Elektronová optika a mikroskpie
Motivace, eikonál, index lomu
Tomáš Radlička
16. 9. 2022
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Náplň předmětu a podmínky absolvování předmětu
2. Základní oblasti optiky nabitých částic
3. Hamiltonovská optika pro systémy nabitých částic
1
Náplň předmětu a podmínky
absolvování předmětu
Náplň předmětu
• Základy Hamiltonovské optiky
• Zdroje elektronů
• Metody pro popis optických vlastností
• Vlnově optický popis elektronově optických systémů
• Rastrovací elektronová mikroskopie
• Transmisní elektronová mikroskopie
2
Podmínky absolvování předmětu
• Vypracování zápočtových příkladů
• Absolvování zkoušky
3
Základní oblasti optiky nabitých
částic
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Rastrovací elektronová mikroskopie (SEM)
• Prozařovací elektronová mikroskopie (TEM)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Rastrovací elektronová mikroskopie (SEM)
• Prozařovací elektronová mikroskopie (TEM)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Energiové filtry pro analýzu signálních či prošlých elektronů
• Spektroskopie energiových ztrát - Electron Energy Lost Spectroscopy (EELS)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Energiové filtry pro analýzu signálních či prošlých elektronů
• Energiové filtry SE a BSE
4
Hamiltonovská optika pro systémy
nabitých částic
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Použijeme Lagrangeovskou formulaci mechaniky - pohyb je hledán jako extremála
funkcionálu
S =
t2
t1
L(r(t), ˙r(t), t)dt , δS = 0 (1)
Lagrangeovy rovnice:
d
dt
∂L
∂˙r
−
∂L
∂r
= 0 (2)
Lagrangean částice o klidové hmotnosti m s nábojem q ve statickém
elektromagnetickém poli ( ϕ(r) a A(r)).
L = −mc2
1 −
v2
c2
+ qvA − qϕ (3)
kde c je rychlost světla, v rychlost nabité částice.
Kinematický impulz g = mγv, (γ = (1 − v2/c2)−1/2)
E2
c2
− g2
= m2
c2
(4)
Kanonický impulz
p =
∂L
∂v
= g + qA . (5)
5
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Hamiltonián dostaneme pomoci Legendrovy transformace
H(r, p) = pv − L , ˙p = −
∂H
∂r
, ˙r =
∂H
∂p
(6)
Užitím vztahu E = γmc2 a (4) dostaneme pro relativistický faktor γ
γ = 1 +
g2
m2c2
(7)
a pro rychlost
v = c
p − qA
m2c2 + (p − qA)2
(8)
Dosazením těchto vztahů do (6)
H = c (p − qA(r))2 + m2c2 + qϕ(r) = mc2
(9)
6
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Volba aditivní konstanty elektrostatické potenciálu: ϕ = 0 v místě v němž mají
částice nulovou rychlost ⇒ −qϕ = Ek ,
Ek = −qϕ (10)
E = mc2
− qϕ (11)
γ = 1 −
qϕ
mc2
(12)
| g | =
E2
c2
− m2c2 = −2mqϕ 1 −
qϕ
2mc2
= −2mqϕ∗ (13)
kde jsme zavedli relativisticky korigovaný elektrostatický potenciál
ϕ∗
= ϕ 1 −
qϕ
2mc2
7
Fázový prostor, pohybové rovnice a Liouvillův teorém
Pohyb nabité částice v poli je pak dán Hamiltonovými pohybovými rovnicemi
d
dt
r =
∂H
∂p
,
d
dt
p = −
∂H
∂r
(14)
Trajektorie nabité částice ve fázové prostoru je pak jednoznačně určená počáteční
