Topologie Lukáš Vokřínek 2. ledna 2023 Obsah 1. Motivace 1 2. Topologický prostor 1 3. Spojitá zobrazení 3 4. Podprostory, součiny 5 5. Axiomy oddělitelnosti 6 6. Kompaktní prostory 8 7. Souvislost 12 8. Lokálně kompaktní prostory 17 9. Reálné funkce 19 10. Homotopie, fundamentální grupa, nakrytí 22 11. Simpliciální komplexy, Brouwerova věta, invariance dimenze 28 12. Jordan curve theorem 33 13. Covering dimension 37 14. Compact-open topology 41 15. Kompaktně generované Hausdorffovy prostory 43 16. Algebry spojitých funkcí 45 17. Topologické grupy, Pontryaginova dualita 47 18. Parakompaktní prostory 49 19. Uniformní prostory 51 n Úvod Tento text vznikl sepsáním mých příprav přednášek a cvičení k předmětu „Topologie". Jako výchozí text jsem používal své zápisky, které jsem pořídil když předmět vyučoval prof. Rosický. Ten vycházel z Pultrovy knihy „Podprostory euklidovských prostorů". Některé části jsem rozšířil či doplnil, čerpal jsem především z Bredonovy knihy „Geometry and topology". To se týká také kapitol, které jsem přidal. V textu jsou příklady, které jsme dělali ve cvičeních označeny „cv"; nesepisoval jsem k nim vzorová řešení. Příklady označené „dú" jsem nechal za domácí úkol. Části textu označené „*" jsou technicky náročnější pasáže, které jsem někdy ani neprobíral na přednášce, ale na které se mohu ptát u zkoušky. Části označené „**" považuji za zbytečně těžké nebo speciální a ptát se na ně nebudu. Části označené jako „nd" jsme nedělali, ale mám v plánu je v budoucnu probírat. m 1. Motivace Topologie se zabývá „topologickými prostory" - to jsou zhruba metrické prostory, akorát zapomeneme na konkrétní vzdálenosti mezi body a zapamatujeme si pouze, které body „jsou blízko". Ústředním pojmem je pak spojitosti, konkrétněji spojité zobrazení. Ve výsledku to znamená, že čtverec je „totéž" co kružnice (narozdíl od geometrie). To je proto, že existují spojitá vzájemně inverzní zobrazení mezi čtvercem a kružnicí - dohromady zadávají izomor-fismus. Existují i jiné druhy prostorů - založené na jiných typech zobrazení. Jedná se například o metrické prostory - izometrie diferencovatelné variety - diferencovatelná zobrazení algebraické variety - polynomiální zobrazení PL (po částech lineární) variety - po částech lineární zobrazení polyedry - afinní zobrazení V negeometričnosti (čtverec = kružnice) jde ještě značně dál algebraická topologie, která prohlásí za stejné prostory i R™ a prostor sestávající se z jediného bodu, neboť R™ lze „spojitě zdeformovat" do bodu. 2. Topologický prostor V metrickém prostoru M definujeme otevřenou kouli okolo x o poloměru e > 0 jako Be(x) = {y e M I dist(x,y) < e}. Řekneme, že podmnožina U C M je otevřená, jestliže pro každé x S U existuje e > 0 tak, že Be{x) C U. Zkráceně říkáme, že U obsahuje s každým bodem i nějaké jeho okolí. Definice 2.1. Topologie na množině X je systém podmnožin X C V(X) splňující následující podmínky (1) f]i€lUi S X. Topologický prostor je množina X společně s topologií X na X. Prvky X nazýváme oteřené podmnožiny X. Poznámka. Podmínka (0) plyne ze zbylých dvou, 0 je totiž sjednocením prázdného systému podmnožin a X průnik prázdného systému. Příklady 2.2. 1. metrické prostory (podrobněji to dokážeme časem), 2. pro libovolnou množinu X definujeme diskrétní topologii na X jako X = V(X) (vše je otevřené, je zadána metrikou dist(x,y) = 1), 3. pro libovolnou množinu X definujeme triviální topologii na X jako X = {0,X} („nic" není otevřené, je zadána pseudometrikou dist(x,y) = 0), 4. pro libovolnou množinu X definujeme topologii konečných doplňků na X jako X = {UQX\X\U konečná} U {0}, 1 dú 1 5. je-li X libovolná (před)uspořádaná množina, je x = {U C X | U splňuje Vx e U Vy < x : y S U} topologie. Naopak, je-li x libovolná topologie splňující (2) i pro nekonečné indexové množiny X, pak na X existuje předuspořádání zadávající tuto topologii. Pokusíme se nyní dokázat, že otevřené množiny zadané metrikou opravdu definují topologii. K tomu se nám bude hodit následující pojem. Definice 2.3. Systém množin s C v{X) se nazývá subbáze topologie x, jestliže x je nejmenší topologie obsahující s. Systém množin b C v(X) se nazývá báze topologie x, jestliže x jsou právě všechna sjednocení prvků b. Jinými slovy, x = {a C X | Vx e a 3U e b: x e u c a} (protože pak a = \j{u e b | u C a}). Lemma 2.4. Platí, že b je báze nějaké topologie (podle definice však jediné), právě když platí následující podmínky 1. X = \jb a 2. pro každé U,V S b a x 0} je bází topologie. (Prvně dokažte, že je bází nějaké topologie, pak ji identifikujte jako kanonickou topologii na metrickém prostoru.) Je-li nyní s C v(X) libovolný systém podmnožin, splňuje b = {konečné průniky prvků s} podmínky lemmatu a proto je topologie generovaná s právě x = {sjednocení konečných průniků prvků s}. Definice 2.6. Podmnožina FCIse nazývá uzavřená, jestliže X \ F je otevřená. Například v prostoru konečných doplňků jsou uzavřené právě konečné množiny a X. Pro X = C lze ekvivalentně uzavřené množiny popsat jako nulové množiny polynomů - tento příklad má zobecnění do Cn, viz algebraická geometrie. Poznámka. Pro uzavřené množiny platí „duální" axiomy k axiomům topologie. Ekvivalentně je možné topologii zadat systémem uzavřených množin, které splňují tyto axiomy. Definice 2.7. Uzávěr a podmnožiny a C X je nejmenší uzavřená podmnožina obsahující a, tj. a= n f. acf uz. cv Příklad 2.8. Dokažte následující vlastnosti uzávěru 1. 0 = 0, 2. au b = a~ub, 2 3. A C A, 4. =Ä = Ä. Dále ukažte, že obecně neplatí Af] B = Af] B. Pomocí uzávěru (nebo lépe řečeno uzáverového operátoru) lze topologii zrekonstruovat následovně: podmnožina A C J je uzavřená, právě když A = A. Poznámka. Platí, že topologii lze ekvivalentně zadat uzáverovým operátorem (tj. operátorem v{x) ->■ v{x) splňujícím axiomy (l)-(4)). Lemma 2.9. Platí A~ = {x E X \ VU otevřená, x E U : A n U ^ 0}. O bodech z pravé strany mluvíme jako o limitních bodech A (a nepotřebujeme k tomu říct, co je to limita posloupnosti). Důkaz. Platí x (£ A, právě když existuje uzavřená F D A, neobsahující x. Přejitím k doplňkům to je, právě když existuje otevřená U = X \ F, A n U = 0a obsahující x. To je ale přesně x £ RHS. □ Definice 2.10. „Duálně" definujeme vnitřek A jako největší otevřenou množinu obsaženou v A, tj. A= U U. adu ot. Říkáme, že vnitřní body A jsou ty, které se do A vejdou i s nějakým svým okolím. Přesněji okolí definujeme později. 3. Spojitá zobrazení Definice 3.1. Zobrazení /': X —?> Y mezi dvěma topologickými prostory se nazývá spojité, jestliže pro pro každou otevřenou U C Y je také f-1 (U) C X otevřená. cv Cvičení 3.2. 1. Spojitost stačí ověřit pro U z nějaké (libovolné) subbáze topologie na Y. 2. Zobrazení / je spojité, právě když vzor každé uzavřené množiny je uzavřený. - konec 1. přednášky - Definice 3.3. Podmnožina N C X se nazývá okolím bodu x E X, jestliže existuje otevřená množina U s vlastností x E U Q N. Zejména otevřené okolí bodu a; je to samé, co otevřená množina obsahující x. Pomoci okolí se dají charakterizovat otevřené množiny jako ty, které jsou okolími všech svých bodů. Definice 3.4. Řekneme, že zobrazení /: X —> Y je spojité v bodě x E X, jestliže pro každé okolí N bodu f(x) je také f~1{N) okolím bodu x. dú 2 Cvičení 3.5. Dokažte, že zobrazení / : X —> Y je spojité, právě když je spojité v každém bodě x E X. Definice 3.6. Řekneme, že systém Af okolí bodu x je bází okolí bodu x, jestliže každé okolí bodu x obsahuje jako podmnožinu nějaký prvek Af. (Dělal jsem později u regulárních.) 3 Příklad 3.7. V metrickém prostoru tvoří otevřené koule B£(x), e > 0, se středem v x bázi okolí bodu x. Alternativně tvoří bázi okolí koule Bi/n(x), n £ N. Tato množina je spočetná. Proto každý metrizovatelný prostor, tj. takový prostor, jehož topologie je zadána nějakou metrikou, musí mít spočetnou bázi okolí každého bodu - je tzv. „hrst countable". Cvičení 3.8. 1. Spojitost v bodě x £ X stačí ověřovat na okolích f{x) z nějaké (libovolné) báze okolí. 2. Zobrazení f : M N mezi metrickými prostory je spojité, právě když splňuje e-5-definici spojitosti. Důkaz. Část 1. je elementární. Část 2. plyne z toho, že otevřené koule Bg(x), ô > 0, tvoří bázi okolí x a Bs(f(x)), e > 0, tvoří bázi okolí f(x). □ Cvičení 3.9. Dokažte, že zobrazení f: X Y mezi předuspořádanými množinami X, Y je spojité, právě když je izotonní. Lemma 3.10. Následující podmínky na zobrazení f: X —> Y jsou ekvivalentní 1. f je spojité, 2. /_1(-B) C f-1 (B) pro libovolnou podmnožinu B C Y, 3. f (A) C f (A) pro libovolnou podmnožinu A C X. Poslední podmínka je zobecněným vyjádřením toho, že xn —> x implikuje f(xn) —> f (x) (pro obecné topologické prostory však posloupnosti nemusí být dostačující). Důkaz. Ukážeme prvně ekvivalenci 1. a 2. Jelikož f_1(B) je uzavřená podmnožina obsahující /-1(-B), musí obsahovat i f~ľ(B). V opačném směru pro uzavřenou F C Y platí /_1(F) C f-1 (F) = f'1 (F) a tedy /_1(^) je uzavřeny_ Nyní ukážeme 2. => 3. Chceme A C f~1{f{A)), přitom zjevně platí A C /_1(/(A)) a tedy ÄCf-\f(A))Cf-\J(Äj). Zbývá ukázat 3. => 2. Chceme f{f~1{B)) C B, přitom zjevně platí f{f~1{B)) C B & tedy f(FHB))Qf(f-HB))QB. □ Definice 3.11. Zobrazení /: X —> Y se nazývá homeomorfismus, jestliže je / bijekce a obě zobrazení /, /_1 jsou spojitá. Příklad 3.12. 1. Interval (0,1) je homeomorfní M; homeomorfismus (0,1) -> K je například zobrazení t h-> tg(7rí - tt/2). 2. Zobrazení id: Xdisc ^triv je spojitá bijekce, ale jeho inverze id: Xtriv —> X^isc spojitá není; viz další příklad. 3. Rozmyslete si, kdy je zobrzení id: (X, Xq) —> (X, X\) spojité. 4. Zobrazení [0,1) —> S1, t i—> e2mt je spojitá bijekce, ale jeho inverze spojitá není. 5. Ve skutečnosti neexistuje homeomorfismus [0,1) ^> S1. To se nejlépe ukáže tak, že se najde nějaký „invariant", který tyto dva prostory odliší. V tomto případě lze například říct (časem to budeme schopni formulovat přesně), že vyjmutím jakéhokoliv bodu z S1 se prostor nerozpadne, zatímco vyjmutím bodu í 7^ 0 z [0,1) se tento interval rozpadne. Dalším takovým invariantem je kompaktnost. 4 6. Pro m ^ n neexistuje homeomorfismus Rm ^> R™. Pro n = 1 to lze vidět, podobně jako v předchozím příkladě, pomocí odstraňování bodů a souvislosti. Pro vyšší n je potřeba „vyšší souvislost". cv Příklad 3.13. Popište spojitá zobrazení z triviálního prostoru a spojitá zobrazení do diskrétního prostoru. Poznámka. Topologie je nealgebraická (spojitá bijekce není nutně homeomorfismus). Z jednoho z příkladů vidíme, že úplnost metrického prostoru není topologický pojem, tj. existují homeomorfní prostory, z nichž jeden tuto vlastnost splňuje a druhý ne. Na druhou stranu kompaktnost je topologický pojem, později ji charakterizujeme čistě v řeči otevřených množin. 4. Podprostory, součiny Definice 4.1. Nechť X je topologický prostor aiCÍ jeho podmnožina. Definujeme na A topologii podprostoru jako {A n U I U C X otevřená}. Množinu A společně s topologií podprostoru nazveme podprostorem X. Důležitou vlastností podprostoru je, že vložení i : A —> X je spojité a má následující univerzální vlastnost: zobrazení /: T —> A je spojité, právě když je spojité i f: T-»l. T--+A i X (obojí plyne z toho, že An U = i_1(ř7)). Důkaz lze shrnout do pozorování: topologie podprostoru je nejmenší taková, pro kterou je inkluze i spojitá. dú 3 Lemma 4.2. Pro podmnožinu B Cl A platí c\AB = AC\B, kde c\a B značí uzávěr B v podprostoru A. Poznámka. Nic podobného neplatí pro vnitřek. Definice 4.3. Systém A C V{X) množin se nazývá pokrytí prostoru X, jestliže \JA = X. cv Cvičení 4.4. Nechť U je otevřené pokrytí prostoru X. Dokažte, že zobrazení /: X —> Y je spojité, právě když každé zúžení f\u- U ->ľ, U S 14, je spojité. Podobně dokažte totéž pro konečné uzavřené pokrytí J-. dú 4 Cvičení 4.5. Dokažte, že čtverec je homeomorfní kružnici. Definice 4.6. Nechť X, Y jsou topologické prostory. Definujeme na X x Y součinovou topologii generovanou bází {U x v | u e x, V e y}. Množinu X x Y společně se součinovou topologií nazveme součinem topologických prostorů X, Y. 5 Důležitou vlastností součinu je, že projekce p: X xY —> X, q: X xY —> Y jsou spojité a mají následující univerzální vlastnost: zobrazení / = (g,h): T —> X x Y je spojité, právě když jsou spojité jeho složky pf = g:T—>Xa,qf = h:T—>Y. (obojí plyne z toho, že U x V = p_1(ř7) n q-1 (V)). O něco složitější je součin nekonečně mnoha topologických prostorů, kde vodítkem ke správné definici je právě předchozí univerzální vlastnost a její důkaz. Označme projekci na j-tou složku. Definice 4.7. Nechť Xi, i £ X, jsou topologické prostory. Definujeme na Yli^i-^i součinovou topologii generovanou subbází {p~ (U) \j£l,UC Xj otevřená}. Množinu Yli^i-^i společně se součinovou topologií nazveme součinem topologických prostorů Xh i G X. Cvičení 4.8. Dokažte, že součin Hígi-^í uzavřených množin Fi C Xi je uzavřený. Poznámka. Existuje axiom oddělitelnosti To- Definice 5.1. Topologický prostor X se nazývá Ti, jestliže pro každé dva body x,y £ X, x ^ y existuje otevřené okolí U 3 x disjunktní s y, tj. y (£ U. Lemma 5.2. Topologický prostor X je Tj, právě když jsou všechny jeho jednobodové podmnožiny uzavřené. Důkaz. „<=": V definici stačí volit U = X \ {y}. „=>": Nechť y S X. Pak pro libovolné x ^ y existuje Ux 3 x otevřená neobsahující y. Proto je (Jx/j/ Ux = X ^ {y} otevřená a {y} tedy uzavřená. □ Definice 5.3. Topologický prostor X se nazývá Tg (Hausdorffův), jestliže pro každé dva body x,y £ X, x ^ y existují disjunktní otevřená okolí U 3 x, V 3 y, tj. U D V = 0. Příklad 5.4. Prostor konečných doplňků je Ti, ale není Hausdorffův (pokud nosná množina není konečná). konec 2. přednášky 5. Axiomy oddělitelnosti 6 Lemma 5.5. Topologický prostor X je Hausdorffův, právě když Aj C X x X je uzavřená podmnožina. Zde Aj = {(x,x) \ x £ X} je „diagonála". Důkaz. „=>": Ukážeme, že X x X \ Aj je otevřená. Nechť (x, y) S X x X \ Aj, tj. x ^ y. Podle definice existují U 3 x, V 3 y disjunktní otevřené. Pak (x,y) £ U xľCIxIx Aj, přičemž ř7 x V je bázická otevřená. „<=": Analogicky; nechť x, y £ X, x ^ y, tj. (a;, y) é!xI \ Aj. Protože jeXxľ \ Aj otevřená, existuje bázická otevřená podmnožina U x V" s vlastností (x, y) & U x V Q X x X \ Aj. Proto x " pomocí Aj = {(x,y) \ p(x,y) = q(x,y)}. Důsledek 5.6. Nectí f,g: X —> Y jsou dvě spojitá zobrazení a Y je Hausdorffův. Potom {xeX\ f (x) = g{x)} je uzavřená podmnožina X. Důkaz. Zobrazení (f,g): X —?