\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  2. cvičení z M1110, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Zjistěte, zda jde matice násobit , a pokud ano, vynásobte je.
$$
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix},\quad 
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix},
$$
$$
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Napište nějaké matice tvaru $5\times 4$ a $4\times 3$ a vynásobte je.
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } Nechť $A=\begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix}$. Vypočtěte $A^2=A\cdot A$ a $A^3=A\cdot A\cdot A$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 4 
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce 
$$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
r\cos\beta\\
r\sin\beta
\end{pmatrix}.$$
Na základě toho ukažte, že zobrazení
$$F\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
$$
je otočení kolem počátku v rovině o úhel $\alpha$.
\end{zad}

\medskip

%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Vypočtěte $B^n$, jestliže $B=\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&1&3\\
0&0&1
\end{pmatrix}$. 

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Dokažte indukcí, že $B^n=\begin{pmatrix}
1&2n&3n(n-1)\\
0&1&3n\\
0&0&1
\end{pmatrix}$. 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Vypočtěte $C^n=\begin{pmatrix}
1&1&2\\
0&2&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}^n$.
\end{zad}

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Spočtěte si $C^2$, $C^3$ a $C^4$. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná $C^n$, a tu dokažte indukcí.

\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Pro všechny  elementární řádková operace $\operatorname{op}$ na maticích o $k$ řádcích platí $$\operatorname{op}(E_k)\cdot A=\operatorname{op}(A),$$
kde symbol $\operatorname{op}(A)$ znamená provedení operace na matici $A$ tvaru $k\times n$ a $E_k$ je jednotková matice tvaru $k\times k$. Ukažte pro konkrétní matice
$A$. 
\end{zad}

\medskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } Matice $A$ a $B$ tvaru $n\times n$ jsou dány předpisem:
$$
A_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\ge j$,}\\
2, &\text{if $ i< j$,}
\end{cases}
\qquad
B_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\le j$,}\\
3, &\text{if $ i>j$.}
\end{cases}
$$
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin. 
\end{zad}

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Napište si tyto matice například  pro $n=6$. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné $n$ spočtěte $(A\cdot B)_{ij}$ zvlášť pro $i\le j$ a pro $i\ge j$.
\end{document}

