Elektronová optika a mikroskopie Paraxiální aproximace - poruchy a vady seřízení Tomáš Radlička 26. 10. 2020 Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i. Obsah 1. Zápočtové úkoly 2. Paraxiální rovnice trajektorie pro systémy s přímou osou 3. Parazitické aberace stigmatických systémů 4. Kvadrupólové systémy 5. Aberace 6. Vady osově symetrických systémů 1 Zápočtové úkoly Zápočtové úkoly 1. Najděte a popište souvislost mezi Liouvilovým teorémem a zákonem zachování Wronskianu 2. Odvoďte paraxiálni rovnici pro osově symetrické systémy z indexu lomu. Vyjděte z obecného tvaru pro index lomu, vypočtěte jeho kvadratickou část a z ní vypočtěte paraxiální aproximaci 3. Odvoďtě paraxiáoní rovnici z obecné rovnice trajektorie 4. Odvoďtě paraxiání rovnici s osově symetrickým magnetickým polem a slabým dipolovým elektrostatickým polem (Φ2 1 ≈ 0). 5. Odvoďte tvar paraxiální rovnice v Pichtových souřadnicích 2 Paraxiální rovnice trajektorie pro systémy s přímou osou Kvadratický index lomu Kromě osově symetrického pole mohou být v systému i pole nižších symetrií, paraxiální aproximace je ovlivněná osově symetrickým polem, dipólovým a kvadtupólovým polem. Kvadratický index lomu v komplexních souřadnicích pak má tvar: n(0) = Φ∗ Φ∗ 0 1 2 (1) n(1) = − e qo {Ψ1 ¯w} + Φ∗ Φ∗ 0 1 2 γ0 2Φ∗ Φ1 ¯w + Φ∗ Φ∗ 0 1 2 γ0Φ0 2Φ∗ κ (2) n(2) = e q0 1 2 Ψ ¯ww − Ψ2 + (3) + 1 2 Φ∗ Φ∗ 0 1 2 w ¯w − w ¯w γ0 4Φ∗ Φ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗ + γ0 Φ∗ Φ2 − Φ2 1 8Φ∗2 ¯w2 − Φ∗ Φ∗ 0 1 2 Φ∗ 0 4Φ∗ Φ1 Φ∗ ¯w κ − 1 8 Φ∗ Φ∗ 0 1 2 Φ2 0 Φ∗2 κ2 kde κ = dE/Φ0 je relativní odchylka od hlavní energie svazku. Což po dosazení do Euler-Lagrangeovy rovnice dává obecnou paraxiální rovnici trajektorie 3 Paraxiální rovnice trajektorie w + γ0 2Φ∗ (Φ − iv0B)w + γ0 4Φ∗ Φ − iv0B + Φ1 ¯Φ1 2γ0Φ∗ w− (4) − γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ ¯w = − Φ0Φ1 4Φ∗2 κ + γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1) a po přechodu do rotačních souřadnic u + γ0Φ 2Φ∗ u + γ0Φ 4Φ∗ + eB2 8meΦ∗ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗2 u− (5) − γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) ¯u = − Φ0Φ1 4Φ∗2 e−iχ(z) κ + γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) 4 Wienova podmínka Absolutní člen na pravé straně musí být nulový aby měl systém přímou osu (částice s κ = 0, která se pohybuje podél osy - u = 0, u = 0 musí zůstat na ose ) γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) = 0 ⇒ Φ1 + iv0Ψ1 = 0 (6) pak u + γ0Φ 2Φ∗ u + γ0Φ 4Φ∗ + eB2 8meΦ∗ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗2 u− (7) − γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) ¯u = − Φ0Φ1 4Φ∗2 e−iχ(z) κ 5 Separace x a y v paraxialní rovnici trajektorie 1. B = 0: V případě, že v systému není magnetické osově symetrické pole, nedochází k rotaci χ(z) = 0 lze rovnice pro x a y vzájemně odseparovat při vhodným nastavením orientace dipólových a kvadrupólových polí, Φ1 = Φ1c , Φ2 = Φ2c a Ψ2 = iΨ2s w + γ0Φ 2Φ∗ w + γ0 4Φ∗ Φ + Φ2 1c 2Φ∗ w − γ0 Φ∗ Φ2c − v0Ψ2s − Φ2 1c 8γ0Φ∗ ¯w = − Φ0Φ1c 4Φ∗2 κ (8) V tomto případě je ale rovnice různá pro oba směry a systém není stigmatický. 