\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  8. cvičení z M1110, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip


%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou li\-neár\-ní. 
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi:\R^2\to \R,\ \varphi(x_1,x_2)=2x_1+x_1x_2$,
\item[(b)] $\varphi:\R^2\to\R^3,\ \varphi (x_1,x_2)=(2x_1-3x_2, 5x_2, x_1-x_2)$,
\item[(c)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1),p(2)^2)$,
\item[(d)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1), p(2))$.
\end{enumerate}
\end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Ve vektorovém prostoru $\R^3$ uvažujme bázi $u_1=(1,0,1)$, $u_2=(0,1,1)$, $u_3=(1,1,1)$.
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je lineární zobrazení, o němž víme, že
$$\varphi(u_1)=u_1,\ \varphi(u_2)=u_3,\ \varphi(u_3)=u_2.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo
$\varphi(x)=Ax$.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Nechť $\varphi$ je zobrazení $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle roviny
$x_1-x_3=0$. Najděte matici $B$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je $\varphi(x)=Bx$. 
\end{zad}



\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení $\varphi: \R^4\to \R^3$ zadaného předpisem
$$\varphi\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-2x_1+x_2-x_3\\x_1+2x_2+3x_3+5x_4\\ 2x_1+3x_2+5x_3+8x_4\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Najděte nějaké lineární zobrazení $f:\R^3\to \R^3$ takové, že
$$\operatorname{ker}f=\Big[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1
\\1\end{pmatrix}\Big] \quad \text{a}\quad \operatorname{im}f=\Big[\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\Big].$$

\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Nechť je lineární zobrazení $\varphi:\R^4\to \R^3$  zadáno svými hodnotami na vektorech báze prostoru $\R^4$.
\begin{align*}
\varphi(1,2,2,2)&=(1,-5,4), \ \varphi(0,1,2,2)=(1,2,-3),\ \varphi(0,0,1,2)=(2,-3,1),\\ 
\varphi(0,0,0,1)&=(-3,1,2). 
\end{align*}
 Najděte bázi jeho jádra a obrazu.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Napište konkrétní předpis lineárního zobrazení $F:\R_{100}[x]\to \R^{50}$ takového, že
$\dim\operatorname{ker}F=70$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.$^*$\ }
Nechť $\varphi:U\to V$ je lineární zobrazení a $u_1,u_2,\dots, u_k\in U$. Dokažte:
Jsou-li $\varphi(u_1), \varphi(u_2),\dots,\varphi(u_k)\in V$ lineárně nezávislé, pak jsou rovněž   $u_1,u_2,\dots, u_k\in U$ lineárně nezávislé.
\end{zad}



\end{document}