> Y x Y je spojité, přičemž {x£X\f(x)=g(x)} = (f,g)-1(AY). □ Příklad 5.7. Ortogoální grupa O(n) C GL(n) je uzavřená, (podobně SL(n)) Věta 5.8. 1. Podprostory Hausdorffových prostorů jsou Hausdorffovy. 2. Součiny Hausdorffových prostorů jsou Hausdorffovy. Důkaz. Nechť x,y £ A jsou odděleny v X otevřenými množinami U, V. Potom A n U, A n V jsou otevřené množiny v A oddělující x od y. Nechť (xí), (yi) £ YÍí^i-^í Jsou různé body. Pak existuje index j £ X takový, že Xj ^ yj. Protože je Xj Hausdorffův, existují U 3 Xj, V 3 yj, U D V = 0. Potom p~1(ř7), p~1(Vr) oddělují (xí) od (yj). □ Definice 5.9. Ti-prostor X se nazývá T3 (regulární), jestliže pro každý jeho bod x £ X a uzavřenou podmnožinu F C X neobsahující x existují otevřená disjunktní okolí U 3 x, VDF, tj. unv = H>. Lemma 5.10. Topologický prostor X je regulární, právě když pro každý bod x £ X tvoří uzavřená okolí x bázi okolí, tj. pro každé okolí N 3 x existuje uzavřené okolí F 3 x splňující N D F. Důkaz. „=>": Stačí pro každé otevřené okolí W 3 x najít uzavřené podokolí. Podle definice lze oddělit x odX\W, tj. x £ U, X\W C V, UnV = 0. Jinými slovy a; o Nyní dokážeme větu o součinu. Prvně uveďme lemma. Lemma 6.14 (tube lemma). Nechť X je kompaktní prostor, Y libovolný, W Q X xY otevřená množina obsahující X x {y}. Potom existuje otevřené okolí V 3 y takové, že X x V Q W. 10 Důkaz. Z definice součinové topologie existují pro každé (x,y) otevřená okolí Ux 3 x a Vx 3 y tak, že Ux x Vx C W. Z pokrytí {Ux \ x S X} lze vybrat konečné podpokrytí UX1,..., ř7Xn. Položme V = VX1 n ■ ■ ■ n VXn. Pak UXixVC UXi x VXi QW a tedy také X x V = \j UXi x V Q W. □ dú 6 Příklad 6.15. Dokažte, že lemma je ekvivalentní následujícímu tvrzení: projekce Ixľ-^ľ je uzavřená, tj. obraz uzavřené množiny je uzavřený. Důkaz věty o součinu. Nechť W je otevřené pokrytí X xY. Pro každé y £ Y uvažme podpro-stor X x {y}, který je homeomorfní X a tedy kompaktní. Protože je W jeho otevřené pokrytí, lze vybrat WitV,..., Wn^y £ U pokrývající X x {y}. Podle lemmatu obsahuje WitV U ■ ■ ■ U Wn,y podmnožinu tvaru X x Vy. Vidíme tedy, že stačí pokrýt Y konečně mnoha Vy, protože je každé X xVy pokryto konečně mnoha prvky W. Protože je ale {Vy \ y S Y} otevřené pokrytí Y, plyne toto z kompaktnosti Y. □ Naším dalším cílem bude důkaz Tichonovovy věty o nekonečných součinech kompaktních prostorů. Dokážeme k tomu prvně tzv. Alexanderovo lemma. Lemma 6.16 (Alexander). Nechť X je topologický prostor. Pokud existuje subbáze S taková, že z každého otevřeného pokrytíU C S lze vybrat konečné podpokrytí, pak X je kompaktní. Důkaz. Důkaz je založen na axiomu výběru, konkrétně na principu maximality, či jak se to česky jmenuje. Předpokládejme, že X není kompaktní a vyberme maximální otevřené pokrytí dú 7 U, které nemá konečné podpokrytí (předpoklady Zornova lemmatu se ověří jednoduše). Nechť x £ X je libovolný bod. Jelikož je U pokrytí, existuje x £ U £ U. Protože je S subbáze, existují pak S±,..., Sn £ S tak, že x e Si n ■ ■ ■ n Sn c u. Ukážeme nyní sporem, že nějaké Si je prvkem 14. Kdyby Si (£ 14, podle maximality 14 existuje konečná 14i Q 14 tak, že {Si} U tli Je pokrytí, tj. tli pokrývá X \ Si. Potom ale U\ U ■ ■ ■ U tín pokrývá {x \ St) u ■ ■ ■ u (x \ sn) = x \ (Si n ■ ■ ■ n sn) 2 x \ u a tedy {U} U IÁ\ U ■ ■ ■ U tln pokrývá X, což je spor. Označíme-li příslušné Si S 14 jako Sx, máme x S Sx S S D 14. Protože je ale {Sx \ x S X} C S otevřené pokrytí prvky S, lze z něj podle předpokladu vybrat konečné podpokrytí. To bude ale zároveň konečným podpokrytím 14, spor. □ Věta 6.17 (Tichonov). Součin libovolného množství kompaktních prostorů je kompaktní. Důkaz. Nechť X = Hígi^í' kde Xi je kompaktní. Ukážeme, že subbáze {p~1(ř77) | j e X, Uj C X j otevřená} splňuje podmínky Alexandrova lemmatu. Nechť U je otevřené pokrytí subbazickými množinami. Definujme Uj jako množinu těch otevřených Uj C Xj, že p~^{Uj) S U. Předpokládejme, že žádné Uj není pokrytí. Potom existuje, pro každé j S I, bod x j S X j tak, že x j (£ [JUj. Potom ale bod se složkami (xj)j^x neleží v [JU, což je spor s tím, že U je pokrytí. Proto je nějaké U j pokrytí a díky kompaktnosti z něj lze vybrat konečné podpokrytí f/i,..., Un. Potom zřejmě p~1(f/i),... ,p~1(f/íl) je konečné podpokrytí U. □ 11 - konec 4. přednášky - Věta 6.18. Kompaktní Hausdorffův prostor je normální. Důkaz. Nechť F C X je uzavřená, x (£ F. Pro libovolný y (ž F existují Uy 3 x, Vy 3 y otevřené disjunktní. Protože je F kompaktní, existuje konečně mnoho yi,... ,yn E F takových, že Fcvyiu---uvyn, xeuyin---nuyn; ty jsou otevřené a disjunktní, dú 8 Implikace T3=>T4 je za domáci úkol. □ Hromadný bod posloupnosti (xn) je takový bod x, že pro každé otevřené okolí U 3 x existuje nekonečně mnoho členů xn E U. Naším cílem bude nyní ukázat, že metrický prostor je kompaktní, právě když má každá posloupnost hromadný bod. Říkejme této vlastnosti prozatím sekvenční kompaktnost. Definujme průměr diamA = sup{dist(a;, y) \ x,y E A}. Věta 6.19 (Lebesgueovo lemma). Necht U je otevřené pokrytí (sekvenčně) kompaktního metrického prostom M. Potom existuje e > 0 takové, že každá podmnožina A (Z M průměru diamA < e leží v nějakém U E 14. Číslu z věty říkáme Lebesgueovo číslo pokrytí 14. Důkaz. Zjevně stačí najít e takové, že každá uzavřená koule o poloměru e leží v nějakém U E 14. Předpokládejme, že žádné takové e neexistuje a zvolme, pro každé n S N, kouli Bi/n(xn), která se nevejde do žádné U E 14. Přechodem k podposloupnosti můžeme předpokládat, že xn —> x. Protože je IÁ otevřené pokrytí, existuje ô > 0 tak, že B2s(x) C U E IÁ. Pro n ^> 0 je dist(a;Ji, x) < ô a l/n < ô a proto Bi/n{xn) C B2s{x) C U, spor. □ Věta 6.20. Metrický prostor je kompaktní, právě když je sekvenčně kompaktní. Důkaz. Směr „=>" je jednoduchý. Nechť xn je posloupnost, která nemá žádný hromadný bod. Potom pro každé x E M existuje nějaká koule B£x(x) obsahující pouze konečný počet členů posloupnosti. Výběrem konečného podpokrytí dostaneme, že v celém prostoru je pouze konečně mnoho bodů posloupnosti, spor. Pro opačný směr nechť e > 0 je Lebesgueovo číslo Id. Protože se každá koule o poloměru e vejde do nějaké U E 14, stačí M pokrýt konečně mnoha koulemi poloměru s. Volme postupně posloupnost bodů, které jsou navzájem vzdáleny alespoň o s. Taková posloupnost musí být nutně konečná, protože žádná její podposloupnost není cauchyovská a nemůže tedy konvergovat; označme ji x\,..., xn. Potom M = Be(xi) U ■ ■ ■ U B£(xn). □ ? Otázka. Říct něco o sítích, jejich konvergenci a ekvivalenci kompaktnosti s existencí konvergentní podsítě? Říct něco o filtrech, ultrafiltrech a ekvivalenci kompaktností s tím, že každý ultrafiltr konverguje (k alespoň jednomu bodu)? 7. Souvislost Klasicky se prázdný topologický prostor považuje za souvislý, z různých důvodů je ale výhodnější ho za souvislý nepovažovat. Tomuto dilematu se vyhneme tím, že se omezíme na neprázdné prostory. Definice 7.1. Nechť X je neprázdný topologický prostor. Řekneme, že X je souvislý, jestliže jediné podmnožiny A C X, které jsou zároveň otevřené a uzavřené, jsou 0 a V. 12 Podmnožiny z definice (tj. ty, které jsou jak otevřené, tak uzavřené) se nazývají obojetné, anglicky clopen. Je-li U obojetná a V = X \ U její doplněk, pak celý prostor X je disjunktním slednocením X = U U V. V části o oddělovacích axiomech jsme pomocí disjunktních otevřených množin oddělovali podmnožiny X a tento rozklad pak odpovídá tomu, že celý prostor se skládá za dvou oddělených částí. cv Lemma 7.2. Neprázdný prostor X je souvislý, právě když každé spojité zobrazení x'■ X —> {0,1} je konstantní. Věta 7.3. Uzavřený interval [a, b] je souvislý. Poznámka. Tato vlastnost intervalu závisí, stejně jako kompaktnost, na úplnosti reálných čísel. Konkrétně [a, b]q není souvislý: zvolme libovolné iracionální c s vlastností a < c < b, pak [a, b]q = [a, c)q U (c, b]q. Důkaz. Předpokládejme, že U Q [a, b] je obojetná, 0,X ^ U. Případným přejitím k doplňku můžeme předpokládat, že a £ U. Označme T = {te [a, b] | [a, í] C U} Chceme b S T. Zjevně a S T a proto existuje to = sup T. Z uzavřenosti U dostáváme to S T, z otevřenosti pak íq + e S T s výjimkou případu íq = b. To je spor s U ^ X. (Jinak: pokud by spojité zobrazení x: X —> {0,1} nabývalo hodnot 0 a 1, muselo by nabývat i hodnoty 1/2, spor.) □ Věta 7.4. Spojitý obraz souvislého prostoru je souvislý. Důkaz. Nechť /: X —> Y je spojité zobrazení, kde X je souvislý. Nechť x- f (X) —> {0,1} je libovolná spojitá funkce. Potom je také x f '■ X —> {0,1} spojitá a tedy konstantní. Protože je /: X —> f (X) surjektivní, je také x konstantní. (Jinak: je-li U C f (X) obojetná, je obojetná i /_1(ř7) C X.) □ Věta 7.5. Uzávěr souvislé podmnožiny je souvislý. Důkaz. Je-li x '■ A —> {0,1} spojitá funkce, pak její zúžení na A je konstantní, řekněme x\a = 0. Přitom x_1(0) je uzavřená množina obsahující A a tedy x_1 = A, tedy x Je konstantní. □ Věta 7.6. Nechť Jv[ je systém souvislých podmnožin v X takový, že AD B ^ 0 pro každé dvě A, B S M.. Potom (J jvl je souvislý. Důkaz. Nechť / : (J M. —> {0,1} je spojité zobrazení. Potom její zúžení na každé A S M. je konstantní, díky souvislosti A. Přitom musí být tato konstantní hodnota stejná pro všechna A S Ái, díky neprázdnosti průniků. Tedy / je konstantní. □ Důsledek 7.7. Reálná osa R = (JraeN[—n,n] je souvislá. cv Příklad 7.8. Intervaly [a, b], [a, b), (a, b) jsou souvislé - dokažte. Pomocí odebírání bodů dále dokažte, že nejsou homeomorfní. ** Příklad 7.9. Dokažte, že prostor {Oc,sin f) | :c > 0} U {(0,y) | -1 < y < 1} je souvislý, ale nikoliv obloukově souvislý. 13 Definice 7.10. Komponenta neprázdného prostoru X je maximální souvislá podmnožina. Věta 7.11. Libovolný topologický prostor je disjunktním sjednocením svých komponent. Tyto komponenty jsou uzavřené. Důkaz. Nechť x £ X a uvažme systém M. = {A C X \ A souvislá, x £ A}. Potom (J jvl je souvislá podmnožina obsahující x, zjevně maximální. Kdyby dvě různé komponenty měly neprázdný průnik, bylo by jejich sjednocení souvislé, což by byl spor s maximalitou. Uzavřenost plyne z toho, že uzávěr souvislé podmnožiny je souvislý a z maximality. □ Definice 7.12. Řekneme, že topologický prostor X je totálně nesouvislý, jestliže jeho komponenty jsou jednobodové. dú 9 Příklad 7.13. Dokažte, že q je totálně nesouvislý. Množina obojetných množin společně s inkluzí, (Oh(X), C), tvoří Booleovu algebru (obo-jetné množiny jsou uzavřené na konečné sjednocení, konečné průniky a komplementy). Takto dostaneme všechny Booleovy algebry (až na izomorfismus). Po zúžení na kompaktní Hausdor-ffovy totálně nesouvislé prostory, tzv. Stoneovy prostory, dostáváme jednoznačnou korespondenci, tzv. Stoneovu dualitu. nd Nechť naopak -B je Booleova algebra. Uvažujme množinu S(B) všech homomorfismů Bo-oleových algeber ip: B —> 2.1 Můžeme tedy S(B) C 2B vybavit topologií podprostoru, kde 2B má topologii součinu (2 má diskrétní topologii). Jako podprostor součinu Hausdorffových totálně nesouvislých je Hausdorffův a totálně nesouvislý. Nyní ukážeme, že S(B) je uzavřený, tedy kompaktní. Nechť ip: B —> 2 není homomorfismus Booleových algeber. Předpokládejme například, že ip(b) = 0 = 2 na 6-tou složku jako pb, pak ip £ p^~1(0) Hp~1(0) Dp^c(l), přičemž žádné zobrazení z tohoto otevřeného okolí neleží v S(B). nd Věta 7.14 (Stone). Výše uvedené kontrukce zadávají (kontravariantní) ekvivalenci mezi Sto-neovými prostory a Booleovými algebrami. nd Kontravariantnost znamená, že homomorfismům algeber B —?> B' odpovídají spojitá zobrazení S{B') -> S{B). ** Důkaz. Homeomorfismus X —> S(Ob(X)) posílá bod x S X na zobrazení U *—> (x S U), kde x S U je potřeba chápat jako logickou hodnotu, tedy prvek 2. Izomorfismus B —> Ob(S(B)) posílá prvek b S B na obojetnou množinu Pt\l) = We S(B) | ^(6) = 1} C S(B). □ Lemma 7.15. Označme Cx sjednocení všech souvislých podmnožin obsahujících x, tj. komponentu bodu x. Dále označme Qx průnik všech obojetných podmnožin obsahujících x, tj. kva-zikomponentu bodu x. Na závěr označme Ox průnik všech otevřených podmnožin obsahujících x. Platí C-x Q Qx 3 Ox 1 Alternativní charakterizace takových homomorfismů je pomocí ^9-1(0) - to jsou právě maximální ideály - nebo pomocí - to jsou právě ultrafiltry. (Filtr v B je nahoru uzavřená množina F C B, uzavřená na konečná suprema. Ultrafiltr je maximální filtr neobsahující 0.) 