Příklad. 6. Napište dvě různé báze vektorového prostoru Mat«(R) všech reálných matic tvaru \x xDále najděte báze podprostorů: tf-2
(\)U C Mat2S(IR) všech symetrických matic,
(2) V C MatsagřR) všech antisymelrických matic,
(3) W C Mat^R) všech matic s nulovou stopou.
1*1
W__K^(,?-   • llh , IVO , ^ ,
- E< l ^il El f H ^..-ji    tl,V- lw. Hl , t>~
^14 V *M     4 22
■v \n =
'2X J ^11- "1/
-- -i^    U7r= 0
Tie n»+wi [fei r^w^r
T
\.    > —í---r-
- 2
i
z
° 1/1 V AO I
LN.
$*t«ia, ve^W^-   ^^-W u«kc   hxh   s kW, ,f>+^
Příklad. 7. Najděte báze podprostorů prostoru M;t[x]\
(1) K = {pe RaM : ?("*) = -!>(*)> PÍ1) = °>'
(2) L = {pE R3[x] :       - 2xp'{x) = 0}, kde p' značí derivace polynomu p.
v   /),X2     in .
^   |>G0- -ayX+ cly*1
k. ~h- o
P««4o   "pOcVo l+tKh> |>ol^ jjU/
Příklad. 8. Nechť U je vektorový prostor všech nekonečných posloupností reálných čísel. Ukažte, že jeho podprostor
F = {(Oí)£i e U : a,l+1 = a„ I an.1: n > 2} má bázi tvořenou dvěma vektory.
W n-mR. "KV.ře. V-Í--0 1-to
11«
0       V- 1
01      ot-h/| -        1=1,--,  !    Í-k-v,,' <lh«v ^>,e b^Z
4T|
h^pvyj^ n Ccv,\ ^  * Lni
•50
Příklad. 9. Dokažte z definice báze: Je-li ui,u-imst* báze prostoru ř/, pak ^jfE**[>w^i"ni'l.
je rovněž báze prostoru U. ^
V2= VMt
2 ^
V"^e    (5) arv<M*-= Vm^V <h_K-0- tvO@"* ^-O©
	
	2 «0 - <»2_ \
	
	
o.	
o|.,4<4
zlo N" fi^-° c^- ——- 0 y
Příklad. 1. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5z2 + 10a;3 v bázi
a = (i + x + 2x2 - x\ 1 + 2x + x;\ 1 + x + 3x2 - .t3, 2 + 2.t + 4t2 + 5.t3)
r i Fl Pi ^ ^
prostoru K;í[xJ. Aefení. (-10,2,7,1)
NedL, ^
"Vfu^ - p «Ví. <u
5 2 " 2
2  o % M
M   1 -1 *
t\ A a r 0 A 0 o
1\ f?2-«i
( 1  A   A 1 o A  0 0
v
o 0
1 o
1 1
1H flMtu
I A * A 2. o ^   t> o »4    O  o ^ 0 tfy\   0 O 0 -}
(v
,a1 \ «b *1 a o o o -V
o i o  ° "
6 O    1 0
^ (3 0 o 1
=0
e-Cl|H|ř<^0
1-14 ix-ti*1! (-0*
ti.
Príklad. 6. Napište dvě různé báze vektorového prostoru Matte3(R) všech reálných matic tvaru 3x3. Dále najděte báze podprostorů:
(1) U C Matto3(R) všech symetrických matic,
(2) V C Mat3l3(R) všech antisymetrických matic,
(3) W C Matto3(R) všech matic s nulovou stopou.
c      E„ fn
/ *M  V   * 41 \ f C31 v
l **L W ««. UfV
.A
»v> ^n.
0 0   í ľ
\ 1 * 0
P*  V *«< W-l ^ Vf*
A /-^-^    '«^-V    -QM-%^   V ,    4 ' ^
4L
4, i
■*«t«m "V-S.    V*i>l <^-S,      v»s Ä
reč o s* lintiVh«. V^tS^'
A, <v(f*Vo
"1   Q ix V
1-1
Ii
/ Q O 0 0 10
b 0 -v
a.
o   1 O
-v q.
I \ o o o J \ 1 0 0,/     M   0 1 oj
Příklad. 9. Dokažte z definice báze: Je-li»,, uj.^ báze prostoru C/, pak u, +«4, «3, "2 + 113 + «4, «1 + 2«a je rovněž báze prostoru U.
Cm ■ "I    M    M     M *^
T>oyvdrsí.        liOi^t   clo   (3D~fe ■
© 7 ^^ÍMÍ' *íc,r,"'c
Cg)    V 2*«-N- 0-0-0 \