\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  5. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Nakreslete grafy funkcí
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=2^{x+1}-4$,
\item[b)] $f(x)=\displaystyle\left(\frac12\right)^{|x|}$,
\item[c)] $ f(x)=-\displaystyle\left(\frac12\right)^{|x|}+4$,
\item[d)] $f(x)=\log_2(x+4)-1$,
\item[e)] $f(x)=\ln |x|$,
\item[f)] $f(x)=|\ln x|$.
\end{enumerate}
\end{zad} 

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Určete definiční obor funkcí:
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\sqrt{\log_5 x+1}$,
\item[b)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln(1-x)}$,
\item[c)] $f(x)=\ln(x^3-x)$,
\item[c)] $f(x)=\ln(-x^2+3x+4)$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Zjistěte, zda je daná funkce sudá nebo lichá
$$f(x)=\frac{1}{x^3}|\ln |x|\ |$$
\end{zad}




\bigskip
%příklad 4 
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $2^x+(0,5)^{2x-3}-6(0,5)^x=1$,
\item[b)] $4^x+2^{x+1}-24=0$, 
\item[c)] $9^{x^2-1}-36\cdot 3^{x^2-3}+3=0$,
\item[d)] $|x|^{x^2-2x}=1$,
\item[e)]  $10^x-5^{x-1}\cdot 2^{x-2}=950$,
\item[f)] $3\cdot 16^x+37\cdot 36^x=26\cdot 81^x$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) $1, \log_2\displaystyle\frac{\sqrt17-1}{2}$,
\newline
(b) $2$,
\newline
(c) $\pm 1, \pm\sqrt 2$,
\newline
(d) $\pm 1, 2$,
\newline
(e) $3$,
\newline
(f) $1/2$.
\end{res}


\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\log(\frac92-x)=\log\frac92-\log x$,
\item[b)]  $\log 5+\log(x+10)=1-\log(2x-1)+\log(21x-30)$,
\item[c)] $\log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12$,
\item[d)] $\log(20-x)=\log^3x$,
\item[e)]  $\log_2(x^2-1)=\log_{\frac12}(x-1)$,
\item[f)] $\log_4(x+12)\cdot \log_x 2=1$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) $3/2,\ 2$,
\newline
(b) $3/2,\ 10$,
\newline
(c) $41$,
\newline
(d) $10 $,
\newline
(e) $(1+\sqrt 5)/2$,
\newline
(f) $4$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Řešte v $\mathbb R$ následující nerovnosti:
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\frac{1}{2^x-1}>\displaystyle\frac{1}{1-2^{x-1}}$,
\item[b)] $\log\left|\displaystyle\frac{x-1}{2x+1}\right|<0$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res}
(a) $(0,2-\log_2 3)\cup (1,\infty)$,
\newline
(b) $(-\infty, -2)\cup (0,1)\cup (1,\infty)$.
\end{res}

\end{document}