14 přičemž Ox = {x} právě když X je Tj, druhá inkluze je rovnost pokud topologie X je generována obojetnými množinami a prní inkluze je rovnost pokud X je kompaktní Hausdorffův (nebo taky pokud X je lokálně souvislý). Zejména kompaktní Hausdorffův prostor je totálně nesouvislý (Cx = {x}), právě když je totálně separovaný (Qx = {x}), právě když je nula-rozměrný (topologie generovaná obojetnými množinami). Důkaz. První inkluze plyne z toho, že každá souvislá podmnožina obsahující x je obsažena v každé obojetné podmnožině obsahující x, druhá z toho, že každá obojetná podmnožina je otevřená. První dvě charakterizace jsou snadné (druhá plyne z toho, že v případě nula-rozměrného X tvoří obojetná okolí bodu bázi okolí tohoto bodu). ** Poslední bod je výrazně těžší: Ukážeme, že Qx je souvislá podmnožina. Nechť tedy Qx = F u G & řekněme F 3 x. Protože je X normální, lze tyto dvě uzavřené podmnožiny F & G (jedná se o uzavřené podmnožiny Qx, který je sám uzavřený) oddělit otevřenými množinami F C U, G C V, přičemž U n V = 0 a zejména tedy F = QxnU,G = QxnV. Označme H = X \ (U U V), přičemž jakožto uzavřená podmnožina kompaktního prostoru se jedná o kompaktní prostor. Protože průnik všech obojetných podmnožin obsahujících x je roven Qx a má tedy nulový průnik s H, existuje konečný podsystém, jehož průnik A (opět obojetná podmnožina) má nulový průnik s H, tedy je obsažen v U U V: Qx Q A C U U V. Potom A = (An U) U (An V) a obě tyto jsou obojetné (obě jsou otevřené, stejně jako X \ A). Protože A n U 3 x, musí být Qx C A n U a dostáváme tak Qx = F a Qx je opravdu souvislý. Zbývá ještě ukázat, že totálně separovaný kompaktní Hausdorffův prostor je nula-rozměrný. Nechť X D U 3 x je okolí. Protože Qx = {x}, je průnik všech obojetných okolí x prázdný v kompaktním X \ U, takže opět už nějaký konečný průnik, tj. nějaké objetné okolí x, je obsažené v U. □ - konec 5. přednášky - Příklad 7.16 (Cesta vyplňující čtverec). Začněme s cestou znázorněnou v prvním obrázku, kterou procházíme konstantní rychlostí, označme ji 71. V dalších krocích nahradíme všechny úseky jn, které vypadají jako 71, odpovídajícími úseky vypadajícími jako 72. Všechny cesty jsou procházeny konstantní rychlostí. 71 72 73 74 Položme 7 = limra_;,00 7„. Jelikož 7^+1 (í) a 7n(í) leží v temže čtverci o straně (1 /2)™-1, je tato posloupnost stejnoměrně konvergentní a proto je 7 spojitá. Zbývá ukázat, že je surjektivní. Nechť x je libovolný bod čtverce a napišme ho jako průnik posloupnosti čtverců o stranách 15 (1/2)™-1 znázorněných v obrázcích. V každém takovém čtverci leží nějaký bod ^yn(tn) a proto je x = limJj_;>00 jn(tn). Přejitím ke konvergentní podposloupnosti můžeme předpokládat tn —> t a pak 7(í) = limra_;,00 j(tn) = limra_;,00 jn(tn) = x ze stejnoměrné konvergence. (Jinak 0, x1x2x3x4 ... 1—> (0, xix% ...; 0, x2x4 ■■■)■) Věta 7.17. Součin dvou souvislých prostorů je souvislý. Důkaz. Nechť /: X x Y —?> {0,1} je spojité zobrazení a nechť (x,y) a (x',y') jsou dva body X xY. Potom f{x, y) = f(x', y) ze souvislosti X x {y} = X a f (x', y) = f (x', y') ze souvislosti {x'} x Y S Y. Je tedy / konstantní. □ Příklad 7.18. Prostory R a R™, kde n > 1, nejsou homeomorfní - opět pomocí odebírání bodů. K tomu je potřeba dokázat, že R™ \ {0} je souvislý. Lze ho napsat jako sjednocení souvislých množin tvaru R1 x R± x W, kde R± je buď množina kladných nebo záporných čísel a i + 1 + j = n. Tyto množiny sice nemají neprázdné průniky, ale to nastane pouze pro dvojice R1 x R+ x R-7 a R1 x R_ x R-7 a ty mají neprázdný průnik s kteroukoliv jinou množinou ze systému in > 1). Věta 7.19. Libovolný součin souvislých prostorů je souvislý. Důkaz. Nechť opět / : IIígi^í ~~^ {0> 1} a nechť x = (xi) E /_1(0). Protože je / spojité, nabývá hodnoty 0 také na nějakém okolí p~1(ř77-1) fl ■ ■ ■ np~j1(ř77-n) bodu x. Zejména / nabývá hodnoty 0 na všech bodech y splňujících Xjx = y^, . . ., Xjn = yjn. V předchozím důkazu jsme ukázali, že / má stejné hodnoty na bodech lišících se v konečně mnoha komponentách. Dohromady je / konstantní. □ Od teď budeme značit / = [0,1]. Definice 7.20. Cesta v X je spojité zobrazení 7: /->!, Říkáme, že 7 spojuje body 7(0), 7(1). Definice 7.21. Neprázdný prostor X se nazývá cestově souvislý (tradičně obloukově souvislý), jestliže lze každé dva jeho body spojit cestou. Věta 7.22. Libovolný cestově souvislý prostor je souvislý. Důkaz. Je-li 7^ cesta spojující nějaký vybraný bod xq g X s bodem x, pak X = (Jxgx im7^' přičemž každý im7x je souvislý (jako obraz /) a všechny se protínají v xq. □ V opačném směru věta neplatí vždy, ale pouze za jistých omezujících podmínek. Řekneme, že prostor X je lokálně cestově souvislý, jestliže cestově souvislá okolí tvoří bázi okolí v každém bodě, tj. jestliže pro každé okolí N 3 x existuje cestově souvislé okolí O splňující N D O 3 x. Příklad 7.23. Otevřené podmnožiny eukleidovských prostorů jsou lokálně cestově souvislé. Obecné podmnožiny lokálně cestově souvislé být nemusí (viz Přiklad 7.9). Lemma 7.24. Pokdu lze spojit cestou x s y a y se z, pak také x lze spojit cestou se z. Důkaz. Nechť 7 je cesta spojující x s y & 5 cesta spojující y se z. Položme 7(2í) 0<í W1, x i—y xô-i' ukázat, že je spojitá společně se svou inverzí v *-> ■ eo + 1+^p ■ v - °bě jsou dány vzorečkem (moje univerzální zdůvodňování) - a použít předchozí příklad). Vzoreček pro inverzi lze nechat za DU s tím, že bych jim odvodil, že musí být tvaru eo + k (v — eo). dú 12 Příklad 8.10. Popište jednobodovou kompaktifikaci kompaktního Hausdorffova prostoru. - konec 6. přednášky - Tvrzení 8.11. Spojitá bijekce f: X Y mezi lokálně kompaktními prostory je homeomor-fismus, právě když je „řádné" (proper, tj. vzor kompaktní množiny je kompaktní). Důkaz. Podle definice topologie na jednobodové kompaktifikaci je /+ : X+ —> Y+ spojité, právě když je / řádné. Potom se ale jedná o spojitou bijekci mezi kompaktními Hausdorf-fovými prostory a tedy o homeomorfismus. Jeho zúžení / pak musí být také homeomorfis-mus. □ To lze (možná) použít na příklad stereografické projekce 5n\ {eo} —> R™ - je však potřeba dokázat řádnost. Věta 8.12. Lokálně kompaktní prostory jsou právě otevřené podprostory kompaktních Hausdor-ffových prostorů. Důkaz. „=>": každý lokálně kompaktní prostor X je otevřeným podprostorem X+. „<="'■ každý kompaktní Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní a tyto jsou zjevně uzavřené na otevřené podprostory. □ Poznámka. Platí také, že uzavřená podmnožina lokálně kompaktního podprostoru X je lokálně kompaktní: kompaktní okolí x v F lze dostat jako průniky F s kompaktními okolími x v X. ** Ještě obecněji platí, že podmnožina A C J je lokálně kompaktní, právě když je průnikem otevřené a uzavřené podmnožiny (konkrétně je A otevřená v A). 18 9. Reálne funkce Definice 9.1. Kompaktifikace prostoru X je vložení X ^ K prostoru X do nějakého kompaktního Hausdorffova prostoru K jako podprostoru takové, že platí X = K. Základním příkladem je výše zmiňovaná jednobodová kompaktifikace. Opačným extrémem je tzv. Stoneova-Cechova kompaktifikace, která naopak přidá bodů co nejvíce. Tato kompaktifikace funguje pro libovolné úplně regulární prostory - těmi se budeme zabývat v této kapitole. Definice 9.2. Nechť X je Ti topologický prostor. Řekneme, že X je T3i (úplně regulární), jestliže pro každý jeho bod x S X a uzavřenou podmnožinu F C X neobsahující x existuje spojitá funkce /: X —> [0,1] taková, že f{x) = 0 a f\p = 1. Otázka. Cvičení: každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor je úplně regulární (ono to plyne taky z jednobodové kompaktifikace). Příklad 9.3. Každý metrický prostor je úplně regulární. Dokázali jsme dokonce, že je „úplně normální", tj. že lze oddělit funkcí libovolné dvě uzavřené množiny. Za chvíli uvidíme, že tato podmínka je ekvivalentní normalitě. Věta 9.4. Úplně regulární prostory jsou uzavřené na podprostory a součiny. Důkaz. Je-li A Cl X libovoný podprostor a x S A, F C A uzavřená v A a neobsahující x, tak potom x a F jsou také disjunktní v X. Proto existuje /: X —> [0,1] oddělující x od F. Její zúžení na A odděluje x od F. Nechť nyní Xi jsou úplně regulární, i S X, a uvažme součin X = Hígi^í- Je-li x S X ■& F (Z X uzavřená neobsahující x, potom x S X \ F (otevřená) a podle definice topologie součinu x epj^U!)n ■ ■ ■ nP^{Un) ci\F pro nějaké otevřené Uk Q Xjk. Přechodem k doplňkům Fk = Xjk \ Uk dostáváme p-1(F1)U---Up-n1(Fn)DF a uzavřená množina nalevo stále neobsahuje x. Stačí ji proto od x oddělit. Zvolme spojité funkce /j,: Xjk —> [0,1] oddělující Pjk(x) od F^ a položme f(x) = max{/i(p3l(x)),.. .,fn(pjn(x))}. □ Cvičení 9.5. Dokažte, že pro spojité funkce f,g: X —> R je spojitá i max{/, g}. Věta 9.6. Úplně regulární prostory jsou právě podprostory krychlí [0, l]s. Důkaz. Každý podprostor [0, l]s je úplně regulární podle předchozí věty. Nechť tedy naopak X je úplně regulární a položme S = {/ : X —> [0,1] | / je spojité}. Komponenty í S [0, l]s budeme psát jako tf = Pf(t). Definujme zobrazení h : X —> [0, l]s pomocí jeho komponent X--^[0,lf [0,1] 19 tedy h(x) = (f(x))f^s- Podle univerzální vlastnosti součinu je h spojité. Dále ukážeme, že je injektivní a na závěr, že je homeomorfismem na svůj obraz. Nechť x, y £ X jsou dva různé body a nechť /: X —> [0,1] je spojitá funkce oddělující x od y. Potom (h(x))f = 0 a (h(y))f = 1, proto h(x) ^ h(y). Zbývá ukázat, že obraz uzavřené množiny F C X je uzavřený v h(X). Zvolme proto libovolný bod h(x) (£ h(F) a hledejme jeho okolí disjunktní s h(F). Díky injektivitě platí x ^ F a proto existuje / : X —> [0,1] oddělující x od F. Potom ale (h(x))f = 0, zatímco Pf\h(f) = 1- Proto (pj)_1[0,1) je hledané otevřené okolí h{x) disjunktní s h{F). □ Důsledek 9.7. Topologický prostor má kompaktifikaci, právě když je úplně regulární. Důkaz. Pokud má X kompaktifikaci, je podprostorem kompaktního Hausdorffova prostoru, o kterém jsme dokázali, že je normální. Za chvíli uvidíme, že T4 => T31 (Uryshohnova věta). Nechť naopak X je úplně regulární. Potom zobrazení h: X —> h(X) z předchozího důkazu je kompaktifikace. □ Definice 9.8. Pro vložení h : X —> [0, l]s z předchozího důkazu položme j3(X) = h(X). Jedná se o kompaktifikaci prostoru X a říká se jí Stoneova-Čechova kompaktifikace. Poznámka. Stoneova-Cechova kompaktifikace má následující univerzální vlastnost: je-li X ^ K libovolná kompaktifikace, pak existuje jediné spojité rozšíření (3(X) —> K (jednoduše se rozšíří na zobrazení (3(X) —> (3(K) = K). Z tohoto důvodu se jedná o „největší" možnou kompaktifikaci. nd Poznámka. Spojité funkce / : /3(X) —> R jsou v jednoznačné korespondenci s ohraničenými spojitými funkcemi X —> R. Z kompaktnosti (3(X) je totiž f{(5{X)) ohraničená a tím spíš f(X). Naopak, je-li g : X —> R libovolná ohraničená funkce, pak ji můžeme chápat jako g: X —> [a, b] a dostaneme /: f3(X) —> f3([a,b]) = [a,b]. ? Otázka. Je-li X diskrétní topologický prostor, pak /3(X) má být množina všech ultrafiltrů na X (je jasná, že každý ultrafiltr určuje jeden bod /3(X); proč ale nemůžou dva ultrafiltry zadávat stejný bod?). To má souvislost se Stoneovou dualitou, viz někde jinde. * Věta 9.9. Úplně regulární topologický prostor se spočetnou bází topologie je metrizovatelný. Důkaz. Analýzou důkazu věty o vložení do krychle lze jednoduše dospět k následujícímu pozorování. Nechť So Q S = {f : X —> I spojité}. Potom zobrazení ho : X —> Ps° s komponentami ho = (/)/eS0 Je vložení, jestliže pro každou uzavřenou množinu F a bod x ^ F existuje f I s vlastností f\u = 0, f\x-^v = 1> tak nějakou takovou zvolme a označme Fuy. Položme Sq = {fu,v I U C V bazické takové, že fuy existuje}. 20 Je potřeba ověřit podmínku. Nechť x ^ F, tedy x £ X \ F. Podle definice báze topologie existuje bázická V s vlastností x £ V C X \ F. Díky úplné regularitě pak existuje f: X —> I taková, že /(x) = 0 a f\x-^v = 1- Vhodnou reparamterizací *<*>-{ a-1 !il dostaneme funkci [0,1] takové, že f\p = 0 a /\q = 1. Důkaz. Položme Fo = F, U± = X \ G. Hledáme tedy funkci / s vlastnostmi f\u0 = 0, flx-^Ui = 1- Z normality existují Fo C U1/2 Q Fi/% Q Ui (neboť X \ F1/2 je okolí X \ U\ disjunktní s t/1/2). V dalším kroku dostáváme Fq C Ui/í C Fx/4 C U1/2 q F1/2 C ř73/4 C F3/4 C ř7i. a induktivně pak systém otevřených množin Um/2n a uzavřených množin Fm/2" splňující Ur C Fr a pro r < s také Fr C Us. Položme f(x) = mí{r = m/2™ S [0,1] | x S ř7r}, přičemž f(x) = 1, pokud x neleží v žádném Ur. Zejména tedy f\x-^Ui = 1; zřejmě také f\p0 = 0. Spojitost zobrazení / plyne z jednoduše ověřitelného vzorečku f~1{a,b) = Ua [0,1] lze rozšířit na f: X —> [0,1]. Důkaz. O něco symetričtější je případ funkce s hodnotami v intervalu [—1,1]. Definujme postupné aproximace rozšíření /, přičemž bude / = \imnfn. Uvažme uzavřené množiny F = <7—1 [—1, —1/3] a G = <7—1 [1 /3,1] a zvolme libovolnou funkci fi:X—> [—1/3,1/3] tak, aby fi\p = —1/3 a fi\c = 1/3. Potom \g(x) — < 2/3. V dalším kroku se podobně snažíme aproximovat funkci g-h- F ->• [-2/3,2/3] a opět se nám podaří najít ■ X —> [-2/32, 2/32] tak, že \(g(x) - fi(x)) - f2(x)\ < 22/32... Obecně pak /„: X -> [-2n-V3n, 2n-1/3n] a \g{x) - h{x) - ... - fn{x)\ < 2n/T. Protože je posloupnost částečných součtů fi + ■ ■ ■ + fn stejnoměrně konvergentní, je součet j\ + f2 + ■ ■ ■ spojitá funkce a podle odhadů se na F shoduje s g. □ ** Podobně lze rozšiřovat zobrazení do R. To jednoduše plyne z předchozích dvou vět a homeomorfismu R = (—1,1), díky němuž stačí rozšířit g: A —> (—1,1) na X. Nechť /: X —> [—1,1] je rozšíření z Tietzeho věty. Potom /_1({ —1,1}) je uzavřená množina disjunktní s A a lze tedy najít funkci A: X —> [0,1] takovou, že A = 0 na /_1({ —1,1}) a A = 1 na A. Hledané rozšíření je pak A ■ /. 