti pxq. Určete polohy maxim a šířku centrálního maxima. ý(£,v)=ADPqsmc(^^J sinc^^^ , Ipq=ipip* 7.2 S využitím Fraunhoferova integrálu spočtěte Youngův experiment realističtěji jako difrakci na centrované dvojici totožných obdélníkových otvorů o velikosti pxq, vzdálených od sebe o d>p podél osy x. [l(tv)=4IPqcos2(kda/2r0)] 7.4 Mřížkový faktor. Demonstrujte, že při difrakci na pravidelně se opakujících otvorech stejného tvaru se výsledná intenzita ve Fraunhoferově přiblížení dá počítat jako součin difrakce na jednom z otvorů 4 (otvorový faktor) a funkce závisející na rozložení otvorů na terčíku (mřížkový faktor). Pro jednoduchost vyjděte z předchozího příkladu a uvažujte M ekvidistantně vzdálených obdélníkových otvorů o velikosti pxq. 7.3 Difrakce na kruhovém otvoru. Přejděte na terčíku a stínítku do polárních souřadnic a vypočtěte difrakci na centrovaném kruhovém otvoru o poloměru R. I(p) = \A^R\ ^ kRp/ro j , p=C+v 8. Aplikace. 8.1 Podle Gullstrandova-Le Grandova modelu oka má rohovka tloušťku 0.55 mm a index lomu 1.3771. Určete dobu, za kterou projde rohovkou tam a zpět (po odrazu od zadní stěny) signál a) ultrazvuku (i>=1500 m/s), b) světelný. [] 8.2 Dvojlom. Předpokládejte planparalelní desku vyrobenou z křemene, indexy lomu řádného a mimořádného paprsku v křemení jsou po řadě nD = 1.544 a ne = 1.553. Uvažujte kolmo dopadající světlo a vypočtěte fázový rozdíl řádného a mimořádného paprsku při průchodu deskou tloušťky L a M exp(—ikdm^/rO) m—l Pí i(kdM£/2r0)Y m(kd£/2r0) ) • určete nej menší tloušťku desky, při které se bude chovat jako čtvrt vinná (způsobí fázový rozdíl 7r/2 mezi řádným a mimořádným paprskem a tedy změní dopadající lineární polarizaci světla na kruhovou) a jako půlvlnná (způsobí fázový rozdíl tt a změní orientaci lineárně polarizovaného světla na kolmou) • zjistěte, jaké tloušťky desky jsou k dispozcici, má-li půlvnná destička mít tloušťku kolem 1 mm. .2* Antireflexní vrstva. Předpokládejte tlustou planparalelní desku o indexu lomu n1; na které je nanesena tenká vrstva materiálu o indexu lomu Pro světlo dopadající kolmo ze strany tenké vrstvy určete celkovou intenzitu It prošlého světla deskou; uvažujte násobné odrazy pouze uvnitř tenké vrstvy, fázové členy však zanedbejte. Určete ri2, které množství prošlého světla maximalizuje a porovnejte získanou hodnotu s příkladem 6.1 samotné desky. 'It \6n\ri2 ^- . _ 0.94 t (ni + l)3(ni+n2)' n2 = \/ni, pro ni = 1.5: 0.92 5