Elektronová optika a mikroskopie
Pole v elektronové optice
Tomáš Radlička
19. 10. 2020
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Rovnice pro stacionárni pole
2. Radial series expansion
1
Rovnice pro stacionárni pole
Maxwellovy rovnice
V elektronové optice lze pole uvažovat zpravidla jako stacionární
Elektromagnetické pole je zcela popsané Maxwellovými rovnicemi, které v lze v
případě stacionárního pole psát ve tvaru
× E = 0 × H = j (1a)
· D = ρ · B = 0 . (1b)
Tyto rovnice musí být doplněny materiálovými rovnicemi
D = E , B = µH (H = νB) . (2)
Ve feromagnetických materiálech je magnetický odpor ν funkcí velikosti magnetické
indukce B =| B |. Proudová hustota a hustota náboje jsou funkcemi prostorových
souřadnic.
2
Elektrostatický a magnetický potenciál
Elektrostatický potenciál a magnetický vektorový potenciál jsou definované vztahy
E = − ϕ , B = × A (3)
Skalární potenciál je řešením rovnice
− · ( (r) ϕ) = ρ , (4)
která se redukuje na
2
ϕ = 0 (5)
v oblasti bez prostorového náboje. Obdobně můžeme nalézt rovnici pro magnetický
vektorový potenciál
× (ν(| ×A|) × A) = j , (6)
která se při konstantním magnetickém odporu vychází ν a Coulombovské kalibraci
· A = 0 zjednodušuje na
2
A = µj . (7)
Další zjednodušení je možné ve vakuu, kde nejsou přítomny žádné proudy a
× H = 0. V tom případě můžeme psát
B(r) = − ψ(r) . (8)
Kde jsme zavedli magnetický skalární potenciál ψ(r). Protože platí · B = 0 skalární
magnetický potenciál splňuje Laplaceovu rovnici 2ψ = 0. 3
Radial series expansion
Laplasova rovnice ve valcových souřadnicích
Je vhodné přejít do válcových souřadnic
x = r cos(φ), y = r sin(φ), z = z (9)
Laplaceova rovnice tvar
∆ϕ =
1
r
∂
∂r
r
∂ϕ
∂r
+
1
r2
∂2ϕ
∂φ2
+
∂2ϕ
∂z2
= 0 (10)
Standardní separací proměnných
ϕ(r, φ, z) = ˜U(r, z)f (φ) (11)
Multipólový rozvoj elektrostatického potenciálu
ϕ =
∞
m=0
rm ˜Vm(r, z)(c1 cos(mφ) + c2 sin(mφ)) (12)
kde ˜Vm = Um/rm je řešením parciální differenciální rovnice
∂2 ˜Vm
∂r2
+
2m + 1
r
∂ ˜Vm
∂r
+
∂2 ˜Vm
∂z2
= 0 (13)
Zavedením komplexní funkce Vm = c1
˜Vm + ic2
˜Vm a komplexni souřadnice w = x + iy
můžeme multipólový rozvoj psát ve tvaru
ϕ =
m
{Vm ¯wm
} (14)
4
Radial series expansion - electrostatic potential
Rozvoj ˜Vm(r, z) do Taylorovy řady ve vzdálenostech od osy
˜Vm(r, z) =
∞
n=0
am,n(z)rn
(15)
dosazením do (13) a relativně dlouhých úpravách dostaneme
˜Vm =
∞
n=0
(−1)nm!
n!(m + n)!
r2
4
n
a
(2n)
m,0 (16)
Zavedenímí komplexní multipólový koeficient Φm = c1am,0 + ic2am,0 dostaneme
ϕ =
m n
(−1)nm!
n!(m + n)!
w ¯w
4
n
{Φ
(2n)
m ¯wm
} (17)
Význam jednotlivých koeficientů dostaneme relativně snadno z hodnot, nebo derivací
skalárního potenciálu na ose
Φ0 = ϕ(0, z) (18a)
Φ1 =
∂ϕ
∂ ¯w w=0
= −Ex (0, z) − iEy (0, z) (18b)
5
Magnetické pole
Magnetický skalární potenciál je řešením stejné rovnice jako elektrostatický
Φm → Ψm (19)
ψ =
m n
(−1)nm!
n!(m + n)!
w ¯w
4
n
{Ψ
(2n)
m ¯wm
} (20)
kde
Ψ0 = ψ(0, z) =
z
zo
B(0, 0, z) (21a)
Ψ1 =
∂ψ
∂ ¯w w=0
= −Bx (0, z) − iBy (0, z) (21b)
Pro index lomu ale potřebujeme znát také magnetický vektorový potenciál A.
B = − ψ = × A (22)
∂ψ
∂x
=
∂Ay
∂z
−
∂Az
∂y
(23a)
∂ψ
∂y
= −
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
(23b)
∂ψ
∂z
=
∂Ax
∂z
−
∂Ay
∂x
(23c)
6
Radial series expansion - vektorový potenciál
Kalibrační podmínka: Maxwellovy rovnice jsou invariantní vzhledem ke kalibrační
podmínce
A → A − f (24)
kde f je libovolná funkce se spojitými derivacemi. My zvolíme ∂f /∂z = Az , pak platí,
že Az = 0 a zbyvající dvě složky dostaneme z rovnic (23a) a (23b)
Ax = −
∂ψ
∂y
dz (25a)
Ay =
∂ψ
∂x
dz (25b)
7
Osově symetrické pole
Užitím vzorců (17,23a a 23b) dostaneme:
ϕ = Φ(z) −
1
4
Φ (z)r2
+
1
64
Φ(4)
(z)r4
+ · · · (26)
ψ = − B(z)dz +
1
4
B (z)r2
−
1
64
B(3)
(z)r4
+ · · · (27)
Ax = −
1
2
B(z)y +
1
16
B (z)y(x2
+ y2
) + · · · (28)
Ay =
1
2
B(z)x −
1
16
B (z)x(x2
+ y2
) + · · · (29)
8