21 10. Homotopie, fundamentální grupa, nakrytí Definice 10.1. Nechť X, Y jsou topologické prostory, /o,/i : X —> Y spojitá zobrazení. Řekneme, že /o, /i jsou homotopická, jestliže existuje spojité zorazení h : [0,1] x í -> ľ takové, že h(0,x) = fo(x), h(l,x) = fi(x). Značíme /o ~ /i, případně h: /o ~ f±. Zobrazení h se nazývá homotopie mezi f q a /i. Příklad 10.2. Každá dvě zobrazení /o,/i : X —)■ M™ jsou homotopická. To samé platí pro libovolnou konvexní podmnožinu W1. Příklad 10.3 (důkaz později). Vložení S1 —> R2 \ {0} není homotopická s žádným konstantním zobrazením. V dalším víceméně ukážeme, že homotopické třídy zobrazení S1 —> M? \ {0} jsou v bijekci s Z, přičemž číslo odpovídající zobrazení / je tzv. navíjecí číslo /, tj. počet oběhů / okolo počátku. Věta 10.4. Homotopie je relace ekvivalence na množině spojitých zobrazení. Důkaz. Pro reflexivitu / ~ / stačí vzít homotopii (t,x) *-> f(x) („konstantní homotopie"). Pro symetrii h: fo ~ j\ => h : /i ~ /o stačí vzít h(t,x) = h(l — t,x). Je-li h: /o ~ /i a k- fi ~ f2, pak (h*k)(t,x) = { k{2t_liX)i !<* je homotopie f o ~ f2- Její spojitost plyne z toho, že [0, ^] x X a [5,1] x X tvoří konečné uzavřené pokrytí I x X. □ Věta 10.5. Jsou-li /o ~ /i: X —> Y a go ~ gi: Y —> Z, potom také gofo ~ <7i/i: X —> Z. Důkaz. Nechť h je homotopie /o ~ /i a /c homotopie Y, g: Y —> X taková, že gf ~ idx, fg ~ idy. Značíme X ~ y. Zobrazení f & g se nazývají homotopické ekvivalence. Příklad 10.7. Platí M™ ~ {*}, tj. Rn je stažitelný; M™ \ {0} ~ S11'1. Fundamentální grupa (Poincaré). Nechť xq,xi,X2 £ X jsou pevně zvolené body. Tak jako v důkazu tranzitivity definujme pro cestu 7 z xq do x\ a cestu <5 z xi do :c2 jejich navázání 7(2í-l), iG[i,l] Tato operace je „skoro asociativní", konkrétně asociativní až na homotopii. Definujeme homotopii cest mezi 70 a 71 jako homotopii h: [0,1] x [0,1] —> X splňující h(0,x) = 70 (x), h(l,x) = 71 (x), /i(í,0) = x0, /i(r, 1) = xi. (Jinými slovy všechny cesty mezi 70 a 71 začínají a končí v týchž bodech xq, x±.) 22 Speciálním případem cest jsou smyčky v xq, tj. cesty z xq do xq. V takovém případě se homotopie cest nazývá homotopií smyček. Definujeme tvi(X,xq) = {smyčky v a;o}/nom°topie smyček. Na tvi(X,xq) definujeme operaci [/3] ■ [7] = [(3 * 7]. nd Poznámka. Ekvivalentně lze smyčky chápat jako spojitá zobrazení S1 = I/{0,1} —> X, která posílají 1 1—y xq. Homotopie smyček pak odpovídají homotopiím zobrazení S1 4 I, které celou dobu posílají 1 1—> xq. Mluvíme o zobrazeních a homotopiích prostorů s vybraným bodem (S1,1) -> (X,x0). Věta 10.8. Výše uvedená operace je dobře definovaná a zadává na tv±(X, xq) strukturu grupy. Důkaz. Je-li h homotopie smyček /3q ~ fti a k homotopie smyček 70 ~ 71, pak k(2t-l,s), \ X LiY, j : ľ->IUľ, má disjunktní sjednocení následující univerzální vlastnost fi X tj. zobrazení /: X U Y —> Z je spojité, právě když obě zúžení f i: X —> Z, fj: Y —?> Z jsou spojitá. To je proto, že XnU = i_1(ř7), YnU = j_1(ř7). Zobrazení / značíme též / = [g,h], kde g = f i, h = f j jsou jeho zúžení na podprostory X, Y. Příklad 10.13. Dokažte, že topologický prostor je nesouvislý, právě když je homeomorfní disjunktnímu sjednocení dvou neprázdných prostorů. Je-li Z = X UY jako množina, pak Z má topologii disjunktního sjednocení, právě když X, Y jsou obojetné. Poznámka. Pokud mají X, Y metriku, dodefinujme ji na metriku na XlJY pomocí dist(x, y) = 1. To zadává nalUľ topologii disjunktního sjednocení. Definice 10.14. Nechť Xi,i G X, jsou topologické prostory. Definujeme disjunktní sjednocení jako \Ji£ixi = UiexW x xi spolu s topologií {U C |J X, | Ví G X : X, n U C X, otevřená} Topologický prostor |_|íe2: Xi má opět univerzální vlastnost a opět je každé Xi otevřený a uzavřený podprostor. Definice 10.15. Spojité zobrazení p: Y —> X se nazývá nakrytí, jestliže pro každé x G X existuje otevřené okolí U 3 x a homeomorfismus ip: Uígi^ ~^ P_1(^0 takový, že komutuje [XzzU--->P-\U) kde [id]: |_|íe2: U —^ U je zobrazení, které je na každém sčítanci identita, tedy p• S1, t ^ e2mt je nakrytí. Věta 10.17 (zvedání cest). Nechť p : Y —?> X je nakrytí a 7 : I —> X cesta. Pro každé yo G p-1 (7(0)) existuje jediná cesta 7 : I —?> Y taková, že 7(0) = yo, P7 = 7- Říkáme jí zvednutí cesty 7 začínající v yo. Důkaz. Z definice nakrytí je X pokryto otevřenými množinami U takovými, že = |J U; toto pokrytí označme ti. Dále uvažme 7_1(Z//) = {7_1(^0 | U G ti}, otevřené pokrytí I. Podle Lebesgueova lemmatu existuje n G N takové, že každý interval [^p, ^] leží v nějakém 7_1(^) e -f'1 (U), tj. 7[^i, |] C Í7. Definujme 7 postupně na intervalech [£,!],..., [2=1, 2]. Nechť při homeomorfismu : LJjgjt^ — p "K^O Je V ^(ž/o) £ {*} * Protože tI^'™] Je souvislý a musí obsahovat yo, musí ležet v (p({i} x U). 24 16 dokázat poslední tvrzení Protože je p: (p({i} x U) —> U homeomorfismus, jsme nuceni položit t(*) = (P\ počáteční bod zvednutí 7|ji □ Věta 10.18 (zvedání homotopií). Nechť p: Y —?> X je nakrytí, h: I x P —?> X homotopie a P ->ľ (částečné zveduntí) takové, že p(ho(z)) = h(0,z). Potom existuje jediná homotopie h: / xP-»ľ taková, že h(0,z) = ho(z), ph(t,z) = hit, z). Říkáme ji zvednutí homotopie h začínající v h^. - konec 8. přednášky - Důkaz. Podle přechozí věty pro každé z g P existuje jediné spojité zvednutí h( — ,z) začínající v h()(z), označme jej h(—, z). Tím je dokázána jednoznačnost h, zbývá ukázat jeho spojitost. Nechť zq g P je pevné a zvolme U\,... ,Un Q X otevřené tak, že h(—, zq)[^^, ^] c Uk-Nechť ipk: p_1(ř7fc) = |J Uk je lokální trivializace a takový index, že Vkh(-,z0)[^,^} c {ik} x Uk. Jednoduše se ukáže, že na nějakém okolí N 3 zo platí tytéž vztahy (použitím tube lemma). To ale znamená, že pro í g [^p, ^] a z g N platí ífkh{t,z) = (ik,h(t,z)). Protože je ipk homeomorfismus, je h\,k-i kT,xN spojitá. Díky tomu, že jsou intervaly uzavřené a je jich konečně mnoho, je i /i|/xjv spojitá a tedy i h. □ Definice 10.19. Topologický prostor X se nazývá jednoduše souvislý (1-souvislý), jestliže je cestově souvislý a tvi(X,xq) = {e} pro každé/nějaké xq g X. Lemma 10.20. Je-li X jednoduše souvislý a x,y g X, potom existuje cesta z x do y, jediná až na homotopii cest. Důkaz. Nechť 7, ô jsou dvě cesty z x do y. Potom 7 * sy * ó je smyčka v x. Díky jednoduché souvislosti je homotopická triviální smyčce. Tato homotopie lze „přeskládat" na homotopii mezi 7 a Ô, viz £x 4\ co \ £x 5 2 £x 6/ 1 □ Věta 10.21. Nechť p: Y —?> X je nakrytí, kde Y je jednoduše souvislý. Potom existuje bijekce mezi tti(X, xq) ap~1(xo). 25 Důkaz. Zafixujme yo e p 1(xq). Definujme zobrazení p~1(x0) tvi(X,x0), y \jryy], kde 7y je libovolná cesta z yo do y. Podle definice je jednoznačná až na homotopii cest a tedy Ply Je jednoznačná až na homotopii smyček (p(yo) = xq = p(y))-Inverzní zobrazení je tti(X, x0) -> p~1(x0), W ^ 7(1), kde 7 je zvednutí 7 začínající v yo- Nechť [7] = [ô], tj. 7 ~ <5 jako smyčky, a nechť /i je nějaká taková homotopie smyček. Podle věty o zvedání homotopii existuje jediné zvednutí h začínající v h(0, s) = yo, musí tedy být h(t, 0) = 7(í), hit, 1) = 5(i) a proto h(l, s) je cesta z 7(1) do 5(1) ležící v p~1(xq). Protože je však p~1(xq) diskrétní (z lokální trivializace nakrytí), musí být tato cesta konstantní a 7(1) = 0(1); proto je zobrazení dobře definované. Zbývá ověřit, že výše uvedená zobrazení jsou vzájemně inverzní. To je ale jasné vhodnou volbou dat, pomocí kterých se definují. □ Definice 10.22. Nechť p: Y —> X je libovolné spojité zobrazení, yo e Y libovolný bod a ^0 = p(yo) £ X jeho obraz. Definujeme indukované zobrazení P*- ^l(X,yo) tvi(X,x0), [7] h-> [p7]. Protože p(j * ô) = (pj) * (pô), jedná se o homomorfismus grup. dú 17 Příklad 10.23. Dokažte, že pro nakrytí p: Y —> X je indukované zobrazení injektivní. ** Věta 10.24. Nechť p: Y —?> X je nakrytí, Y cestově souvislý. Potom existuje bijekce mezi p*7ri(Y, yo)\iri(X, xo) a p~1(xq) (připomeňme, že kvocient H\G je množina tříd Hg, g e G). cv Příklad 10.25. Spočtěte fundamentální grupu kružnice 7ri(S'1,1) a popište reprezentanty všech homotopických tříd. (Podle předchozí věty je v bijekci se Z; dokažte, že je to ve skutečnosti isomorfismus grup. Reprezentanti jsou dáni zobrazeními z 1—> zn.) ** Příklad 10.26. Fundamentální grupa S1 V S1, jeho nekonečné nakrytí a nekonečně generovaná volná podgrupa volné grupy na dvou generátorech. Nechť / : X —> X je zobrazení X do sebe. Řekneme, že x e X je pevný bod f, jestliže f(x) = x. Věta 10.27 (Brouwerova věta v dimenzi 2). Každé spojité zobrazení ma pevný bod. Důkaz. Důkaz zredukujeme na následující tvrzení: neexistuje retrakce D2 na S1, tj. spojité zobrazení r: D2 —> S1 takové, že r\gi = id. Kdyby r existovalo, dostali bychom S1 c-> D2-y S1 TTIÍS1, 1) -rin(D2, 1) -►7Tl(S1, 1) II II II Z {e} Z přičemž podle definice retrakce je složení rovno id, a tedy idg by se faktorizovala přes {e}, což nelze. 26 Zbývá ukázat, jak z neexistence retrakce plyne Brouwerova věta - opět sporem. Kdyby existovalo spojité zobrazení /: D2 —> D2 bez pevného bodu, vyrobíme z něj retrakci r tak, že r(x) bude průsečík S1 s (otevřenou) polopřímkou vedenou z f(x) bodem x. Jednoduše lze pro r odvodit formulku, která dokazuje, že je to spojité zobrazení. □ Věta 10.28 (Základní věta algebry). Každý nekonstantní polynom nad C má kořen. Důkaz. Základní myšlenkou důkazu je, že lze spočítat počet kořenů (počítaných podle své násobnosti) uvnitř daného kruhu. Ukážeme si to prvně na triviálním příkladu polynomu fn(z) = zn. Zabývejme se smyčkou 7(í) = Re2mt, která ohraničuje kruh o poloměru R. Složení /„7 : Í4R2\ {0} je dáno předpisem fn{l{ť)) = Re2mnt a oběhne počátek právě n-krát; proto v grupě 7ri(R2 \ {0}, 1) = Z reprezentuje prvek n. Hlavní ideou důkazu pak bude, že to samé platí pro libovolný polynom g stupně n - pokud všechny jeho kořeny leží uvnitř kruhu o poloměru R, pak gj je smyčka reprezentující prvek n. Nechť g(z) = zn +an_izn~1+■ ■ -+aiz+ao. Prvně omezíme možné kořeny tohoto polynomu. Nechť R > |an_i| + ■ ■ ■ + |ai| + |ao|, R > 1. Potom pro \z\ = R platí \g{z)\ > \zn\ - \an_xzn~l -\-----h aľz + a0\ >Rn- (K-ili?™-1 + ... + \ai\R+ \a0\) > Rn~1{R - (K_i| + ■ ■ ■ + |ai| + |oo|)) > 0 a tedy g má všechny své kořeny uvnitř kruhu o poloměru R. Ze stejného důvodu má pro t E I polynom zn + t(an-izn~1 + ■ ■ ■ + a\z + oq) kořeny pouze uvnitř kruhu o poloměru R. Uvážíme opět smyčku 7(í) = Re2mt. Pak výše uvedená homotopie polynomů určuje homotopii gj ~ fnj smyček {0}. Spočítali jsme, že druhá smyčka reprezentuje prvek n E Z = iri(M? \ {0}, 1) a to samé tedy platí pro gj. Předpokládejme nyní, že g nemá žádné kořeny. Pak libovolná homotopie h : 7 ~ £ s konstantním smyčkou zadává homotopii smyček 37 ~ £ v l2 \ {0}. To je ale možné pouze pro n = 0. □ Poznámka. V důkazu jsme „počítali" pouze kořeny uvnitř dostatečně velkého kruhu. Stejně lze počítat kořeny g uvnitř libovolné oblasti omezené křivkou 7: / —> C jakožto homotopickou třídu smyčky {0}. Z tohoto principu plyne i „spojitá závislost" kořenů na polynomu. Je-li zq kořen polynomu g a g' je polynom blízký g, potom g' má kořen blízký zq. - konec 9. přednášky - cv Příklad 10.29. Dokažte, že iri(Sn) = {e} pro každé n > 1. (Nápověda: každou cestu rozsekejte na navázání cest, které leží v doplňku severního/jižního pólu a každou pozměňte homotopii na cestu s „malým obrazem".) cv Příklad 10.30. Uvažujme na Vn = V(Rn+1) topologii kvocientu 5n/~, x - -x. Dokažte, že zobrazení Sn —> Vn, x 1—> [x], je nakrytí a spočtěte Tvi(Pn), n > 1. (Nápověda: leží-li otevřená množina U uvnitř jedné hemisféry, pak pro kanonickou projekci p: Sn —> Vn platí, že p: U ^> p(U); důvodem je, že p je otevřené.) dú 18 Příklad 10.31. Předchozí zobecnit na „properly discontinuous" akce (viz Bredon, ale název nesedí s klasickou definicí), tj. akce splňující: pro každý bod x E X existuje okolí U 3 x takové, že gll D U = 0 pro g 7^ e. V takovém případě je projekce X —> G\X nakrytí a pokud je X jednoduše souvislé, pak tvi(G\X) = G. 27 19 Příklad 10.32. Popište fundamentální grupu Kleinovy láhve jakožto G\R2. ** Příklad 10.33. Dokažte, že pro cestově souvislý prostor X platí [S^X] = 7ri(X)/conj. 11. Simpliciální komplexy, Brouwerova věta, invariance dimenze V dalším dokážeme Brouwerovu větu v obecné dimenzi. Věta 11.1 (Brouwerova věta). Každé spojité zobrazení Dn —> Dn má pevný bod. Prvně si rozmysleme, co říká v dimenzi 1. Máme D1 = [—1,1] a tedy tvrdíme, že každé zobrazení /: [—1,1] —> [—1,1] má pevný bod. To ale plyne z toho, že /(—1) > —1, /(l) < 1 a tedy někde v intervalu [—1,1] musí být f(x) = x. Brouwerovu větu budeme dokazovat kombinatoricky. Proto prvně potřebujeme nahradit disk Dn nějakým kombinatorickým objektem. K tomu nám poslouží následující věta, ve které dX = X \ X je hranice X. Věta 11.2. Necht X C W1 je kompaktní konvexní podmnožina s neprázdným vnitřkem. Potom existuje homeomorfismus h: Dn —> X takový, že h(Sn~1) = dX. Důkaz. Nejprve můžeme případným posunutím X, které je homeomorfismus, dosáhnout toho, že počátek 0 je vnitřním bodem X. Definujme zobrazení d: S1™-1 —> R+ jako d(v) = max{í E R+ | tv E X}. Protože je 0 vnitřním bodem, je výše uvedená množina neprázdná a díky kompaktnosti