Teoretická mechanika Úlohy ke cvičení Dvojitý kladkostroj Na obrázku je zobrazen dvojitý kladkostroj sestávající se ze tří kladek u nichž neuvažujeme příspěvek k energii spojený s otáčivým pohybem. Centrální kladka se může volně pohybovat vertikálně, a má hmotu M. Hmoty m\ a m.2 jsou na konci vlákna, a jsou vedené přes pevně umístěné krajní kladky Vlákno spojující tyto tři tělesa je nehmotné a neprokluzuje. Gravitační zrychlení nechť je g. Tření je zanedbatelné. Sestavte pohybovou rovnici tohoto systému, a zjistěte za jakých podmínek bude soustava v klidu, bude-li. (Odevzdávejte do 27. září 2022 (úterní skupina), a do 4. října 2022 (pondělní skupina)) M • m Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným vrcholovým úhlem a o hmotnosti M, která se také může bez tření pohybovat po vodorovné podložce. Vyšetřete pohyb systému, (úterní skupina do 4. října, pondělní do 10. října) Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnice pro sférické kyvadlo, tj. pro hmotný bod m na niti konstantní délky /, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální elipsu. Dále určete, které fyzikální veličiny se zachovávají, vypočtěte je, a přímým výpočtem dokažte, že tomu tak skutečně je. (úterní skupina do 11. října, pondělní do 17. října) ____ m Harmonický oscilátor S uvážením zákonů zachování nalezněte funkci popisující časovou závislost polohy harmonického oscilátoru: Zjistěte které veličiny se zachovávají, vypočtěte zobecněnou energii, převeďte problém na diferenciální rovnici prvního řádu, a vyřešte ji. Interpretujte výsledek. Nepoužívejte Euler-Lagrangeovu rovnici, (úterní skupina do 18. října, pondělní do 24. října) 1 Pohyb po šroubovici Částice o hmotě m se v gravitačním poli pohybuje podél šroubovice z = kd mající konstantní poloměr r = konst, kde k je konstanta a z vertikální souřadnice. Z lagrangiánu nalezněte hamiltonián, sestavte hamiltonovy rovnice, a tyto rovice vyřešte. Ukažte, že pro r —> 0, z = —g. (úterní skupina do 25. října, pondělní do 31. října) Hamiltonián neznámeho systému Mějmež Lagrangián 1 9 1 , 2 L = — mq + — kq . Spočtěte Hamiltonián, vypočtete hamiltonovy rovnice. Tyto rovnice vyřešte. Pro jistotu, užijte dva možné způsoby. Nakreslete fázový portrét. O jaký se jedná systém? (úterní skupina do 1. listopadu, pondělní do 7. listopadu) V elektromagnetickém poli Předpokládejme, že lagrangián pro nabitou částici v elektromagnetickém poli jest 1 9 e L = -mv - eO + - v ■ A, [cgs] 2 c h kde e je náboj a v rychlost částice v elektrickém O (x, y, z, t) a vektorovém A (x, y, z, t) potenciálu. Vztah mezi nimi a magnetickou či elektrickou intensitou je 1 d A B = VxA E =----VO. [cgs] c ot Odvoďte pohybovou rovnici pro tuto částici, a dokažte, že na ni pole působí silou F = e(E+-xB). [cgs] Dále vypočtete hamiltonián a zobecněnou hybnost. Pozor, všechny vztahy jsou uvedeny v systému jednotek cgs, je-li vám bližší SI, bez obav jej užijte. Nápověda: totální časová derivace obecné funkce G(x,y, z, t) podél dráhy částice je dG dG -7- = -r- + v ■ VG. dt dt Možná též shledáte užitečnou identitu a x (b X c) = (a ■ c)b - (a ■ b) c aplikovatelnou na vektory i jejich gradienty, (úterní skupina do 8. listopadu, pondělní do 14. listopadu) Poissonův poměr Nalezněte vhodný materiál a předmět (s vhodnou strukturou, mající malý Youngův modul, příhodný tvar a velikost), vystavte ho působení síly, a zdokumentujte, fotograficky či měřením, změny jeho tvaru. Odhadněte Poissonův poměr tohoto materiálu, (úterní skupina do 15. listopadu, pondělní do 21. listopadu) Kosmická trubice Kosmická stanice je tvořena dlouhou trubkou o vnitřním poloměru i?i a vnějším i?2; jež byly změřeny před startem. Určete o kolik se změní vnější poloměr trubky po vynesení na oběžnou dráhu Země. Předpokládejte, že stěny trubice jsou tvořeny homogenním materiálem popsaným konstantami E a