Elektronová optika a mikroskopie
Zdroje elektronů
Tomáš Radlička
4. 1. 2021
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Elektronová emise
2. Elektronové zdroje
3. Kontrast v Elektronové mikroskopii
1
Elektronová emise
Kvalitativní popis elektronové emise
• Work function - rozdíl mezi potenciálem
vakua a Fermiho hladinou energie
• Při nulové teplotě jsou obsazeny všechny
energiové hladiny až po Fermiho energii
• Při zvyšování teploty se mění energiové
rozložení
• Termoemise: Teplota se zvýší natolik, že
nějaké elektrony mají tak vysokou energii,
že překonají potenciálovou bariéru
• Pokud se přidá pole k povrchu kovu dojde:
(a) Ke snížení potenciálové bariéry Schottkyho
emise (b) zůžení potenciálové
bariéry, dochází k tunelovému efektu Extended
Schottky emission
• Nízká teplota a vysoké pole - k tunelování
dochází pouze v okolí Fermiho hladiny cold
field emission
2
Kvantitativní popis emise
• Energiové rozložení elektronů v kovu je dáno Fermi Diracovou statistikou
f (E, T) =
1
1 + exp
E−(EF +V0)
kb T
(1)
kde EF je Fermiho hladina energie a parametr V0 definuje nulovou hladinu energie.
• Proudová hustota
d3
j =
2e
mh3
pf (E, T)D(Un)d3
p (2)
kde jsem rozložili impulz na část normální a tečnou složku p = pn + pt a
definovali jsme normalovou Un = 1
2m
p2
z + V (z), a tečnou Ut = 1
2m
(p2
x + p2
y )
složku energie (E = Un + Ut). D(Un) je transmisní koeficient, který definuje
pravděpodobnost, že elektron, který dopadne na rozhraní projde potenciálovou
bariérou.
• Brightness (proudová směrová hustota)
Br =
e
π
dj
dUt Ut =0
(3)
3
Kvantitativní popis emise
• Hybnost pomoci sférických souřadnic
px = 2m(E − V (z)) sin(θ) cos(φ) (4a)
py = 2m(E − V (z)) sin(θ) sin(φ) (4b)
pz = 2m(E − V (z)) cos(θ) (4c)
pak
d3
p = p2
dpdΩ = m 2m(E − V (z)) sin(θ)dEdθdφ (5)
• Hybnost pomoci polárních souřadnic
px = 2mUt cos(φ) (6a)
py = 2mUt sin(φ) (6b)
pz = 2m(Un − V (z)) (6c)
pak
d3
p = m2
p−1
z dUndUtdφ (7)
4
Termoemise
• Nulová haldina - vrchol potenciálové bariéry
• Potenciálová bariéra V (z) =
−EF − W z < 0
0 z > 0
• Transmisní faktor D(Un) =
0 Un < 0
1 Un > 0
• Fermi Diracovo rozdělení lze aproximovat:
f (E, T) = exp −
E + W
kbT
(8)
5
Termoemise
• Proudová hustota
d3
j = d3
jz =
ep cos θ
m
2
h3
f (E, T)D(Un)d3
p
≈
4me
h3
E exp −
E + W
kbT
sin(θ) cos(θ)dEdθdφ (9)
• Po provedení integrace přes polární a azimutální úhly dostaneme
djT =
4πme
h3
(kBT)2
exp −
E + W
kbT
dE (10)
• Po integraci přes energiové spektrum (0 < E < ∞) dostaneme celkovou
proudovou hustotu
jT =
4πme
h3
(kbT)2
exp −
W
kbT
(11)
6
Termoemise
• Pro odvození brightness je nutné použít cylindrické souřadnice a rozdělení energie
na normálovou a tečnou část
d3
j = d3
jz =
epz
m
exp −
Un + Ut + W
kbT
m2
p−1
z dUndUtdφ (12)
• Po provedení integrace přes polární úhel a Un dostaneme
djT =
4πme
h3
kBT exp −
Ut + W
kbT
dUt (13)
• A brightness pak vychází
Br,T =
4πme2
h3
kbT exp −
W
kbT
=
ejT
πkbT
(14)
7
Schottkyho emise
• Nulová hladina energie - Fermiho hladina
• Potenciálová bariéra V (z) =
0 z < 0
W − eFz − e2
16π 0z
z > 0
Maximum
potenciálové bariéry zm = e/16π 0F a efektivní výška bariéry
Vm = W − ∆W = W −
e3F
4π 0
(15)
• Transmisní faktor
D(Un) =
0 E < −(EF + Vm)
1 E > −(EF + Vm)
(16)
energie vzhledem k vrcholu bariéry.