také ohraničená a uzavřená; proto maximální prvek existuje. Důležitým krokem bude ukázat spojitost zobrazení d. Potom definujeme tí: I x S™"1 -> X, h'(t, v) = td(v)v; to zřejmě posílá {0} x S1™-1 na 0 a indukuje tak zobrazení h: = (/ x S"_1)/({0} x S™"1) -> X, které je spojité a podle definice také bijekce mezi kompaktními Hausdorffovými prostory. To je onen hledaný homeomorfismus. Ukážeme prvně, že pro í E R+ a v E S1™-1 platí tv E X, právě když í < d(v). To přesně odpovídá podmínce h(Sn~1) = dX. Zjevně pro vnitřní bod tv je í < d(y). Naopak stejnolehlost se středem v d(v)v převádějící 0 na tv posílá nějakou kouli Bs(0) C X na nějakou kouli Be/(tv) C X a proto je tv vnitřní. Nyní dokážeme spojitost zobrazení d. Nechť vn —> v je konvergentní posloupnost. Protože je d(Sn~1) omezená, stačí dokázat, že každá konvergentní podposloupnost d(vn) konverguje k d(v). Předpokládejme pro jednoduchost, že sama d(vn) konverguje k nějakému í. Protože d(vn)vn -> tv a posloupnost vlevo leží v X, musí také tv E X a proto í < d(v). Předpokládejme nyní, že í < div). Potom tv je vnitřní bod X a proto také d(vn)vn je vnitřní bod pro n ^> 0. Podle předchozího odstavce se ale jedná o hraniční body, spor. □ 28 Nyní popíšeme náš kombinatorický model disku Dn. Řekneme, že body Aq, ..., Ak £ R™ jsou afinně nezávislé, jestliže A\ — Aq, ..., A^ — Aq jsou lineárně nezávislé vektory. Simplexem dimenze k (také /c-simplex) nazveme konvexní obal s = [A0, ...,Ak] = {toAo + ■■■ ÍkAk |& > 0, & + ■ ■ ■ + ík = 1}, afinně nezávislých bodů Aq, ..., Ak. Příklad 11.3. Standardní simplex Afe dimenze k je definovaný jako konvexní obal Afe = [eo,.. • , ek] vektorů standardní báze Rra+1. Je-li s = [Aq, .. . ,Ak] libovolný jiný /c-rozměrný simplex, pak existuje jediné afinní zobrazení Ak —> s posílající ej na Aj a jedná se o homeo-morfismus. Libovolné dva simplexy dimenze k jsou tedy homeomorfhí. Podle předchozí věty je libovolný simplex dimenze n homeomorfhí Dn - protože jsou každé dva simplexy dimenze n homeomorfní, plyne to z případu konvexního obalu n-tice afinně nezávislých bodů v R™ (ten má neprázdný vnitřek). Stěna simplexu s je [Aj0,..., AjJ, kde 0 < íq, ..., i g < k (a můžeme předpokládat, že jsou tyto indexy navzájem různé a uspořádané). Kombinatorický vnitřek s je intcs = {£,qAq + ■■■ ŠfcAfc | ^ > 0, & + ■ ■ ■ + 6c = 1} a kombinatorická hranice pak dcs = s \ intcs. Simpliciálni komplex K v R™ je konečná množina simplexů taková, že • každá stěna simplexu z K leží v K, • jsou-li s, t dva simplexy z K, pak s n t je jejich společná stěna. Tělesem komplexu K je množina \K\ = (J K = {JSĚ^s. Podmnožina P C R™ se nazývá polyedrem, jestliže existuje simpliciálni komplex K takový, že P = \K\. Simpliciálni komplex K se pak nazývá triangulací polyedru P. Příklad 11.4. Čtverec má triangulaci sestávající se ze dvou trojúhelníků. Složitější je krychle - ta má triangulaci sestávající se z šesti čtyřstěnů. Podrozdělení L komplexu K je simpliciálni komplex takový, že \L\ = \K\ a každý simplex s S L leží v nějakém simplexu í S K, tj. s C t. Barycentrické podrozdělení sd K je definováno následovně: sd[Ao,..., Ak] je dáno všemi stěnami /c-simplexů [^i0> \ {Ai0 + An),..., jrj^j-(Aj0 + ■ ■ ■ + Alfe)], kde íq, ... ,ik je libovolná permutace 0,..., k; barycentrické podrozdělení sd K je sjednocením všech sd s, s S K. Jemnost triangulace K je fi(K) = max{diams | s S K} = max{dist(A, B) \ [A, B] S K}, tj. největší průměr simplexu K nebo, ekvivalentně, největší vzdálenost bodů spojených hranou. Lemma 11.5. fi(sdK) < ^UL^^K). Důkaz. V důkazu několikrát využijeme následující pozorování: největší vzdálenost bodu od bodu simplexu se vždy realizuje v nějakém vrcholu tohoto simplexu.2 2Největší vzdálenost bodu X od s je stejná jako největší vzdálenost X' od s, kde X' je projekce X do lineárního podprostoru L generovaného s. Podle důkazu předchozí věty (s má neprázdný vnitřek uvnitř L) je tato maximální pro body z hranice. Dále se použije indukce. 29 Tvrzení zřejmě stačí dokázat pro simplex s = [Aq, ..., Ak]- Nechť t je simplex jeho bary-centrického podrozdělení. Průměr t je maximální délka hrany mezi jeho vrcholy. Pokud tato hrana neobsahuje -k-^(Ao + ■ ■ ■ + Ak), jedná se o simplex barycentrického podrozdělení nějaké stěny s a můžeme použít indukci vzhledem k dimenzi k. Maximální vzdálenost jrjr[(Ao + - ' '+^4fc) °d vrcholů barycentrického podrozdělení nastane pro některý vrchol Aj a tedy ju(sds) < max{dist(Aj, ^(Ao H-----h Ak)) \i = 0,...,k}, přičemž dist(Al? ^(A0 H-----h Ak)) = ^ dist(Al? \{Ai H----A%----h Ak)) a toto je omezeno j^pj-násobky vzdáleností Aj od některého z vrcholů Aj, j 7^ i. □ Věta 11.6 (Spernerovo lemma). Nechť T je triangulace simplexu [Ao,...,An] a nechť ip je zobrazení množiny vrcholů T do množiny {0,. ..,n} takové, že pro B £ [Aj0,.. . , Ajfe] je dcAn. Z případné retrakce zkonstruujeme označení vrcholů sdN An, N ^> 0, které 3Formálně to plyne z toho, že každý n-simplex s mající r za stěnu leží právě v jednom z poloprostorů určených r. Pokud tedy existuje takový s jediný, nemůže r ležet uvnitř [Aq, . .. , An]. V případě, že dva takové n-simplexy s, s' leží v témž poloprostoru, tak se protínají v nějakém vnitřním bodě; tato možnost tedy nemůže v simpliciálním komplexu nastat. 30 bude v rozporu se Spernerovým lemmatem. Označení 0 takové, že každá podmnožina průměru e leží v některé z r~1(Uo), • • • , ?"_1(^™)- Zvolme N ^> 0 tak, aby ^(sd^ A") < e. Potom pro s E sáN An bude platit r(s) C Ui pro nějaké i a zejména všechny vrcholy s budou ohodnoceny čísly z množiny {0,.. . ,i — l,i + l,...,n}. Ke sporu se Spernerovým lemmatem pak stačí ověřit hraniční podmínku. Nechť tedy B E sdN An je vrchol ležící ve stěně [ej0,..., ejj. Potom r(B) = B = ^oeo + ■ ■ ■ + £,nen s koeficienty £j = 0 pro všechna j ^ {io, ■ ■ ■ ,ífc}; zejména f(B) E {io, ■ ■ ■ ,ik}- ^ Věta 11.7 (o invarianci dimenze). Pokud M.n = M.m jsou homeomorfní, potom n = m. Začneme s jednoduchou redukcí. Pokud R™ = Rm, budou homeomorfní i jednobodové kompaktifikace, Sn = Sm. V dalším ukážeme, že sféry různých dimenzí nejsou dokonce ani homotopicky ekvivalentní. Řekneme, že zobrazení /: X —> Y je nepodstatné, je-li homotopické konstantnímu zobrazení. V opačném případě řekneme, že je podstatné. Věta 11.8. Necht Y je topologický prostor. Spojité zobrazeni f : Sn —?> Y je nepodstatné, právě když lze spojitě rozšířit na Dn+1. cv Důkaz. Pokud lze / rozšířit na g : Dn+1 —> Y, homotopie / s konstantním zobrazením je třeba h(t,x) = g(tx); je totiž h(0,x) = g(0) = const a h(l,x) = g(x) = f(x). Nechť naopak h: I x Sn —> Y je homotopie mezi konstantním zobrazením a /. Jelikož je h(0, x) nezávislé na x, dostáváme z univerzální vlastnosti kvocientu spojité zobrazení tí: Dn+1 ^ (/ x -> Y, kde (0,x) ~ (0,x'). To je hledané rozšíření. □ Věta 11.9. Každý homeomorfismus f: Sn —?> Y je podstatný. Důkaz. To je přímý důsledek Brouwerovy věty a předchozí věty. Případné rozšíření g: Dn+1 —> Y by dávalo retrakci Dn+i 9^ y ^Sn. □ Zejména platí, že žádná sféra Sn není stažitelná, tj. homotopicky ekvivalentní jednobodovému prostoru. To je totiž ekvivalentní tomu, že identita je nepodstatná. 31 * Příklad 11.10. Dokažte, že každá homotopická ekvivalence /: Sn —> Y je podstatná. V dalším ukážeme, že každé zobrazení / : Sn —?> Sm, n < m, je nepodstatné. Podle předchozího pak nemůže být homeomorfismus, což dokazuje větu o invarianci dimenze. Definice 11.11. Nechť K, L jsou dva simpliciální komplexy. Řekneme, že zobrazení / : \K\ —> \L\ je simpliciální vzhledem k triangulacím K, L, jestliže pro libovolný simplex s = [A0, ...,Ak]e K platí [/(A0),... ,/(Afc)] E L a na s je / afinní, tj. platí /(£0A0H-----hôcAfc) = tof(A0) + ---+tkf(Ak). Zdůrazněme, že vrcholy /(Aq), . . ., f(Ak) nemusí být různé, dostáváme tak simpliciální zobrazení z trojúhelníku na úsečku. To příliš nekoresponduje s kombinatorickou definicí sim-pliciálního komplexu jako množiny simplexů různých dimenzí, které něco splňují - dalo by se předpokládat, že simpliciální zobrazení bude posílat /c-simplexy na /c-simplexy. Míra obecnosti definice je však potřeba - jinak by neexistovalo žádné simpliciální zobrazení netriviálního polyedru do bodu.4 Věta 11.12. (o simpliciální aproximaci) Nechi K, L jsou dva simpliciální komplexy a nechi f: \K\ —> \L\ je spojité zobrazení. Potom existuje podrozdělení K' triangulace K takové, že f je homotopické zobrazení g: \K'\ —> \L\, které je simpliciální vzhledem k triangulacím K', L. Před vlastním důkazem věty o simpliciální aproximaci dokažme větu o invarianci dimenze. Důkaz věty o invarianci dimenze. Jak již bylo řečeno, stačí ukázat, že každé zobrazení / : Sn ->■ Sm, n < m, je nepodstatné. Díky homeomorfismům Sn = dAn+1, Sm = dAm+1 pak stačí, že každé zobrazení /' : dAn+1 —> <9Am+1, n < m, je nepodstatné. Podle věty o simpliciální aproximaci je /' homotopické simpliciálnímu zobrazení g' : \K\ —> \L\. Protože je g' na každém simplexu afinní, je jeho obraz sjednocením simplexů dimenzí nejvýše n a zejména není g' surjektivní (protože má L větší dimenzi). Zpětným přechodem ke sférám je / homotopické zobrazení g, které není surjektivní a tedy g: Sn ->• Sm\{P}^ Sm. Protože je Sm \ {P} = Mm stažitelný, je první zobrazení homotopické konstantnímu a to stejné tedy platí i pro kompozici g. □ Nyní se vrátíme k důkazu věty o simpliciální aproximaci. Označme pro vrchol A triangulace K jeho otevřenou hvězdu st(A)= (J intc[A,Ai,...,Afe], [a,au...,ak]€k tj. sjednocení vnitřků všech simplexů obsahujících A. dú 20 Dokažte, že st (A) C \K\ je otevřené okolí bodu A. Protože je Hí=o s^(Aí) sjednocením vnitřků těch simplexů, které obsahují všechny vrcholy Aq, ..., Ak, je tento průnik neprázdný, právě když [Aq, ..., Ak] s K. To se nám bude hodit v důkazu. 4Formálně lze tento „problém" obejít tak, že uvážíme také formální „degenerované" fc-simplexy [Aq, . . ., Ak] u nichž nepožadujeme, aby vrcholy byly různé (stále ale chceme, aby množina {Aq, .. ., Ak} byla afinně nezávislá). Tyto úvahy vedou na tzv. simpliciální množiny. 32 Důkaz věty o simpliciální aproximaci. Simpliciální zobrazení g je jednoznačně určeno svými hodnotami na vrcholech triangulace K', která bude násobným barycentrickým podrozdělením, K' = sdN K. Homotopie mezi / a g bude lineární - potřebujeme tedy, aby pro každý x G \K\ ležely f(x), g(x) v témž simplexu L. Nechť N ^> 0 je takové, aby se otevřená hvězda každého vrcholu A G K' = sdN K zobrazila pomocí / do otevřené hvězdy nějakého vrcholu B G L. To je možné proto, že {st(.B) | B G L} je otevřené pokrytí \L\, tedy U = {f~1(st(B)) \ B G L} otevřené pokrytí \K\, a st(A) C B^Ki^{A). Stačí tedy zvolit N tak, aby jemnost n(K') byla menší než Lebesgueovo číslo otevřeného pokrytí 14. Nyní můžeme definovat g(A). Zvolme vrchol B G L libovolně tak, aby /(st(A)) C st(B) a položme g{A) = B. Nechť [A0,..., Ak] G K'. Potom k /(intc[A0,...,Afc]) C p)st(ff(Ai)) i=0 a průnik napravo je tedy neprázdný; to ale znamená, že [g(Ao),..., g{Ak)\ G L a g je opravdu simpliciální. Nechť a; leží uvnitř [Aq, ..., Aj,]. Podle předchozího pak f(x) leží ve vnitřku nějakého simplexu s obsahujícího g(Ao),... ,g(Ak). Protože g(x) leží uvnitř simplexu [g(Ao),..., g(Ak)], který je stěnou s, leží úsečka spojující f(x), g(x) v s C \L\ a lineární homotopie mezi / a g má opravdu hodnoty v \L\. □ - konec 11. přednášky - 12. Jordan curve theorem Věta 12.1. -Lei X be a compact Hausdorff space and /: X —> S2 \ {a, 6} a continuous map. If a and b lie in the same path component of S2 \ f(X) then f is nullhomotopic. Důkaz. We may assume that S2 = (R2)+ and that b = oo and a = 0 (this follows from 2-homogeneity of S2; alternatively one can derive versions of the formulas below for the case of a general a). Since f{X) C R2 is bounded, it lies in an i?