\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  9. cvičení z M1110, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip


%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Nechť $\varphi:\R_3[x]\to \R^4[x]$ je lineární zobrazení zadané předpisem  
$$\varphi(p)=(x^2+1)p'(x),$$
kde $p'$ je derivace polynomu $p$. Najděte matici  $(\varphi)_{\beta,\alpha}$ zobrazení 
$\varphi$ v bázích $\alpha=(1,x,x^2,x^3)$ prostoru $\R_3[x]$ a $\beta=(x^4,x^3,x^2,x,1)$ prostoru $\R_4[x]$.
(Pozor na pořadí vektorů v bázi.) 
\end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } Nechť $\varphi$ je zobrazení $\R^3$ do sebe, které je symetrií podle roviny
$x_1+2x_2-x_3=0$. Najděte matici $(\varphi)_{\alpha,\alpha}=A$ tohoto zobrazení v bázi $\alpha$ složené ze dvou vektorů ležících v dané rovině a třetího vektoru kolmého k rovině. Dále najděte matici $(\varphi)_{\varepsilon, \varepsilon}=B$ ve standardní bázi prostoru
$\R^3$. 

\end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Najděte matici $(\varphi)_{\alpha,\alpha}$ lineárního zobrazení $\varphi:\R^3\to \R^3$ zadaného předpisem 
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
5&2&-3\\4&5&-4\\6&4&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
v bázi $\alpha=((1,1,2)^T, (1,0,1)^T,(1,2,2)^T)$.
\end{zad}



\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Najděte matici  lineárního zobrazení $\varphi:\R^3\to \R^2$ zadaného předpisem 
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
1&2&3\\2&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
v bázích $\alpha=((1,0,1)^T, (1,1,2)^T,(1,-1,2)^T)$ a $\beta=((1,2)^T,(2,3)^T)$.
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Najděte matici $(\operatorname{id})_{\beta,\alpha}$ identického zobrazení zobrazení 
$\operatorname{id}(:\R_2[x]\to \R_2[x]$, kde 
$\alpha=(x^2+x+1,x+2,x^2-x)$ a $\beta=(x^2+1,x^2-x-1,x+1)$. Najděte rovněž matice
$(\operatorname{id})_{\alpha,\alpha}$ a $(\operatorname{id})_{\beta,\beta}$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Nechť lineární zobrazení $\varphi:\operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)\to \R_2[x]$ má v bázích
$$\alpha=\Big(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1
\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0
\\2&1\end{pmatrix}\Big)$$
a 
$$\beta=(x^2-2x+3,x+2, 2x^2-1)$$
matici
$$(\varphi)_{\beta,\alpha}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\-1&2&0&1\\2&1&-1&3\end{pmatrix}.
$$
Najděte předpis
$$\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\dots .$$
\end{zad}

\end{document}