• Vztahy bydou ekvivalentni jako v případě termoemise, jen bude jiná hodnota
potenciálové bariéry ...
djS =
4πme
h3
(kBT)2
exp −
E + Vm
kbT
dE (17)
jS =
4πme
h3
(kbT)2
exp −
Vm
kbT
= exp(
∆W
kbT
)jT (18)
Br,S =
4πme2
h3
kbT exp −
Vm
kbT
=
ejS
πkbT
(19)
8
Extended Schottky emission
• Bariéra se stenčuje - dochází k tunelování elektronů přes potenciálovou bariéru
• Transmisní faktor
D(Un) =
1
1 + exp(G)
(20)
G – Gamovův exponent G(Un) = 2
h
z2
z1
2m(V (z) − Un)dz
• Lze integrovat analyticky, ale nevhodné pro další úpravy – obsahuje eliptické
integrály. K tunelování dochází je v blízkosti vrcholu bariéry - lze ji aproximovat
parabolou
Va(z) ≈ Vm −
e2
16π 0z3
m
(z − zm)2
(21)
pak
G(Un) =
Vm − Um
κ
, κ =
π
√
m
(4π 0eF3
)
1
4 (22)
9
Extended Schottky emission
• Po dosazení pak dostaneme
djES =
4πme
h3
κ
1 + exp E+Vm
kb T
log(1 + exp(E/κ))dE (23)
jES = jS
πq
sin πq
, q = κ/kbT (24)
Br,ES =
ejES
πkbT
(25)
10
Studená emise (cold field emission)
• Nedochází ke žhavení elektrod, emise je způsobená pouze vnějším polem - zůžení
potenciálové bariéry. Výrazně převařuje tunelový efekt
• Aproximace popsané např. v Hawkes Principles of electron Optics II. My uvedeme
pouze výsledné vztahy
djTF =
4πme
h3
d exp −
bW
d
exp(E/d)
1 + exp(E/kbT)
dE (26)
jTF =
4πme
h3
d2
exp −
bW
d
πp
sin πp
(27)
Br,TF =
ejTF
πd
(28)
kde b ≈ 0.6 d = e F
2t(∆W /W )
√
2mW
, s t(y) ≈ 1 + 0.1107y1.33 a p = kbT/d
11
Elektronové zdroje
Typy elektronových zdrojů
Několik základních typů
• Termoemisní zdroje
• Schottkyho zdroje (field emission sources)
• Studená emise (cold field emission sources)
Základní parametry zdrojů
• Proud svazku
• Směrová proudová hustota (brightness), velikost virtuálního zdroje
• Energiová šířka
12
Thermoemisní zdroje
13
Thermoemisní zdroje
13
Studená emise - Cold field emission sources
14
Schottkyho zdroje - Field emission sources
15
Srovnání parametrů zdrojů
16
Kontrast v Elektronové
mikroskopii
Signál v rastrovací elektronovém mikroskopu
• Sekundární elektrony - primární svazek vyrazí
elektron z atomu. Elektrony mají malou emisní
energii < 50 eV. Topografický kontrast. Malý
interakční objem. SE1
• Zpětně odražené elektrony - primární elektrony,
které jsou rozptýlené na atomovém jádře.
Materiálový kontrast.
• Energie blízká energii primárního svazku (true
BSE) - pružně odražené - malý interakční
objem
• Pokud proniknou hlouběji do vzorku dochází k
vícenásobnému rozptylu. Energie je pak
zpravidla výrazně menší než energie primárního
svazku.