-ball Br(Q) around zero. Clearly, any point c outside of this ball lies in the same component of S2 \ f{X) as b = oo and thus, we may find a path 7: / —> M? \ f(X) connecting a = 0 and c. It induces homotopy /í:íxI-^12\0, h(t,x) = f(x) -j(t) from / to / — c (it avoids 0 since /(x) 7^ 7(i))- Since the image of / — c lies in Br{—c) disjoint from the origin, we may contract it inside this ball using the homotopy I;:íxl->B2\0, h(t, x) = t ■ f{x) - c (again, it avoids 0 since í ■ f{x) 7^ c). □ Assume now that /: S1 —> S2 is an embedding, i.e. a homeomorphism with a subspace C C S2, usually thus called a simple closed curve. We want to prove that C separates S2 into two components, i.e. that the set of path components iro(S2 \C) has exactly two elements. We will first show that it has more than one component, i.e. that C separates. We decompose S1 33 into two arcs meeting at their common boundary and correspondingly decompose C = A U B with An B = {a,b}. Passing to the complements, we obtain S2 \ {a, b} = (S2 \ A) U (S2 \ B) with intersection S2 \ C. We will now show that the fundamental group of the union is generated by the fundamental groups of the subspaces, at least if the intersection is path connected. This will be the main ingredient of the Jordan separation theorem. Věta 12.2. Suppose that a space X = U U V is a union of two open subspaces with U fl V path connected. Then tti(U U V, x) is generated by the images of tti(U, x) and tti(V, x). Much more can be said about how exactly it is generated - see Seifert-van Kampen theorem in Algebraic topology. Důkaz. Let 7:/->J = f/UVbea path and split / into intervals of length at most the Lebesgue number of the cover {/y~1(U), 7_1(Vr)}. Then the image of each of the smaller intervals lies either in U or in F and 7 is thus homotopic to a concatenation of paths lying either in U or in F. By concatenating neighbours that correspond to the same open subset U or V, we may reduce this to a concatenation of paths whose endpoints lie in U fl V. By joining these endpoints with x inside U fl V, we may further replace this by a concatenation of loops that lie either in U or in V. □ Věta 12.3 (Jordan separation theorem). Let C C S2 be a simple closed curve. Then C separates S2. Důkaz. Suppose that C does not separate, i.e. that S2 \ C is path connected. Then the previous theorem applies to the decommposition S2 \ {a, b} = (S2 \ A) U (S2 \ B) thus showing that 7ri(S'2 \ {a, b}) is generated by the images of 7ri(S'2 \ A) and 7ri(S'2 \ B). Any element in the image of 7ri(S'2 \ A) is represented by a continuous map S1 -> S2 \ A C S2 \ {a, b} and since a and b are joined by the arc A disjoint from the image, they lie in the same path component and thus this composition is nullhomotopic, admitting an extension to the contractible D2 and thus inducing the trivial map on ir\. In particular, these images are trivial and thus so is the group 7ri(S'2 \ {a, b}) generated by these images. This is a contradiction With tt^S2 \ {a, b}) ^ 7Tl(IR2 \ 0) = TTl^1) ^ Z. □ Konstrukce 12.4. Suppose that X = U U V is a union of two open subspaces such that U n V is decomposed into a disjoint union of two open subspaces A and B. Think of the example of S1 written as a union of two open arcs. We will now construct a covering of X out of this data, giving as a particular case the universal covering exp: 1 51. We organize the construction in the (colimit) diagram U V U A B A B 34 We take a countable collection of copies of U, indexed say by even integers and a countable colllection of copies of V, indexed say by odd integers, thus obtaining 27L x U + (2Z + 1) x V. Now we identify {2k - 1} x A with {2k} x A and symmetrically {2k} x B with {2k + l}xB. We will call the result Y. The projection p: Y —> X onto the second component is easily seen to be a covering (it is a local homeomorphism and a bijection on each {2k} x U and on each {2k + 1} x V). Now let a be a path in U from x £ A to z £ A and j3 a path in V from z to x. Then the concatenation a * j3 admits a lifting to a path from (0, x) to (0, x) and thus lies in the image of : 7ri(r, (0, x)) —> TTl(X, x). Conversely, let 7 be a path in U from x £ A to y £ B and 5 a path in V from y to x. Then the concatenation 7*5 admits a lifting to a path from (0, x) to (2, x) and thus is non-trivial, even modulo the image of p*, and the same applies to any power (7 * 5)n for tí^O. In particular, if both U and V are path connected and both A and B non-empty, tv±(X, x) contains an infinite cyclic subgroup. We summarize this in the following lemma. nd Lemma 12.5. Suppose that X = U U V is a union of two open path connected subspaces whose intersection is not path connected. Then X is not simply connected. We remark that this, again, is a consequence of the general Seifert-van Kampen theorem. nd Věta 12.6. Let D C S2 be an arc, i.e. the image of an embedding f: J -)> S12. Then D does not separate S2. Důkaz. Assume for contradiction that S2 \ D is not path connected, say that x and y lie in different path components. Write D = Dq U D\ as a union of two arcs meeting at their common endpoint Dq n D\. Similarly to the above proof we have S2 \ (D0 n D{) = (S2 \ D0) U (S2 \ D{) with intersection S2 \ D. If x and y lied in different path components of both S2 \ Do and S2 \ D\, the above lemma would imply that S2 \ (Do h D\) is not simply connected, contrary to S2 \ (Do n Di) = M2. Thus, x and y cannot be joined in one of the S2 \ Di. Continuing in this way, we obtain a nested sequence of arcs that separate x from y, whose intersection consists of a single point a (it is non-empty by compactness and has at most one element since the lengths of the intervals tend to 0). Since S \ a = M2 is path connected, x and y can be joined by a path in S2 \ a, which necessarilly lies in the complement of one of the arcs, a contradiction. □ nd Věta 12.7. Let C C S2 be a simple closed curve. Then C separates S2 into exactly two components. Důkaz. We already know that C separates. For contradiction, suppose that S2 \ C = uuvuwu--- . We will use again the decomposition S2 \ {a, b} = (S2 \ A) U (S2 \ B) 35 with both summands path connected by the previous theorem and with the intersection S2 \ C. Decomposing the intersection first as A=UUV, B = WU--- we obtain a covering p: T —> S2 \ C. If a is a path from x £ U to y £ V and j3 a path from y to i, 7 a path from x £ U to z £ W and 5 a path from z to x, then a * j3 lies in the image of p*, while 7 * 5 has infinite order modulo the image of p*. Since iri(S2 \ {a, b} = Z, the latter easily implies that 7 * <5 is nonzero and the image of p* is zero so that a * j3 is zero. Now use the symmetric decomposition C = UUW, D = VU--- to obtain a covering q: A —> S2 \ C. Now a * j3 is nonzero and 7 * <5 is zero, thus yielding a contradiction. □ By studying the proof closely, we obtain the following generalization: nd Věta 12.8. Assume that C = AU B C S2 is a compact subspace expressed as a union of two compact subspaces intersecting in exactly two points and such that S2 \ A and S2 \ B are both path connected (e.g. both arcs). Then C separates S2 into exactly two components. We will also use the following addendum to the classical version. nd Věta 12.9. Let CCS2 be a simple closed curve. Then the closure of the component U of S2 \ C is exactly U = UUC. Důkaz. Since S2 = C U U U V, we easily obtain U C U U C (it is closed as a complement of the open set V). Thus let x £ C and we want to prove that x £ U so let N be any open neighbourhood of x. Decompose C = A U B into a union of two arcs meeting at their boundary points with B so small that B C N. Now S2 \ A is path connected so there exists a path joining U and V inside S2 \ A. Since these cannont be joined in S2 \ C, this path must intersect B and it is then easy to see that U intersects B (if í £ U is the smallest for which 7(í) ^ U then B 3 ~f(t) = lim7(i — 1/n) £ U) and thus N; since N was arbitrary, x £ U. □ We will now give an application of the generalized version that will be used for an application to graphs. Důsledek 12.10. Let X C S2 be a union X = AUBUCof three arcs meeting exactly at their endpoints. Then S2 \ X has exactly three components U, V and W and such that U = UUBUC etc. Důkaz. The simple closed curve B U C separates S2 into two components and it is easy to see that exactly one of them is disjoint from A, call it U, while the other contains the interior of A, call it U'. Now U U A qualifies for the generalization of the Jordan curve theorem (the complement of U is U' while A is an arc), so 52\(AU BUCU U) = V U W u and finally S2 \ (A U B U C) = U U V U W. The rest follows from the symmetry. □ 36 Now we present an application to graphs; namely, we will prove non-embeddability of the graph i^353 into S2 (or equivalently into R2), a part of the famous Kuratowski theorem. Start with any embedding of with vertices a, b, c, 0, 1; its image is exactly the space X from the previous corollary. 0 A / J,\ C The last vertex 2 must belong to one of the components of the complement S2 \ X, by symmetry we may assume that it belongs to U. But then it cannot be joined with a since a G U'. 13. Covering dimension Definice 13.1. The order of an open cover Id is the smallest number m + 1 such that all (m + 2)-tuple intersections of elements of Id are empty, i.e. Vř/o, • • •, Um+i G Id, all distinct: Uq n ■ ■ ■ n Um+i = 0 (and there exists a nonempty (m + l)-tuple intersection). Definice 13.2. The covering dimension of X is the smallest integer m such that any open cover of X admits an open refinement of order at most m + l. Příklad 13.3. Let A be the following open cover of Rm: Consider the decomposition of Rm into cubes with vertices lying on the integer lattice Zm. We consider cubes of all dimensions (thus making Rm into an infinite cubical complex). For each /c-dimensional cube C, we consider the open set Uc of points having distance from C strictly smaller than from any other k-dimensional cube. Denote by Ak the collection of all the Ucfs for all k-dimensional cubes C. Then A = Aq U ■ ■ ■ U Am is an open cover of order m + l: first of all each Uc is an intersection f^{x I dist(x,C) < dist(x,D)} D of open sets that is essentially finite (cubes D far from C do not contribute), second of all each x lies in the interior of exactly one cube C and thus lies in Uc', finally, Č7c,nř7£i = 0if C, D have equal dimensions. We note for later purposes that the diameters of all the open sets Uc are bounded, and it is not difficult to see that they are in fact bounded by 1. Věta 13.4. The covering dimension of any compact subset K C Rm is at most m. Důkaz. Let Id be an open cover of K with Lebesgue number s. Consider the e-scaled version of A and denote it eA. Then any element of eA lies in some element of Id and is thus a refinement of Id of order at most m + l. □ Věta 13.5. Let X = Y U Z be a union of two finite subspaces of covering dimension at most m. Then the covering dimension of X is at most m. 37 Důkaz. We will say that A has order at most m + 1 at Y if each (m + 2)-tuple intersection of elements of A is disjoint from Y, i.e. if the corresponding open cover A\Y = {Yr\ A I A e A} of Y has order at most m + 1. Let now Id be any open cover of X. We will first find an open refinement that has order at most m + l at Y. For that purpose choose an open refinement V of U\y of order at most m + l. For each V £ V choose t/y £ W such that VCFn ř/y and also choose Wy C X open such that V" = Y n Wy • Then clearly W = {X \ F} U {IV n Wy \V eV} is an open refinement of 14 such that W|y = {Y nuv nwv \ V £ V} = {V \ V £ V} = V and as such has order at most m+l, as required. Now start with an arbitrary open cover 14 of X and let V be an open refinement of order at most m + 1 at Y and let W be an open refinement of V of order at most m + 1 at Z. We will now build out of these refinements an open refinement of 14 of order at most m + l everywhere. To this end, for each W £ W, choose some Vw £ V such that W C W and for each V" G V consider the union Ov= (J W clearly an open set. We claim that the collection O = {Oy \ V £ V} is the wanted refinement. Clearly, Oy C 7 so 0 is a refinement of V and thus also of Id. Since (J Oy = (J W = X it covers X. It remains to show that O has order at most m + l, so let a; G Oy0 fl ■ ■ ■ fl Oyk. Since Oyi C V; we also have x £ V0 n ■ ■ ■ n Vfc. Moreover, for each i, we must have x £Wi C Oy for some Wi with Ví = Wj- Thus a; G Wo n ■ ■ ■ n Wk. Since for x £ Y, the first can only happen when k < m and, for x £ Z, the second can only happen when k < m, the open refinement O indeed has order at most m + l. □ Důsledek 13.6. Any compact manifold M of dimension m has covering dimension at most m. Důkaz. This follows since M is a finite union of compact balls that have covering dimension at most m. □ Our next goal is to prove that every compact metrizable space X of covering dimension at most m embeds into R2m+1. In fact, we will show that almost every continuous map X —> l2m+1 is an emebedding. To make this statement precise, we will endow the set C(X, M2m+1) of continuous maps from X to M2m+1 with a metric and the precise claim will then be that the embeddings form a dense subset (more sharply a residual subset). Definice 13.7. A subset A C X is residual if it contains a countable intersection of open dense subsets. Further, X is said to be Baire if every residual subset of X is dense. 38 Věta 13.8. Every complete metric space is Baire. Důkaz. Let Uq, U\, ... be open dense subsets. In order to show that p) Un is dense, we have to show that it has nonempty intersection with any nonempty open subset U, i.e. that u n u0 n ř/i n ■ ■ ■ + 0. By density oíUq, the intersection U HUq is nonempty and since it is also open, it contains a closed ball BEo{xq) C U n Uq. Now the intersection BEo{xq) n f/i is also nonempty open and thus contains a closed ball Bei(xi) C Seo(a;o) n tfi C U n Č70 n Z7i. Continuing in this way, we find a nested sequence of balls and since each en could have been chosen arbitrarily small, we may assume that en —> 0. Then the sequence xn is cauchy and thus converges to a point x E X. Since the sequence eventually lies in each of the closed balls B£n{xn), the same must be true for the limit and thus x G U fl Uo fl ■ ■ ■ . □ We will now apply this theorem to the function space C{X, Y). Let X be compact and Y metric. We define on C(X, Y) the metric of uniform convergence: dist(/,gf) = max{dist(/(x),fif(a;)) | x G X}; since the function dist(/(x), g(x)) is continuous on a compact space X, the maximum is indeed achieved. Clearly, fn —> f iff the sequence of maps fn converges uniformly to /. It is easy to observe that if Y is a complete metric space, the same is true of C{X, Y): if fn is cauchy then so is each fn(x) and thus converges to some f(x); since the convergence is not just pointwise but uniform, / is continuous and as such is the limit of fn. Důsledek 13.9. Let X be compact and Y complete metric. Then so is C(X,Y) and as such is also Baire. Finally, we will need the so called partition of unity. We will only cover the compact case which is much simpler (any compact Hausdorff space is paracompact). Definice 13.10. Let Id be an open cover of X. A partition of unity subordinate to Id is a collection of functions Aj: X —> [0,1] with the following properties: • Each Aj has support in some U Eld, where suppA^ is the closure of the set A-1(R \ 0) of points where Aj is nonzero. • The collection is locally finite, i.e. each point admits a neighbourhood where only a finite number of the functions is nonzero. • The functions add up to one, i.e. J^A^ = 1 (by the previous point, the sum is locally finite and as such is well defined and continuous). We present now a useful reorganization of the collection of functions: for each Aj we choose some Ui Eld that contains suppAi and then we write At/ = ^2 Aj u=u.t i.e. we partially sum the functions according to their supports. This clearly produces another partition of unity, this time indexed by the open cover Id itself. 