polohou a impulzem (bodem ve fázovém prostoru, kterým prochází). Trajektorie se ve
fázové prostoru neprotínají! Pro hustotu náboje ve fázovém prostoru platí rovnice
kontinuity:
j +
∂ρ
∂t
= 0 (15)
jde j = ρv je proud ve fázové prostoru (v = (˙r, ˙p) je šestirozměrná rychlost ve
fázovém prostoru). Pro divergenci toku pravděpodobnosti dostaneme
j =
∂
∂r
(ρ˙r) +
∂
∂p
(ρ ˙p) = ρ
∂˙r
∂r
+
∂ ˙p
∂p
+
∂ρ
∂r
˙r +
∂ρ
∂p
˙p (16)
= ρ
∂2H
∂r∂p
−
∂2H
∂p∂r
+
∂ρ
∂r
˙r +
∂ρ
∂p
˙p =
∂ρ
∂r
˙r +
∂ρ
∂p
˙p
Po dosazení do rovnice kontinuity dostaneme Liouvillův teorém (hustota náboje je
konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru):
∂ρ
∂r
˙r +
∂ρ
∂p
˙p +
∂ρ
∂t
=
dρ
dt
= 0
8
Brightness
Proudová směrová hustota - Brightness
B =
dI
dSdΩ
(17)
dI =
dQ
dt
=
ρd3rd3p
dt
= ρdSvg2
dgdΩ = ρg2
dSdΩdE (18)
kde jsem použili vdg = dE. Pokud uvažujeme monoenergetický zdroj dostaneme:
dI = ρdSdΩ (19)
a po dosazení do vztahu pro brightness dostaneme
B = ρg2
⇒
B
g2
= konst. (20)
Také se zavádí tzv. redukovaná brightness
Br =
B
ϕ∗
=
dI
dSdΩϕ∗
= konst. (21)
9
Brightness
To nám umožǔje spočítat minimální
velikost obrazu (dS = 1/4πd2, dΩ = πα2)
d =
2
π
I
Br ϕ∗
1
α
9
Charakteristická funkce a eikonál
Charakteristická funkce - stacionární hodnota akce
W = W (r0, t0; r, t) = Ex
t
t0
L(r, ˙r)dt (17)
podél skutečné trajektorie se zachovává hodnota energie
W (r0, t0; r, t) = Ex
t
t0
(pv − H(r, p)) dt = Ex
r
r0
pdr − E(t − t0) (18)
kde poslední integrál je přes reálnou trajektorii spojující body r0, r a definuje eikonál:
S(r0, r, E) = Ex
r
r0
pdr. (19)
Trajektorie v systému pak lze najít jako extremály funcionálu
r
r0
pdr.
10
Charakteristická funkce a eikonál
Při změně r → r + δr
δr S(r0, r) =
∂S
∂r
δr (20)
nebo ekvivalentně
δS =
r+δr
r0
pdr −
r
r0
pdr = pδr (21)
srovnáním par dostaneme
r S(r0, r, E) − qA = g (22)
z tohoto vztahu plyne, že trajektorie částic jsou v případě absence magnetického pole
kolmé na plochy konstantního eikonálu S(r0, r, R). Kvadrátem obou stran (22)
dostaneme Hamilton-Jacobiho rovnici,
( S − qA)2
= g2
= −2mqϕ∗
(r) (23)
11
Index lomu
δ
r
r0
pdr = δ
s
s0
mγv
t
| t |
− qA tds = −2mqϕ∗
0 δ
s
s0
n(r, t)ds (24)
kde t je tečný vektor trajektorie t =
dr(s)
ds
a
n(r, t) =
ϕ∗
ϕ∗
0
1
2
| t | − −
q
2mϕ∗
0
At (25)
je index lomu.
12
Index lomu
Parametrizace délkou oblouku centrální trajektorie
Souřadnicový systém: (a) nezávislá proměnná - délka oblouku centrální trajektorie
(osa z) (b) osy x a y jsou kolmé na centrální trajektorii (Frenet-Serret trihedral)
13
• systémy s přímou osou: s = z, t = x ex + y ey + ez
• systémy s mid-section symmetry (rovina y = 0): s = z,
dl2
= dx2
+ dy2
+ dz2 ρ − x
ρ
2
= dx + dy + dz(1 − xΓ)2
kde ρ je poloměr křivosti a Γ je křivost trajektorie. Tečný vektor trajektorie pak
vychází t = x ex + y ey + ez g3 a jeho velikost | t |= g2
3 + x 2 + y 2, kde jsme
označily g3 = 1 − xΓ
14
Index lomu
Pro index lomu pak můžeme psát
n =
ϕ∗
ϕ0∗
1
2
g2
3 + x 2 + y 2 − −
q
2mϕ∗
0
g3Az + Ax x + Ay y (26)
15