Elektronová optika a mikroskopie
Paraxiální aproximace - poruchy a vady seřízení
Tomáš Radlička
26. 10. 2020
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Aberace
2. Vady osově symetrických systémů
1
Aberace
Aberace
Doposud jsme popisovali pouze paraxiální aproximaci, která vyjadřuje lineární chování
systému. V optice nabitých částic je velmi důležité nelineární chování systému, tj.
aberace. V případě paraxiálního zobrazení se bod v předmětu zobrazí na bod v obrazu
- dokonalý obraz. V případě, že se bere v úvahu nelineární chování systému, se bod
zobrazí na nějakou plošku. To nám výrazně zhoršuje optické vlastnosti systému a
zhoršuje rozlišení. Výpočet aberací je relativně přímočarý, ale nesmírně zdlouhavý. Z
tohoto důvodu pouze vysvětlím metodu, jak se dají jednotlivé aberace spočítat, ale
konkrétní výpočet provádět nebudeme, pro detailní výpočet můžete použít [1], nebo
poznámky k přednášce prof. Lence.
V případě paraxiální aproximace je vztah mezi pozicí a směrnicí v rovině předmětu
z = zo a pozicí a směrnicí v libovolné rovině z dán lineárním zobrazením:
q
q
κ
= M(z)
qo
qo
κ
(1)
Pokud opustíme předpoklady paraxiálního zobrazení lze vztah mezi souřadnicemi v
předmětu a obrazu psát ve tvaru aberačního polynomu
w(z) =
i,j,k,l,m
= Ci,j,k,l,m(z)wi
o ¯wj
ow k
o w l
o κm
(2)
kde koeficienty Ci,j,k,l,m(z) jsou funkcemi proměnné z, které jsou dané vlastnostmi
systému.
2
Aberace
Koeficienty nejsou zcela nezávislé, ale jsou svázané jednak symetrií systému jednat
tím, že zobrazení musí být symplektické. Jejich konkrétní rozbor jde nad rámec této
přednášky, je velmi pečlivě rozebrán v [1] str. 315.
V případě, že zobrazení je mezi rovinou předmětu a obrazu mluvíme o aberačních
koeficientech. Součet exponentů u proměnných w, ¯w, w a ¯w se označuje jako řád
polynomu, pokud k němu připočteme i exponent u energiové šířky κ mluvíme o stupni
aberace.
3
Metody výpočtu aberací
Pro výpočet aberací se používá několik metod, nejjednodušší je metoda trajektorií,
která byla použitá při výpočtu parazitických aberací. V elektronové optice se často
používá metoda eikonálu, v případu urychlovačů se pak často používá metoda
Lieových algeber. Všechny tyto metody vedou na aberační koeficienty ve formě
aberačních integrálů. Na druhé straně jsou metody, které poskytují pouze numerické
hodnoty koeficientů. První takovou metodou je metoda diferenciálních algeber, která
vychází z metod nestandardní analýzy, druhou je metoda, která využívá fitování
aberačního polynomu na výsledky přesného trasování. Tyto metody lze relativně
jednoduše aplikovat na obecné systémy, nicméně nám nedávají téměř žádné informace
o vzájemných vztazích aberačních koeficientů, ani o vlivu jednotlivých prvků na
hodnoty aberačních koeficientů. Z tohoto důvodu se budeme blíže věnovat pouze
metodě trajektorií.
4
Metoda trajektorií
Tuto metodu jsme již použili v případě výpočtu parazitických aberací. Uvažme nyní i
vyšší členy v rozvoji indexu lomu
n(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) = n(2)
(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) + n(3)
(w, ¯w, w , ¯w , κ, z)+ (3)
n(4)
(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) + ...
kde horní index (k) určuje řád homogenního polynomu v proměnných w, ¯w, w , ¯w a
κ. Polynom druhého řádu popisuje paraxiální aproximaci, polynomy vyšších řádů pak
popisují nelineární chování. Rovnici trajektorie pak můžeme psát ve tvaru
ˆL(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) = P2(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) + P3(w, ¯w, w , ¯w , δ, z) + · · · (4)
kde ˆL(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) je lineární diferenciální operátor popisující paraxiální rovnici a
Pk jsou homogenní polynomy k-tého řádu v proměnných w, ¯w, w , ¯w a κ, pro které
platí
Pk = −
d
dz
∂n(k+1)
∂ ¯w
+
∂n(k+1)
∂ ¯w
(5)
5
Metoda trajektorií - postup
1. Vypočteme paraxiální aproximaci w(0)(wo, ¯wo, wo, ¯wo, κ, z) vyřešením rovnice
ˆL(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) = 0
2. Do pravé strany rovnice (4) dosadíme za w, ¯w, w , ¯w paraxiální aproximaci,
takže pak dostaneme na pravé straně funkci proměnné z:
ˆL(w, ¯w, w , ¯w , κ, z) = P2(w(0)
, ¯w(0)
, w(0)
, ¯w(0)
, κ, z)+
P3(w(0)
, ¯w(0)
, w(0)
, ¯w(0)
, κ, z) + · · ·
= ˜P2(wo, ¯wo, wo, ¯wo, κ, z) + ˜P3(wo, ¯wo, wo, ¯wo, δ, z) + · · ·
(6)
a tu vyřeším metodou variace konstanty, stejně jako v případě parazitických
aberací. Tímto dostaneme trajektorie, které jsou součtem paraxiální aproximace a
primárních aberací. w(1).
3. Pokud chceme vyšší řády aberací musíme postup opakovat s tím, že tentokrát do
prvé strany nedosazujeme paraxiální aproximaci ale už výsledek první iterace w(1).