39 Clearly, if V is a refinement of Id and Aj is a partition of unity subordinate to V then it is at the same time subordinate to Id. For a compact Hausdorff space we may thus restrict our attention to finite open covers. Věta 13.11. Let X be compact Hausdorff. Then a partition of unity exists subordinate to any open cover. Důkaz. Let 14 be an open cover of X. Let x G X and choose Ux G 14 containing x. Since X is regular, we may find an open neighbourhood Vx 3 x such that x G Vx C Ux. Since X is completely regular, we may find a function Xx: X —> [0,1] such that Xx(x) = 1 and such that Xx\x-^vx = 0- Then the support of Xx is contained in Vx and thus in Ux. The cover of X by the open sets A~1(0,1] admits a finite subcover i = a-1(o,i]u-ua;1(o,i] and thus A = AX1 + ■ ■ ■ + XXk is positive on X. Finally, replace each XXi by XX1/X to obtain a partition of unity. □ We are now ready to prove the embeddability theorem. We recall that an embedding is a map /: X —?> Y that is a homeomorphism onto its image /: X = f{X). When X is compact and Y is Hausdorff, this is equivalently an injective continuous map. Věta 13.12. Let X be a compact metric space of covering dimension m. Then X embeds into R2m+1. Důkaz. Consider the function space C(X, R2m+1), which is a Baire space according to our assumptions, and its subspaces Xn = {/: X ->■ R2m+1 I f(x) = f(y) dist(x,y) < 1/n}. Clearly p) 3Cn is the subspace of injective maps, i.e. embeddings. It remains to show that each %n is open dense since then the embeddings will form a dense subset, hence nonempty (since the full space is nonempty). We start by showing that 3Cn is open. Thus let / G 3tn. Since the function {(x, y) I dist(x, y) > 1/n} ->■ (0, oo), (x, y) h+ dist(/(x), f{y)) has compact domain and hence also compact image, we have dist(a;,y) > 1/n dist(/(a;),/(y)) > 2e for some e > 0. Now if g G Be{f) then both pairs f(x), g{x) and f(y), g{y) are closer than e and thus g{x) ^ g(y), showing that B£{f) C 3tn. It remains to show density of 3£n. Let /: X —> M?m+1 and e > 0 be arbitrary, we want to find some g G B£{f) n 3tn. First we find a finite open cover Id = {Ui \ i G /} of X with the following properties: • Each Ui has diameter smaller than 1/n. • Each image f(Ui) is contained in a ball B£{zi). • The points Zj are in general position, i.e. any (k + l)-tuple of them with k < 2m + 1 is affine independent. 40 • 14 has order at most m + l. For the first point, it is enough if 14 is any refinement of a cover by balls of diameter smaller than 1/n, for the second point, it is enough if IA is any refinement of the cover {/_1(i3e(2;)) | z £ R2m+1}; thus, we may cover X by the intersections of these two types of open sets and take any finite refinement of order at most m + l. Finally, a small perturbation of the centres Zi does not spoil the second condition and satisfies the third.5 Now let Aj be a partition of unity subordinate to this open cover. We define gix) = ^2^i(x) ■z*- This is clearly a continuous map. If x £ X has Xi(x) > 0 then x £ Ui and thus Zj £ B£{f{x)) so that also g{x) £ B£{f{x)) since the ball is convex. This shows that g £ B£{f) and it remains to show that g £ Xn. Thus, assume that g(x) = g(y) so Since at most m + 1 of the Xi(x) are nonzero and at most m + 1 of the Aj(y) are nonzero, we are in fact speaking of the equality of affine combinations of at most 2m + 2 points. Since these are affine independent, the coefficients must be equal and thus some Xi(x) = Xi(y) ^ 0 and so x, y £ Ui. By the condition on the diameter of Ui, we have dist(x, y) < 1/n and indeed g e £„. □ Důsledek 13.13. Compact subsets of euclidean spaces are exactly the compact metrizable spaces of finite covering dimension. One can also treat non-compact spaces. However, since partitions of unity are used, such spaces are required to be paracompact (we did not speak about them in the course). In addition, a countable basis of topology is required. 14. Compact-open topology This is an alternative to the chapter on compactly generated Hausdorff spaces. We first generalize the function spaces to the case where Y is not metric. Of course, one should then expect C(X, Y) to be a topological space rather than a metric space. We still restrict our attention to the case of a compact Hausdorff space X. Definice 14.1. Let X be compact and Y arbitrary. For an open subset U C X x Y we define Q(U) = {f £C(X,Y) \grfCU} 5For any (k + l)-tuple zq, .. ., zu consider the (2m + 1) x k matrix A = (zj — zq, .. . , zu — zq). Since the minors are polynomial functions in the entries of the matrix, the affine independent (k + l)-tuples form an IE 0\ open subset; it is also dense: One can find invertible matrices P, Q such that j4 = P 0 0 \ Q. The required \o oj IE 0\ small perturbation is A' = PI 0 sE Q (this requires k < 2m + 1). Since the number of tuples is finite, the \0 Oj intersection in question will still be (open) dense. 41 where gr / denotes the graph of /. Since 0(U)nO(V) = 0(UDV) it is a basis of topology on C(X, Y) called the compact-open topology. The set C(X, Y) equipped with this topology is the function space. Věta 14.2. When Y is a metric space, the compact-open topology is the topology associated with the uniform convergence metric. Důkaz. For / £ C(X,Y), we will be using the following continuous function df. X x Y —> [0,oo): dfixiV) = dist(/(x),y). Now any ball is open according to B£(f) = O(dJ1[0,e)). Conversely, if / £ 0(U) then it can be showed that df achieves6 its minimum on the complement of U: For any x £ X we get v~x x B2Sx(f(x)) C U for some 3 x and we may then replace Vx = V'x n f~1(B£x(f(x))) to obtain a bound df > ex on Vx xY \ U. Now take a finite subcover and define e as the minimum of the corresponding exs to obtain a bound df > e on X xY \ U or equivalently B£{f) C 0{U). □ Traditionally, the compact-open topology is given by a subbasis. For CCX compact and W C Y open, we introduce M(C, W) = 0{{X x W) U {X \ C) x Y) = {/ £ C(X, Y)\\/x f are the uniform convergence on compact subsets and the same but with fn eventually constant outside of some compact subset). Věta 14.3. Let X be compact Hausdorff. A map f: Z x X ->F is continuous if and only if the corresponding map g: Z —?> C(X,Y) is continuous. Poznámka. The same theorem holds for X locally compact Hausdorff in the compact-open topology. Důkaz. To prove g continuous, we show that g~1(M(C, W)) is open. Thus let z £ g~1(M(C, W)), i.e. f(z x C) C W. By the tube lemma, we get V 3 z such that f(V x C) C W, i.e. z £ V C g-^MiCW)). To prove / continuous, we show that f~1(W) is open. Thus let (z,x) £ f^iW). Since g(z) = f(z, —) is continuous and maps x to W, there is a compact neighbourhood C 3 x such that g{z){C) C W, i.e. g{z) £ M(C,W). By continuity of g, we get V 3 z such that g{V) C M(C, W), i.e. (z, x) £ V x C C f^iW). □ 8Taking minimum over y yields a lower semi-continuous function X —¥ [0, oo) on a compact space and any such achieves its minimum. 42 Důsledek 14.4. Quotient maps are closed under muliplication by a compact Hausdorff space X, i.e. ifZ —?> Zj'~ is a quotient map then so isZxX^rZj^xX. Důkaz. We verify the universal property: ZxX-> Y Z->C(X,Y) / y Z/~ x X Z/~ The dashed map in the left hand side diagram exists (is continuous) if and only if the one on the right exists and that is guaranteed by the universal property. □ Důsledek 14.5. A homotopy Ix (Z/~) —?> Y is continuous if and only if the homotopy before taking the quotient I x Z —?> Y is continuous. Důkaz. Take X = I. □ This means for example that since I/dl = S1, a homotopy I x S1 —> Y is continuous if and only if the corresponding homotopy / x / —> Y is continuous, i.e. homotopy of loops equals homotopy of maps from a circle (fixing the special point 1). 15. Kompaktně generované HausdorfFovy prostory Definice 15.1. Topologický prostor X se nazývá kompaktně generovaný Hausdorffův (CGH), jestliže je Hausdorffův a pro podmnožinu A C X platí: je-li pro každou kompaktní C C X průnik C D A otevřený v C, pak A je otevřená. V dalším budeme množinu A, pro níž je C D A C C otevřená, nazývat kompaktně otevřená. Analogicky se definuje kompaktně uzavřená množina. Je tedy X kompaktně generovaný, jestliže každá kompaktně otevřená množina je otevřená. Příklad 15.2. Každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor X je kompaktně generovaný: nechť U je kompaktně otevřená a x S U. Existuje kompaktní okolí C 3 x a díky definici kompaktní otevřenosti je C n U C C otevřená, tedy průnikem CľlVs otevřenou množinou V C X. Protože jsou obě C, V okolími x, je také CílU = CílV okolím x a tím spíš U 2 CílU. Nechť X je Hausdorffův prostor. Označme kX množinu X společně s topologií danou systémem kompaktně otevřených podmnožin. cv Cvičení 15.3. Zobrazení /: kX —> Y je spojité, právě když /: X —> Y je spojité na každé kompaktní podmnožině. Lemma 15.4. Prostor kX je kompaktně generovaný Hausdorffův prostor. Důkaz. Protože je v kX víc otevřených množin, je to zřejmě Hausdorffův prostor. Ukážeme, že má stejné kompaktní podprostory. Identické zobrazení kX —> X je spojité a proto každý kompaktní podprostor kX je kompaktní i v X. Nechť naopak C C X je kompaktní. Podle cvičení je složení C —> X —> kX spojité (neboť id: kX —> kX je spojitá), takže jeho obraz je kompaktní množina. Dvě možné topologie na C, jako podprostoru X a jako podprostoru kX, jsou totožné, protože obě identity na C jsou spojité. Kompaktně otevřené množiny X a kX jsou tedy stejné a proto je kX kompaktně generovaný (kompaktně otevřená podmnožina kX je kompaktně otevřená v X, tedy otevřená v kX). □ 43 Dennice 15.5. Nechť Y, Z jsou topologické prostory. Na množině spojitých zobrazení ZY = {f:Y^Z\ /spojité} definujme compact-open topologii pomocí subbáze M(C,U) = {f eZY \f(C)CU}, kde C C ľ je kompaktní a U C Z otevřená. * Příklad 15.6. Nechť Y je kompaktní Hausdorffův prostor a Z metrický prostor. Definujme metriku stejnoměrné konvergence na ZY pomocí předpisu dist(/,fif) = max{dist(/(y),fif(y)) | y £ Y}. Tato metrika zadává na ZY přesně compact-open topologii. O něco obecněji pro lokálně kompaktní Hausdorffův prostor Y je compact-open topologie na ZY dána stejnoměrnou konvergencí na kompaktních podmnožinách. Pro zobrazení /: Ixľ-íZ definujme /b : X —> ZY, f'9(x)(y) = f(x,y). Naopak, pro g: X —> ZY definujme g':Ixľ->Z, g$(x,y) = g(x)(y). Definujeme X xkY = k(X x Y). Důležitost této konstrukce spočívá v následující větě. Věta 15.7 (o adjunkci). Nechť X, Y jsou kompaktně generované Hausdorffovy prostory a Z libovolný prostor. Potom zobrazení f: X xkY —?> Z je spojité, právě když je spojité zobrazení f: X -> ZY. Důkaz. Spojitost f'9 stačí ověřit na každé kompaktní podmnožině C C X a lze vyjádřit následovně. Nechť M(D, U) je subbazická množina. Pak {xeC\VyED: f(x,y)eU} je otevřená v C. To plyne ze spojitosti / : X x Y —> Z n& C x D & z kompaktnosti D s použitím „tube lemma". Spojitost / je ekvivalentní spojitosti / :Ixľ->Zna každé kompaktní množině C x D Q X x Y. Nechť U C Z je otevřená a nechť f (x,y) S U. Protože je f (x, —) : Y —> Z spojité aflCľ lokálně kompaktní, existuje kompaktní okolí y (ž D' Q D takové, že f (x, D') C U. To znamená, že x £ (f'9)~1(M(Dl, U)) a ze spojitosti /b existuje okolí x E C C. C takové, že f\C) C M (D1, U), tj. f (C x D') C U. Tedy / je spojité na C x D. □ Poznámka. Spojitost f'9 je ekvivalentní spojitosti fv:X^- k(ZY). To znamená, že kategorie kompaktně generovaných Hausdorffových prostorů je kartézský uzavřená (neboť X xk Y je součin v této kategorii a k(ZY) je objekt funkcí). Nechť ~ je relace ekvivalence na kompaktně generovaném Hausdorffově prostoru X taková, že X/~ je opět Hausdorffův. Pak je kompaktně generovaný Hausdorffův. To plyne z toho, že projekce X —> X/~ indukuje spojité zobrazení X = kX —> k(X/~). Protože je ale X/~ největší topologie, pro kterou je toto zobrazení spojité, a k(X/~) má víc otevřených množin, musí být k(X/~) = tj. X/~ je kompaktně generovaný Hausdorffův. Důsledek 15.8. Nechť ~ je relace ekvivalence na kompaktně generovaném Hausdorffově prostoru X taková, že X/~ je také Hausdorffův. Pak existuje homeomorfismus (X xkY)/~^{X/~) xkY. 44 Důkaz. Spojité zobrazení {X x^Y)/^ —y Y je ekvivalentně zadáno jako X x^ Y —> (X/~) Xfc F respektující relaci. Stačí tedy vzít p x id, kde p: X —> X/~ je kanonická projekce. Ze spojitosti pak plyne, že také (X x^ Y)/~ je Hausdorffův prostor. V opačném směru, spojité zobrazení x^ F —)■ (X x^ Y)/~ je ekvivalentně zadáno jako X/~ —)■ ((X Xfc F)/<--')Y, tedy jako zobrazení X —> ((X x^ Y)/^)Y respektující relaci, a tedy jako zobrazení X Xj, Y —> (X Xj, Y)/~ respektující relaci. Stačí vzít kanonickou projekci. □ Důležitým speciálním případem je, když Y je lokálně kompaktní. Tvrzení 15.9. Nechť X je kompaktně generovaný Hausdorffův, Y lokálně kompaktní Hausdorffův. Pak X xkY = X xY. Důkaz. Nechť A C X x Y je kompaktně otevřená a (xq, yo) £ A. Potom také ({xo} xY)f)A je komapktně otevřená v {xq} xľ = ľa díky kompaktní generovanosti Y otevřená. Existuje tedy kompaktní okolí yo £ D C Y s vlastností {xq] x D Q A. Uvažme množinu U = {x e X | {x} x C C A} C X. Ukážeme, že U je kompaktně otevřená, tedy otevřená - je-li CCX kompaktní, je (C x D)C\A otevřená v C x D; C n U je pak otevřená podle „tube lemma". Proto {xq, yo) S U x D Q A. Protože bylo (xo,yo) libovolné, je A otevřená. Alternativní důkaz spočívá v následujícím: zobrazení in : X —> (X xk Y)Y je spojité podle věty o adjunkci a evaluace ev : ZY x Y —?