1 Vyšetřete průběh funkce (𝑥 + 2)2/3
− (𝑥 − 2)2/3
.
2 Do rovnoramenného trojúhelníku se základnou 𝑥 a výškou ℎ vepište obdélník tak, aby měl
co největší obvod.
3 Na elipse 𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1, kde 0 < 𝑏 < 𝑎, najděte bod, který je co možná nejdál od jejího vrcholu
v bodě [0; 𝑏].
4 Rozvojem do prvního řádu přibližně nahraďte výraz
3
√1 + 𝑥
1 − 𝑥
−3
√
1 − 𝑥
1 + 𝑥
, kde 𝑥 berte jako velmi
malé oproti jedné.
5 Rozvojem čitatele v řadu (stačí prvních pár členů) snadno vypočtěte limitu lim𝑥→0
cos 𝑥 − e−𝑥2
/2
𝑥4 .
6 Pomocí l’Hospitalova pravidla spočtěte limity:
1. lim𝑥→0
tg 𝑥 − 𝑥
𝑥 − sin 𝑥
; 2. lim𝑥→1
(
1
𝑥 − 1
−
1
ln 𝑥
).
7 Nalezněte rovnici tečny ke grafu funkce 𝑦 = 𝑥4
+ 𝑥2
+ 3 v bodě 𝑥 = 1.
8 Mnich za úsvitu přišel k patě hory a celý den strávil výstupem nahoru. Tam přespal v chrámu
a dalšího dne opět za úsvitu vyrazil a celý den strávil sestupem dolů po téže cestě. Dokažte, že na cestě
existuje aspoň jeden bod takový, že tam mnich byl v oba dny přesně ve stejný čas.
1 Vyšetřete průběh funkce (𝑥 + 2)2/3
− (𝑥 − 2)2/3
.
2 Do rovnoramenného trojúhelníku se základnou 𝑥 a výškou ℎ vepište obdélník tak, aby měl
co největší obvod.
3 Na elipse 𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1, kde 0 < 𝑏 < 𝑎, najděte bod, který je co možná nejdál od jejího vrcholu
v bodě [0; 𝑏].
4 Rozvojem do prvního řádu přibližně nahraďte výraz
3
√1 + 𝑥
1 − 𝑥
−3
√
1 − 𝑥
1 + 𝑥
, kde 𝑥 berte jako velmi
malé oproti jedné.
5 Rozvojem čitatele v řadu (stačí prvních pár členů) snadno vypočtěte limitu lim𝑥→0
cos 𝑥 − e−𝑥2
/2
𝑥4 .
6 Pomocí l’Hospitalova pravidla spočtěte limity:
1. lim𝑥→0
tg 𝑥 − 𝑥
𝑥 − sin 𝑥
; 2. lim𝑥→1
(
1
𝑥 − 1
−
1
ln 𝑥
).
7 Nalezněte rovnici tečny ke grafu funkce 𝑦 = 𝑥4
+ 𝑥2
+ 3 v bodě 𝑥 = 1.
8 Mnich za úsvitu přišel k patě hory a celý den strávil výstupem nahoru. Tam přespal v chrámu
a dalšího dne opět za úsvitu vyrazil a celý den strávil sestupem dolů po téže cestě. Dokažte, že na cestě
existuje aspoň jeden bod takový, že tam mnich byl v oba dny přesně ve stejný čas.