\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\log(\frac92-x)=\log\frac92-\log x$,
\item[b)]  $\log 5+\log(x+10)=1-\log(2x-1)+\log(21x-30)$,
\item[c)] $\log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12$,
\item[d)]  $\log_2(x^2-1)=\log_{\frac12}(x-1)$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res}
(a) $3/2,\ 3$,
\newline
(b) $3/2,\ 10$,
\newline
(c) $41$,
\newline
(d) $(1+\sqrt 5)/2$. Použijte vztah $\log_ay=\log_by/\log_ba$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } Najděte nejprve definiční obor a obor hodnot funkce $f$ a pak k ní najděte funkci inverzní.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=5^{2x+3}-8$,
\item[b)] $f(x)=2\ln (6-7x)+1$.
\end{enumerate}
\end{zad} 

\begin{res}
(a) $D(f)=\R$, $H(f)=(-8,\infty_)$, $f^{-1}(y)=(\log_5(y+8)-3)/2$,
\newline
(b) $D(f)=(-\infty, 6/7)$, $H(f)=\R$, $f^{-1}(y)=(6-\e^{\frac{y-1}{2}})/7$,
\end{res}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }  Nakreslete grafy funkcí a určete periodu těchto funkcí.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\sin(3x)-4$,
\item[b)] $f(x)=2\cos(\frac{x}{2})+1$,
\item[c)] $ f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{4})$,
\item[d)] $f(x)=\tan (x+\frac{\pi}{3})$,
\item[e)] $f(x)=\cot (\frac{x}{3})$.
\end{enumerate}
\end{zad} 

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Určete definiční obor, obor hodnot, nakreslete grafy funkcí a najděte  inverzní funkci
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\arcsin x$.
\item[b)] $f(x)=\arcsin x+2\pi$. 
\item[c)] $f(x)=\pi-\arcsin x$. 
\item[d)] $f(x)=\arccos x+4\pi$. 
\item[e)] $f(x)=\pi-\arccos x$.
\item[f)] $f(x)=\arctan x+3\pi$. 
\item[g)] $f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res}
(a) $D(f)=[-1,1]$, $H(f)=[-\pi/2,\pi/2]$, $f^{-1}=\sin y$ na $[-\pi/2,\pi/2]$.
\newline
(b)$D(f)=[-1,1]$, $H(f)=[-3\pi/2,5\pi/2]$, $f^{-1}=\sin y$ na $[3\pi/2,5\pi/2]$.
\newline
(c)$D(f)=[-1,1]$, $H(f)=[\pi/2,3\pi/2]$, $f^{-1}=\sin (\pi-y)=\sin y$ na $[\pi/2,3\pi/2]$. 
\newline
(d)$D(f)=[-1,1]$, $H(f)=[4\pi,5\pi]$, $f^{-1}=\cos y$ na $[4\pi,5\pi]$ .
\newline
(e)$D(f)=[-1,1]$, $H(f)=[-\pi, 0]$, $f^{-1}=\cos (\pi-y)=\cos y$ na $[-\pi,0]$. 
\newline
(f) $D(f)=\R$, $H(f)=[5\pi/2, 7\pi/2]$, $f^{-1}=\tan (y)$ na $[5\pi/2,7\pi/2]$. 
\newline
(g) $D(f)=\R$, $H(f)=[0, \pi]$, $f^{-1}=\tan (\pi/2-y)=\cot y$ na $[0,\pi]$.
\end{res}

%\bigskip
%příklad 3
%\begin{zad}{\bf 3.\ } 
%Pro komplexní číslo $z=a+\i b$ definujeme hodnotu expenenciály $\exp^{z}=\e^z$ takto:
%$$\e^z=\e^{a+\i b}=\e^a\cdot (\cos b+\i\sin b).$$
%Pomocí součtových vzorců dokažte, že všechna komplexní čísla $z_1$, $z_2$ platí
%$$\e^{z_1+z_2}=\e^{z_1}\cdot \e^{z_2}.$$ 
%\end{zad}




\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\sin 2x=\sin x$,
\item[b)] $\cos 3x+\sin 3x=0$, 
\item[c)] $\cos x+\sqrt 3\sin x=1$,
\item[d)] $\cos 3x+\sin 2x-\sin 4x=0$,
\item[e)]  $2\sin^2 x+7\cos x-5=0$,
\item[f)] $\sin 5x\cos 3x=\sin 6x\cos 2x$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) Použijte vzorec pro dvojnásobný úhel.
\newline
(b) Vzpomeňte si na tangens.
\newline
(c) Vydělte dvěma a vzpomeňte si na součtové vzorce.
\newline
(d) Použijte vzorec pro rozdíl sinů.
\newline
(e) Převeďte na kvadratickou rovnici.
\newline
(f) Použijte vhodný vzorec. (Součet sinů.)
\end{res}


\end{document}