2. Podmínka stigmatičnosti: Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ = 0 (9) Paraxiální rovnice trajektorie pak separovaná pro x a y a je pro obě souřadnice stejná u + γ0Φ 2Φ∗ u + γ0Φ 4Φ∗ + eB2 8meΦ∗ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗2 u = − Φ0Φ1 4Φ∗2 e−iχ(z) κ (10) To že je rovnice v obou souřadnicích stejná zaručuje, že pokud nastane fokus v jednom směru, nastane zároveň i v druhém směru. Takovým systémům se říká stigmatické a o podmínce (9) mluvíme jako o podmínce stigmatičnosti. 6 Energiová disperze Pokud známe řešení zhomogenizované rovnice (10) lze obecné řešení najít metodou variace konstanty, patřičnou teorii lze najít například na Wikipedii (https://cs.wikipedia.org/wiki/Variace konstant), kde je nicméně použitá jiná definice Wronskiánu (Ww = u1u2 − u2u1 místo námi zvolené ). Pokud zvolíme u1 = g a u2 = h dostaneme W = Φ ∗ 1 2 o a vztah mezi Wronskiánem používaným na Wikipedii a námi definovaným pak dostaneme Φ∗ 1 2 Ww = W = Φ ∗ 1 2 o ⇒ Ww = Φ∗ o Φ∗ (11) Výsledné řešení pak tedy můžeme psát ve tvaru u(z) = uog + uoh + ud κ (12) kde ud je disperzní trajektorie ud = Φ ∗− 1 2 o g z zo Φ∗ 1 2 h Φ0Φ1 4Φ∗ e−iχ(z) dz − Φ ∗− 1 2 o h z zo Φ∗ 1 2 g Φ0Φ1 4Φ∗ e−iχ(z) dz (13) ud je nenulová v případě nenulového dipólového pole. V případě soustav s přímou osou lze realizovat pouze Wienovým filtrem. Disperze se projevuje tak, že pro nenulové odchylky energie elektronů od hlavní energie svazku jsou elektrony mírně vychylovány od osy. K fokusu pak dochází ve stejné rovině ale v různých vzdálenostech od osy. 7 Variace konstanty - Image a slope coefficients Použití metody variace konstanty je v elektronové optice velmi časté, proto se budeme obdobnými vztahy vztahu (13) setkávat relativně často. Je zřejmé, že tento vztah můžeme napsat ve tvaru ud = Cd (z)g + cd (z)h (14) kde Cd = Φ ∗− 1 2 o z zo Φ∗ 1 2 h Φ0Φ1 4Φ∗ e−iχ(z) dz (15a) cd = −Φ ∗− 1 2 o z zo Φ∗ 1 2 g Φ0Φ1 4Φ∗ e−iχ(z) dz (15b) Protože je ve výrazu pro disperzní trajektorii koeficient cd násobený paprskem h jeho vliv na hodnotu ud v obraze vymizí, bude se ale projevovat v jeho směrnici, v odborné literatuře se mluví o slope coefficient. Hodnota ud v obrazu bude tedy ovlivněna pouze koeficientem Cd - image coefficient 8 Parazitické aberace stigmatických systémů Parazitické aberace stigmatických systémů Vznikají v důsledků nedokonalostí systému, nebo jeho špatným seřízením. Pokud je porušena osová symetrie systému, vznikají slabá dipólová, kvadrupólová pole, či pole s vyšší symetrií, která se ale neprojeví v paraxiální aproximaci. V důsledku přítomnosti těchto parazitických polí není zcela splněna Wienova podmínka a podmínka stigmatičnosti, nicméně můžeme předpokládat, že obě podmínky jsou splněny relativně přesně a odchylka je velmi malá, to vyjádříme přidáním koeficientu δ k těmto členům u + γ0Φ 2Φ∗ u + γ0Φ 4Φ∗ + eB2 8meΦ∗ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗2 u = (16) = γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δ¯u − Φ0Φ1 4Φ∗2 e−iχ(z) κ + γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) δ tuto rovnici pak řešíme iteračně. V nulté iteraci se spočítá zhomogenizovaná rovnice (u = g(z)uo + h(z)uo), v první iteraci se toto řešení dosadí do pravé strany u + γ0Φ 2Φ∗ u + γ0Φ 4Φ∗ + eB2 8meΦ∗ + Φ1 ¯Φ1 8Φ∗2 u = (17) = γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δ(¯uoh(z) + ¯uog(z))− − Φ0Φ1 4Φ∗2 e−iχ(z) κ + γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) δ 9 Parazitické aberace stigmatických systémů Výsledná trajektorie se spočítá metodou variace konstanty, u = uog + uoh + ¯uou¯α + ¯uou¯γ + uw + ud κ (18) kde trajektorie u¯α = − g z zo h2 γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δdz (19) + h z zo hg γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δdz popisuje osový astigmatizmus (two-fold astigmatism), image coefficient označujeme A1 A1 = − z zo h2 γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δdz (20) 10 Parazitické aberace stigmatických systémů Trajektorie u¯γ = − g z zo hg γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δdz (21) + h z zo u2 γ γ0 Φ∗ Φ2 + iv0Ψ2 − Φ2 1 8γ0Φ∗ e−2iχ(z) δdz popisuje neosový astigmatizmus a trajektorie uw = −g z zo h γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) δdz + h z zo g γ0 2Φ∗ (Φ1 + iv0Ψ1)e−iχ(z) δdz (22) deflekci svazku v důsledku porušení Wienovy podmínky. V tomto případě už další iteraci potřebovat nebudeme. 11 Kvadrupólové systémy Kvadrupolové systémy Obrázek 1: Možná realizace elektrostatického a magnetického kvadrupólu V tomto případě budeme uvažovat pouze silné kvadrupólové pole, v tom případě mu paraxiální rovnice tvar w − G ¯w = 0 (23) kde G = γ0 Φ∗ (Φ2 + iv0Ψ2) = γ0Φ2c Φ∗ 0 − 2e meΦ∗ 0 Ψ2s + i γ0Φ2s Φ∗ 0 + 2e meΦ∗ 0 Ψ2c (24) Řešení této rovnice pro obecné kvadrupólové pole je relativně složité, protože koeficient G je obecně komplexní a proto dochází k míchání souřadnice x a y. V reálných systémech se tedy pole omezují tak, aby byl koeficient reálný, nebo ryze imaginární. My se zde omezíme na situaci, kdy je G reálné (druhý případ lze na tuto situaci lehce převést rotací systému souřadnic o 45 deg), tj. Φ2s = 0, Ψ2c = 0 (25) 12 Kvadrupolové systémy Koeficient G se redukuje na G = ¯G = γ0Φ2c Φ∗ 0 − 2e meΦ∗ 0 Ψ2s (26) a separuje paraxiálni rovnici v x a y směru x − Gx = 0 (27a) y + Gy = 0 (27b) Protože je délka silných kvadrupólů výrazně větší než jejich poloměr a síla fokusačního účinku nezáleží na derivacích kvadrupólových osových koeficientů můžeme aproximovat koeficient (26) koeficientem G(z) = 0, |z − zM | > l/2 G0, |z − zM | ≤ l/2 (28) kde G0 je velikost G uvnitř kvadrupólu (tam kde je už konstantní) a l je efektivní délka kvadrupólu l = 1 G0 ∞ −∞ G(z)dz (29) 13 Kvadrupolové systémy Principiální paprsky pak mají v kvadrupólu tvar yπ = cos( G0(z + l/2) xπ = cosh( G0(z + l/2) (30) y¯π = cos( G0(z − l/2) x¯π = cosh( G0(z − l/2) Pro prvotní design kadrupólových systémů je vhodné použít aproximaci tenké čočky, která je obdobou aproximace tenké čočky v osově symetrickém systému. V tomto případě platí 1 fx = − 1 ¯fx = − 1 fy = 1 ¯fy = ∞ −∞ G(z)dz (31) Kvadrupól v jednom směru fokusuje, v druhém defokusuje. Kombinací několika kvadropólů lze najít systémy, které umožňují stigmatické zobrazení, jedná se tzv. kvadrupólové anastigmátory. Aby byl kvadrupólový systém integrálně stigmatický, musí skládat z nejméně čtyř kvadrupólů, nicméně v tomto případě není možné měnit ohniskovou dálku systému. Nejpoužívanější systém se skládá z pěti kvadrupólů. Tyto systémy se používají v případě, že osově symetrické čočky jsou příliš slabé na fokusaci vysoce energetického svazku jejich aplikace je především v urychlovačích. Složitější kvadrupólové systémy se také používají v korektorech vad. 14 Literatura P W Hawkes and E Kasper. Principles of Electron Optics: Basic Geometrical Optics. Elsevier Science, 1996. H.H. Harald Rose. Geometrical Charged-Particle Optics, volume 142. 2009. 15