Celkově tento postup vede k iterační proceduře
ˆL(w(k+1)
, ¯w(k+1)
, w(k+1)
, ¯w(k+1)
, κ, z) = P2(w(k)
, ¯w(k)
, w(k)
, ¯w(k)
, κ, z)+
+ P3(w(k)
, ¯w(k)
, w(k)
, ¯w(k)
, κ, z) + · · · (7)
6
Vady osově symetrických systémů
Chromatické vady
V případě osově symetrických systémů je první oprava indexu lomu nI polynom třetího
řádu, který můžeme v rotačních souřadnicích psát ve tvaru
n(3)
=
κΦo
4Φ
∗ 1/2
o Φ∗ 1/2
γ0u ¯u +
Φ
Φ∗
+ γ0χ 2
u¯u + iχ (u¯u − u ¯u) (8)
Ze vztahu je patrné, že pro nulovou energiovou šířku (κ = 0) je tento člen nulový mluvím
o chromatických vadách. Užitím metody trajektorií v první iteraci dostaneme
u(2)
= −Mκ(Cc wo + Ac ¯wo + Dcr wo + Dce ¯wo) (9)
Aberační koeficient Cc je označován jako chromatická aberace prvního řádu, nebo též
chromatický defokus, koeficient Ac je označován jako chromatický axiální defokus,
koeficient Dcr jako chromatická distorze a Dce jako eliptická chromatická distorze.
Bližší diskuzi těchto koeficientů je možné najít například v [1, 2], my se budeme blíže
věnovat pouze koeficientu chromatické aberace.
Koeficient chromatické aberace lze nalézt ve tvaru
Cc =
1
1 + Φo
zi
zo
γ0
Φ∗
o
Φ∗
eB2
8meΦ∗
+
2 + γ0
8
Φ 2
Φ∗2
h2
dz > 0 (10)
za kterého je zřejmé, že pro osově symetrické systémy je vždy kladný. Bez porušení
osové symetrie ho tedy není možné odstranit.
7
Význam chromatické aberace
Abychom mohli lépe popsat jeho efekt na trajektorie popíšeme jeho efekt na
trajektorii, která je v předmětu na ose a vychází pod úhlem α. V blízkosti fokus lze pro
tuto trajektorii psát
u(z) = m(z − zi )α − MCc κα (11)
Je tedy zřejmé, že tento paprsek neprotne osu v rovině obrazu, ale v rovině
z = zi + M
m
Cc κ. Tento efekt je způsobený rozdílnou fokusační silou optických prvků,
které mají na elektrony o různých energiích. Například chromatická vada čočky
způsobí, že elektrony s mírně nižší energií se fokusují dříve, než elektrony s vyšší
energií.
8
Geometrické aberace
Pokud neuvažujeme energiovou šířku svazku, máme první opravu indexu lomu až
polynom čtvrtého řádu
nI
=
Φ∗
Φ∗
o
−
1
8
w 2
¯w 2
−
γ0
16
Φ
Φ∗
w ¯w w ¯w +
1
128
γ0Φ(4)
Φ∗
Φ 2
Φ∗2
w2
¯w2
+
ηB
16
w2
¯w ¯w
(12)
Po přechodu do rotačních souřadnic, užitím metody trajektorií a relativně dlouhém a
pracném výpočtu dostane aberační polynom ve tvaru
w(3)
= M(C3w 2
o ¯wo + 2K3wo ¯wowo + ¯K3w 2
o ¯wo + F3wow2
o ¯wo + Af 3 ¯wow2
o + D3w2
o ¯wo)
(13)
kde C3 je koeficient sférické aberace, K3 je koma, F3 křivost pole, Af 3 astigmatizmus
(field astigmatism) a D3 je distorze. Význam jednotlivých vad je podrobně diskutován
v [1], my se zde omezíme na popis koeficientu sférické aberace.
9
Koeficient sférické aberace
C3 =
1
Φ∗ 1
2
zi
zo
−
1
32Φ∗ 1
2
Φ
Φ∗
− γΦ(4)
+
2γ0Φ η2B2
Φ∗
+
η4B4
Φ∗
− 4η2
BB h4
+
+
1
4Φ∗ 1
2
(γΦ + η2
B2
)h2
h 2
+
1
2
Φ∗ 1
2 h 4
dz (14)
Díky tomu, že aberační koeficienty se vyjadřují pomoci aberačních integrálů existuje
velké množství vzorců, které jdou jeden do druhého transformovat pomoci integrace
po částech. Dají se tak například nalézt tvary, ve kterých se nevyskytují třetí a čtveré
derivace osových polí, postup je podrobně rozepsán v [1].
Pokud podobně jako v případě chromatické aberace vypočítáme trajektorii částice,
která je v předmětu na ose (wo = 0) a startuje po úhlem wo = α, dostaneme
w = m(z − zi )α + MC3α2
¯α (15)
z čehož je parné, že bod ve kterém trajektorie protínají osu je funkcí velikosti úhlu v
předmětu
z = zi −
M
m
C3α¯α (16)
10
Vyznam sférické aberace
Obrázek 2: Efekt sférické aberace
Pro design elektronově optických systémů je velmi podstatné, že sférická aberace
osově symetrických systémů se statickým polem, ve kterých nedochází ke změně
směru paprsku (vylučuje zrcadla) je kladná. Koeficient sférické aberace se totiž dá,
podobně jako koeficient chromatické aberace, rozepsat do tvaru součtu několika
kvadrátů. Této vlastnosti sférické aberace se říká Scherzerův teorém.
11
Literatura
P W Hawkes and E Kasper.
Principles of Electron Optics: Basic Geometrical Optics.
Elsevier Science, 1996.
H.H. Harald Rose.
Geometrical Charged-Particle Optics, volume 142.
2009.
12