B. Písemka v semestru z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. [ 3 body] Uvažujme funkci h(x) = \2x — 3| — |7 — x\.
a) Rozdělte reálná čísla na několik intervalů a na nich napište funkci h jako lineární funkci. [2 body]
b) Načrtněte graf funkce h na intervalu [—8, 8]. [1 bod]
Řešení. Na (—oo, 3/2] je h{x) = —x — A, na [3/2, 7] je h{x) = 3x — 10, na [7, oo) je h{x) = x+A. Graf funkce na intervalu [—8, 8] dostanete, zadáte-li na https://www.wolframalpha.com
plot I2x-3l-l7-xl from -8 to 8
□
Příklad. 2. [3 body] Racionální lomenou funkci
^, x    3x3 - 25x2 + 57x - 25
^v ; x2-8x + 16
napište jakou součet polynomu (který je částečným podílem) a racionální lomené funkce zapsané jako součet parciálních zlomků.
Řešení.
1 5 Q(x) = 3x - H--- ---—
v ' x -A    (x - A)2
□
Příklad. 3. [3 body] Uvažujme funkci
h(x) = log3(7 - 2x) + 5.
a) Napište její definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
b) Napište konkrétní hodnoty této funkce ve třech různých hodnotách x. [1 bod]
c) Najděte k funkci h (x) inverzní funkci g (y), napište její předpis, definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
Řešení, a) D(h) = (-oo, 7/2), H(h) = (-oo, oo).
b) h(3) = 5, h{2) = 6, h(-l) = 7.
c) Inverzní funkce je x = g(y) s definičním oborem D(g) = (—oo, oo) a oborem hodnot H(g) = (—oo, 7/2) spočítáme takto: pro y E (—oo, oo) řešíme rovnici
^og3(7-2x) + 5 = y
3log3(7-2:E) = 3^-5
7 - 2x = 3y-5
7 - 3y-5
x =-.
2
Tedy sfo) = □
Příklad. 4. [3 body] V intervalu [0, 2n] najděte všechna řešení goniometrické rovnice
2 sin2 x + 3 cos x = 0.
l
Řešení. Po dosazení sin2 x = 1 — cos2 x dostaneme rovnici
—2 cos2 x + 3 cos x + 2 = 0. Po substituci y = cos x řešíme kvadratickou rovnici
2y2 - 3y - 2 = 0.
Ta má řešení 2 a — \.
Rovnice cos x = — \ má v [0, 2n] řešení a^n. Rovnice cos x = 2 nemá řešení.