• BSE dokáží také vyrazit sekundární elektrony -
SE2
• Augerovy elektrony
• X-ray - materiálová analýza
• Katodoluminiscence 17
Signál v transmisní elektronové mikroskopii
Pro tenké vzorky platí
ψt(x) = t(x)ψinc (x)
Vliv zobrazovací soustavy se započítá ve Fourierově
obrazu
Ψi (k) = Ψt(k) exp(−iχ(k)) = Ψt(k)H0(k)
pro vlnovou funkci v obraze pa nalezneme
ψi = F−1
(Ψt(k)H0(k)) = ψt(x) ⊗ h0(x)
Měřitelná veličina je však pouze kvadrát absolutní
hodnoty vlnové funkce
g(x) = |ψt(x) ⊗ h0(x)|2
(29)
18
Signál v transmisní elektronové mikroskopii
Weak phase object (WPO) approximation
t(x) = exp(iσevz (x))
kde σe = 2πmeλaγa/h2 a vz = V (x, y, z)dz je
atomový projekční potenciál. Malé je vz :
g(x) = |(1 + iσevz (x) + O(v2
z )) ⊗ h0(x)|2
=
= |(1 ⊗ h0(x) + iσevz (x) ⊗ h0(x)|2
+ O(v2
z )
pokud použijeme
1 ⊗ h(x) = F−1(δ(k) exp(−iχ(k))) = 1 dostaneme
g(x) = 1 + σevz (x) ⊗ (ih0(x) − ih∗
0 (x)) + O(vz ) =
= 1 + 2σevz (x) ⊗ hWP (x)
Ve Fourierově obraze pak můžeme psát:
G(k) = δ(k) + 2σeVz (k)HWP (k)
HWP (k) =
i
2
(eiχ(k)
− e−iχ(k)
) = sin(χ(k))
18
Signál v transmisní elektronové mikroskopii
Pokud uvažujeme pouze sférickou aberaci a defokus může deviaci vlnoplochy psát ve
tvaru (k = α/λ - prostorové frekvence)
χ(α) =
2π
λ
1
2
C1α2
+
1
4
C3α4
= π C1k2
λ +
1
2
C3k4
λ3
pokud zavedeme K = k(C3λ3)
1
4 a D = −C1
√
C3λ dostaneme
χ = π
1
2
K4
− DK2
(29)
19
Signál v transmisní elektronové mikroskopii
• HWP (K) = sin(χ(K)) osciluje - je třeba nalézt nastavení, kdy bude její variace co
nejmenší - oblast >0.7, nebo <-0.7
• Oblast minima χ malálá variace χ i HWP : χ (K) = 0 ⇒ Kmin =
√
D,
χmin = −π
2
D2
• Nastavit D tak aby minimum χ bylo v požadované oblasti χmin = −3
4
π − nD π,
pak D =
√
2nD − 0.5
• nd = 1 Scherzer defocus. Kmax volime tak, aby HWP < 0 ⇒
Kmax =
√
2D = 1.51/4 ⇒ kmax = ( 6
C3λ3 )
1
4 ⇒ ds = 1/kmax = 0.64(C3λ3)
1
4
20
Signál v transmisní elektronové mikroskopii
• HWP (K) = sin(χ(K)) osciluje - je třeba nalézt nastavení, kdy bude její variace co
nejmenší - oblast >0.7, nebo <-0.7
• Oblast minima χ malálá variace χ i HWP : χ (K) = 0 ⇒ Kmin =
√
D,
χmin = −π
2
D2
• Nastavit D tak aby minimum χ bylo v požadované oblasti χmin = −3
4
π − nD π,
pak D =
√
2nD − 0.5
• nd = 1 Scherzer defocus. Kmax volime tak, aby HWP < 0 ⇒
Kmax =
√
2D = 1.51/4 ⇒ kmax = ( 6
C3λ3 )
1
4 ⇒ ds = 1/kmax = 0.64(C3λ3)
1
4
20
Signál v transmisní elektronové mikroskopii - nekoherence
21