Podklady k šesté přednášce - Obecná paraxiální rovnice

Pole v systému

Pole magnetické čočky

Použijeme jednoduchou aproximaci magnetického pole Gausovkou $$B(z)=B_m\exp\left(-\frac{z^2}{s_B^2}\right)$$ pro výpočet derivaci využijeme derivaci error funkce: $$\exp(-z^2) = \frac{\pi}2\mathrm{erf}^{\prime}(z)$$ tedy $$B^{(n)}(z) = B_m\frac{d^n}{dz^n}\exp\left(-\frac{z^2}{s_B^2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2s_B^n}\mathrm{erf}^{(n+1)}(\frac z{s_B})$$

Multipolova pole

použijeme jednoducou aproximaci pomoci error funkcí $$ \def\erf{\mathrm{erf}} \Phi_m = \Phi_{m,\mathrm{max}}\frac12\left(\erf\left(\frac{z-z_c+\frac L2}{\sigma_d}\right)-\erf\left(\frac{z-z_c-\frac L2}{\sigma_d}\right)+1\right) $$

Obecna paraxialni rovnice trajektorie

\begin{align} \def\im{\mathrm i} u^{\prime\prime}&+\frac{\gamma_0\Phi^{\prime}}{2\Phi^*}u^{\prime}+\left(\frac{\gamma_0\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}+\frac{eB^2}{8m_e\Phi^*}+\frac{\Phi_1\bar\Phi_1}{8\Phi^{*2}}\right)u-\\ &-\frac{\gamma_0}{\Phi^*}\left(\Phi_2+\im v_0\Psi_2-\frac{\Phi_1^2}{8\gamma_0\Phi^{*}}\right)e^{-2\im\chi(z)}\bar u \\ &=-\frac{\Phi_0\Phi_1}{4\Phi^{*2}}e^{-\im\chi(z)}\kappa+\frac{\gamma_0}{2\Phi^*}(\Phi_1+\im v_0\Psi_1)e^{-\im\chi(z)} \end{align}

Nasleduje funkce prave strany pro obecnou rovnici trajektorie

Osove symetricka magneticka cocka

Wienuv filtr pro energiovou fitraci

Do system umistime dve magneticke cocky. První do $z = -800\,\rm mm$, druhou do $z=0$. Budem predpokladat polohu predmetu $z_o=-900\,\rm m$ a prvni cocku nastavime tam aby zobrazovala predmet do $z_{i,1}=-450\rm mm$. Druhou cocku pak nastavime tak, aby zobrazovala $z_{i,1}$ do roviny obrazu $z_i = 10\,\rm mm$.

Wienuv filtr umistime do roviny $z=-700\,\rm mm$ a budeme sledovat, jak ovlivňuje trajektorie častic

1. Nastaveni magnetickych cocek

Řešíme zhomogenizovanou rovnici pro stigmaticky system se silným dipolovým polem \begin{align} u^{\prime\prime}&+\frac{\gamma_0\Phi^{\prime}}{2\Phi^*}u^{\prime}+\left(\frac{\gamma_0\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}+\frac{eB^2}{8m_e\Phi^*}+\frac{\Phi_1\bar\Phi_1}{8\Phi^{*2}}\right)u=0 \end{align}

Tyto trajeketorie platí pro ideální energii elektronu, v případě že $\kappa\neq 0$ dostaneme

Pokud bychom do obrazove roviny prvni cocky umistili aperturu, nebo sterbinu , mohli bychom odfiltrovat elektrony s vetsí energiovou deviaci $\kappa$ a do systemu pustit jen svazek s uzsim energiovym spektrem. Predpokladejme vyslednou energiovou sirku 40 meV.

Zbytkovou energiovou disperzy je nutne vyrusit druhym WF

Pristup pomoci metody variace konstanty

Výsledné řešení pak tedy můžeme psát ve tvaru \begin{align} \def\dd{\mathrm{d}} u(z) = u_o g + u_o^{\prime}h +u_d\kappa \end{align} kde $u_d$ je disperzní trajektorie \begin{align} u_d=\Phi^{*-\frac12}_og\int\limits_{z_o}^z\Phi^{*\frac 12}h\frac{\Phi_0\Phi_1}{4\Phi^{*2}}e^{-\im\chi(z)}\dd z-\Phi^{*-\frac12}_oh\int\limits_{z_o}^z\Phi^{*\frac 12}g\frac{\Phi_0\Phi_1}{4\Phi^{*2}}e^{-\im\chi(z)}\dd z \label{DispTraj} \end{align} $g$ a $h$ pak jsou reseni zhomogenizovane paraxialni rovice trajketorie \begin{align} u^{\prime\prime}&+\frac{\gamma_0\Phi^{\prime}}{2\Phi^*}u^{\prime}+\left(\frac{\gamma_0\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}+\frac{eB^2}{8m_e\Phi^*}+\frac{\Phi_1\bar\Phi_1}{8\Phi^{*2}}\right)u=-\frac{\Phi_0\Phi_1}{4\Phi^{*2}}e^{-\im\chi(z)}\kappa \label{PTrajSARStig} \end{align}

Spocitame vyvoj jednotlivych integrandu, je zrejme, efekt prvniho WF na I1 je kompenzovan druhym WF, I2 kompenzovan neni, ale neprojevi se na pozici v obraze

Kompenzace I1 je dany symetrickymi podminkami v systemu

Sila filtrace WF je pak dana difrakcni trajektorii v prvnim obrazu $z=z_{i1}$

Slabe dipolove pole (neoptimalizovany deflektor)

Osovy astigmatizmus objektivove cocky

Mejme objektivovou cocku z predchoziho prikladu, ktera e navic mirne elipicka - je zde slabe magneticke kvadrupolove pole. Pro jednoduchost budeme predpokladat, ze ma shodny prubeh s osove symetrickym polem.

Tento astigmatizmus OL je nutne vykompenzovat stigmatorem pred OL. Budeme postupovat metodou variace konstanty. Nejprve vyresime zhomogenizovanou rovnici paraxialni rovnici \begin{align} u^{\prime\prime}&+\frac{eB^2}{8m_e\Phi^*}u=0 \end{align}

A spocitame trajektorii $u_{\alpha}$ z rovnice \begin{align} u_{\bar\alpha} = &-g\int\limits_{z_o}^{z}h^2\frac{\gamma_0}{\Phi^*}\left(\Phi_2+\im v_0\Psi_2-\frac{\Phi_1^2}{8\gamma_0\Phi^{*}}\right)e^{-2\im\chi(z)}\dd z\\ &+h\int\limits_{z_o}^{z}hg\frac{\gamma_0}{\Phi^*}\left(\Phi_2+\im v_0\Psi_2-\frac{\Phi_1^2}{8\gamma_0\Phi^{*}}\right)e^{-2\im\chi(z)}\dd z\nonumber \end{align} Bude pocitat pouze Image coefficient, pro nas sytem tedy $$C_{\bar\alpha}=-g\int\limits_{z_o}^{z}h^2\frac{\gamma_0(\Phi_2+\im v_0\Psi_2)}{\Phi^*}e^{-2\im\chi(z)}\dd z$$

Astigmatizmus samotne magneticke cocky vychazi

Ted do systemu pridame jeden stigmator - elektrostaticky kvadrupol a zjistime jaky ma efekt na vysledny astigmatizmus. A urcime jeho skalovy faktor tak aby byl celkovy astigmatizmus nulovy