> Z, (f,y) i—y f (y), je spojitá díky velice jednoduchému argumentu (je-li U 3 f (y) otevřená, tak ze spojitosti / a lokálni kompaktnosti Y existuje kompaktní okolí C 3 y; pak M(C, U) x C je okolí (f,y), které se zobrazí do U). Proto je spojitá i kompozice X x Y (X Xfc Y)Y x Y —> X XkY a proto je X x Y kompaktně generovaný. □ 16. Algebry spojitých funkcí Připomeňme, že (asociativní, s jednotkou) C-algebra A je vektorový prostor nad C společně s bilineárním zobrazením A x A —> A, které dělá z A okruh. Zobrazení C —> A, z i—> zl, je potom homomorfismus okruhů. Naopak, každý homomorfismus okruhů i: C —> A zadává na A strukturu vektorového prostom nad C pomoci za = i(z) ■ a. Jednoduše se ověří, že se jedná o C-algebru, právě když obraz l leží v centru okruhu A. Zejména komutativní C-algebra je přesně homomorfismus okruhů C —> A. Homomorfismus C-algeber <ř: A —> B je homomorfismus okruhů, který je zároveň lineárni. Ekvivalentně komutuje diagram C Nechť X je kompaktní Hausdorffův prostor. Definujme C (X) = {f: X -> C spojitá}. 45 Společně se sčítáním a násobením funkcí se jedná o okruh. Vložení konstantních funkcí je homomorfismus C —> C(X) a jedná se tedy o C-algebru. Věta 16.1. Existuje přirozená bijekce mezi body X a maximálními ideály C(X). Důkaz. Prvně popíšeme maximální ideály odpovídající bodům X. Nechť x S X. Definujeme mx = {/ e C(X) | f (x) = 0}. Protože je mx jádrem surjektivního homomorfismu C-algeber (zejména okruhů) evx:C(X)^C, f ^ f(x) a C je těleso, je mx = ker evx opravdu maximální ideál, dú 21 Ukažte, že přiřazení x *-> mx je injektivní. Zbývá ukázat, že každý maximální ideál je tvaru mx pro nějaké x S X. Předpokládejme sporem, že I Cl C(X) je maximální ideál různý od mx. Potom existuje fx £ I \ mx. Vynásobením komplexně sdruženou funkcí fx dostáváme nezápornou funkci gx = fxfx Els vlastností gx(x) > 0. Položme Ux = {y £ X \ gx(y) > 0}. Dostáváme tak otevřené pokrytí U = {Ux | x £ X}. Díky kompaktnosti X = UX1 U ■ ■ ■ U UXn a funkce g = gxi + ■ ■ ■ + gXn je kladná na celém X. Proto g_1 existuje a / obsahuje 1 = g_1g a nemůže být maximální. □ Poznámka. Předchozí věta neplatí bez podmínky kompaktnosti X. Ideál / = {/: Rn -> C | 3C kompaktní: / = 0 na W1 \ C} neleží v žádném maximálním ideálu mx. Musí tedy ležet v nějakém maximálním ideálu různém od mx a zejména takové maximální ideály m existují. Poznamenejme ještě, že dimenze C(X) /m ** bude vždy nekonečná. (Předpokládejme, že je tato dimenze konečná a položme f(x) = \x\. Potom [1, /, /2,. . .] má nekonečnou dimenzi - ^2 anfn(x) = 0 pouze pro f(x) kořenem ^2 o,nzn, těch je konečně mnoho a nemůže tedy rovnost platit pro všechna x. Proto musí být nějaké h = o-nf71 Srna množina nul Z(h) je kompaktní; dále postupujeme jako v důkazu věty.) Z algebry C(X) lze tedy zrekonstruovat X jako množinu; ukažme si nyní, jak lze zrekonstruovat topologii. Je-li / C C(X) libovolný ideál, je množina z(i) = Q /_1(0) = {x e x | v/ e /: f (x) = 0} /e/ uzavřená (jedná se o množinu společných nul ideálu /). dú 22 Ukažte, že každá uzavřená množina vznikne tímto způsobem z nějakého ideálu. Věta 16.2. Existuje přirozená bijekce mezi spojitými zobrazeními ip: X —?> Y a homomorfismy C-algeber C (Y) -+C(X). 46 Důkaz. Nechť ip : X —> Y je spojité zobrazení. Definujme homomorfismus C-algeber ip* : C(Y) —> C(X) předpisem ip*(f) = f o ip. Ukážeme nyní, že každý homomorfismus C-algeber <ř : C(Y) —> C(X) je tohoto tvaru. Nechť x G X a uvažme ideály mx C C(X), $_1(mx) C C (Y). Indukované zobrazení C{Y)/^-1{mx) -> C{X)/m x je zjevně injektivní. Oba kvocienty obsahují C jako podtěleso, a to je tímto zobrazením fixované. Protože je C(X)/mx rovno C, jedná se o izomorfismus. Proto je <ř_1(mx) také maximální a <ř_1(mx) = pro nějaké Y. - konec 12. přednášky - Zbývá ukázat, že ip je spojité, a že <ř = ip*. Nechť xq G X, yo = ip(xo); potom myo = $_1(m*0)> tedY $(my0) ^ m^o- Počítejme <*>(/) = <*K/(yo)+(/ ~ /(2/0))) = /(yo) + <ř(/_/(yo)) e /(yo) +mxo, konst ^mvq tj. $(f)(x0) = evxo $(/) = evxo /(y0) = /(yo) = f(p*f)(x0). Protože bylo x0 G X libovolné, máme <ř(/) = G, n(x, y) = xy; v: G —> G, v (x) = x-1 jsou spojité. Definujme levou translaci Xy : x i—> yx a pravou translaci py : x h-> xy. Obě jsou homeo-morfismy, protože (Aj,)-1 = A^-i a (pj,)-1 = py-i- Podobně jsou homeomorfismy inverze v a konjugace x i—> yxy-1. Lemma 17.2. Každá otevřená podgrupa je zároveň uzavřená. Zejména podgrupa obsahující nějaké okolí jednotky e obsahuje celou komponentu jednotky. Důkaz. Doplněk uzavřené podgrupy H C G je sjednocením G \ H = (Jx^íf X-H' přičemž xH = XX(H) je otevřená - Xx je homeomorfismus a H je otevřená; je tedy otevřená i G \ H a íř je skutečně uzavřená. Komponenta jednotky Ge je souvislá uzavřená podgrupa - obrazy Ge ■ Ge = p(Ge x Ge), G"1 = v(Ge) jsou také souvislé a obsahují e, proto musí ležet v Ge. Je-li H C G libovolná podgrupa obsahující nějaké okolí U 3 e, pak je zjevně otevřená - s každým x E H obsahuje i nějaké okolí xU 3 x. Proto je průnik Ge n H otevřená podgrupa souvislé grupy Ge a musí být tedy rovný Ge. □ 47 Lemma 17.3. Uzávěr podgrupy je podgrupa. Uzávěr normálnipodgrupy je normálnípodgrupa. Důkaz. Je-li H Cl G podgrupa, platí H x H Cl Není těžké se přesvědčit7, že H x H = HxH a proto také H x H Cl ^(H), t]. H-H Q H. Společně s H C ^(H), tj. H'1 C Iľ, to znamená, že H je grupa. Normálnost plyne podobným způsobem pomocí konjugací. □ Příklad 17.4. dú 23 1. Dokažte, že Hausdorffovost topologické grupy plyne ze slabšího požadavku Ti, ve skutečnosti z uzavřenosti {e}. (Nápověda: jsou-li U, V dvě okolí e a x, y dva body G, pak xU n yV = 0, právě když x~xy ^ U ■ V-1.) ** 2. Každá topologická grupa je regulární topologický prostor. Tvrzení 17.5. Kvocient G/H topologické grupy G podle uzavřené normální podgrupy H Cl G je topologická grupa. (Zde G/H je vybaven topolgií kvocientu.) Důkaz. Díky předchozímu příkladu stačí ukázat, že násobení a inverze na G/H jsou spojité, a že G/H je Ti. Označme p: G —> G/H kanonickou projekci. Libovolný bod G/H je uzavřený, protože jeho vzor je třída xH = XX(H). Prvně si uvědomme, že projekce p je otevřená - pro libovolnou otevřenou U C G je i p{U) C G/H otevřená - je totiž p~1{p{U)) = \Jy€UyH = U ■ H = [jx€H U x. Spojitost násobení plyne z následujícího diagramu G xG---> G pxp G/H x G/H--+G/H Je-li W C G/H otevřená, je také (//)_1(W) = {pxp){^i~1{p~1{W))) otevřená díky otevřenosti zobrazení p x p. Spojitost inverze je podobná, ale jednodušší. □ Kvocient grupy G podle (uzavřené) nenormální podgrupy H je pouze množina, v našem případě Hausdorffův topologický prostor. Říkáme mu homogenní prostor. Homogenní prostory charakterizuje následující věta v případě kompaktní grupy G. Existuje i rozšíření této věty na lokálně kompaktní grupy, je však technicky náročnější. Tvrzení 17.6. Nechť G je kompaktní topologická grupa mající spojitou akci na Hausdorffově prostoru X. Potom zobrazení G/Gx ->• G(x), gG x 1 ^ g% je homeomorfismus kvocientu G/Gx podle stabilizátoru x na orbitu G(x) procházející x. Důkaz. Spojitost zobrazení G/Gx —> G(x) plyne z univerzální vlastnosti kvocientu. Protože je to zároveň bijekce a G/Gx je kompaktní a G(x) Hausdorffův, je to homeomorfismus. □ Příklad 17.7. cv 1. Ukažte, že GL+(n), SO(n) jsou souvislé. (To lze také ukázat přes SO(n+l)/ SO(n) = Sn a díky souvislosti Sn - k tomu se hodí, že projekce SO(n + 1) —> Sn je otevřená.) 48 2. 0(n + l)/0(n)^S". 3. 0{n)/{{E} x 0(n - Ä)) ^ T4(Rn). 4. 0(n)/(0(fc) x 0(n - k)) d= Gfc(Rn). Nechť G je lokálně kompaktní abelovská grupa a definujme Y = G = hom(G, T) C TG, tj. prostor spojitých homomorfismů G —> T do komplexních jednotek T = R/Z. Opět se jedná o lokálně kompaktní abelovskou grupu - její prvky se nazývají charaktery. Vezměme nyní druhý duál t. Existuje přirozené zobrazení E: G->f, x ^ (evx: X ^ x(%))- Podstatou Pontryaginovy duality je, že E je izomorfismus topologických grup. Příklad 17.8. Platí R = R, T = Z, Ž = T. Potom na G existuje míra /i definovaná na množině Borelovských podmnožin E C G, tj. nejmenší cr-algebře obsahující uzavřené množiny, s následujícími vlastnostmi 1. je regulární, n(E) = sup{ju(C) | C C E kompaktní} = inf{ju(ř7) \ U ~D E otevřená}, 2. je translačně invariantní, fi(xE) = fJ-(E), 3. není identicky nulová. Taková míra se nazývá Haarova míra, existuje a je jednoznačná až na násobek. V případě G = R je Lebesgueova míra Haarovou mírou. Pro obecné G se konstrukce Haarovy míry provádí následovně: zkonstruuje se vhodná spojitá lineární forma CC(G) —> C, kde CC(G) jsou funkce s kompaktním nosičem; podle Rieszovy reprezentační věty pak tato lineární forma odpovídá jediné míře, přičemž vlastnosti míry se odvodí z vlastností tohoto funkcionálu. Definuje se potom Fourierova transformace L\G) ->• C(r), fix) = í f(x)x(x)d», JG kde l^iG) je prostor absolutně integrabilních funkcí. Inverzní Fourierova transformace je dána l\t) -> C(G), g{x) = J g(X)x(x)du, kde v je jistá „duální" míra na Y. Tyto transformace jsou vůči sobě inverzní na prostoru funkcí absolutně integrabilních i se svým kvadrátem a zadávají izometrii l\g) ^ L2(r) (tzv. Plancherelova věta). Z těchto úvah plyne Pontryaginova dualita poměrně jednoduše. - konec 13. přednášky - 18. Parakompaktní prostory Definice 18.1. Nechť 14 je pokrytí prostoru X. Řekneme, že pokrytí V je zjemněním pokrytí U, jestliže každý prvek V S V leží v nějakém U S Id. 7Platí, že A x B je množina hromadných bodů A x B, tj. těch (x,y), jejichž každé okolí protíná A x B. Zjevně se stačí omezit na libovolnou bází okolí, např. na okolí tvaru U x V. Pak podmínka protínání A x B je přesně AC\U ^ ty & B C\V ^ ty. To je ekvivalentní iel&i/el. 49 Řekneme, že pokrytí V je lokálně konečné, jestliže každé x S X má okolí N 3 x, které protíná pouze konečně mnoho V" G V. Řekneme, že Hausdorffův topologický prostor X je parakompaktní, jestliž každé jeho otevřené pokrytí má lokálně konečne otevřené zjemnění. Lemma 18.2. Sjednocení lokálně konečného systému uzavřených množin je uzavřené. Důkaz. Nechť J- je lokálně konečný systém uzavřených množin a x ^ J-. Potom nějaké jeho okolí N 3 x protíná pouze konečně mnoho prvků J- a tedy N n (J J- je uzavřená v N a neobsahující x, tedy N \ (J J- je okolí x a X \ (J J7 je otevřená. □ Lemma 18.3. Uzavřený podprostor parakompaktního prostoru je parakompaktní. Důkaz, podobný jako pro kompaktní. □ Tvrzení 18.4. Každý parakompaktní prostor je normální. Důkaz. Dokážeme regulárnost, normálnost se pak dokáže stejně. Nechť x ^ f, kde F Cl je uzavřená. Pro každý y (ž f zvolme otevřené okolí Uy 3 y takové, že x (£ Uy; dostáváme tak otevřené pokrytí {Uy \ y S y} množiny f. Protože je tato parakompaktní podle předchozího lemmatu, existuje jeho lokálně konečné otevřené zjemnění V. Potom (Jyev ^ Je uzavřené (díky lokální koečnosti) okolí (obsahuje (J V) množiny f, které neobsahuje x. □ Definice 18.5. Nosič spojité funkce /: X —> R je množina supp/ = /_1(R \ {0}). Nechť Id je otevřené pokrytí X. Řekneme, že systém funkcí f\ : X —> I, A £ A, je rozklad jednotky podřízený 14, jestliže je {supp f\ | A S A} lokálně konečné zjemnění 14 a platí SagA /a = 1- Součet v definici dává smysl, protože je systém nosičů lokálně konečný, tj. v okolí každého bodu je tento součet konečný. Ze stejného důvodu je takový součet vždy spojitá funkce. Věta 18.6. Nechť14 je otevřené pokrytí parakompaktního prostoru X. Potom existuje rozklad jednotky podřízený 14. Důkaz. Můžeme předpokládat, že 14 je lokálně konečné pokrytí (případným přechodem ke zjemnění). Nechť 14 = {U\ \ A S A} a zvolme na indexové množině A dobré uspořádání. Rozklad jednotky budeme konstruovat transfinitní indukcí. Zjevně stačí zkonstruovat systém funkcí f\ takový, že supp/^ C U\ a / = 5Zaga/a > 0 - takový systém pak stačí normovat, tj. nahradit každou f\ podílem f\/f. Pro již zkonstruované funkce f\ označme V\ = (0,1]. Indukcí budeme předpokládat, že pro i < A platí Ví C Uí a (Jía Uí = X. Z tohoto důvodu je fx = (f](x \v;)nf](i\ ui)) c ux i<\ i>\ a f\ : X —> I volíme libovolně tak, že je 1 na f\ a má nosič uvnitř Ux - to je možné díky normálnosti X. Je jednoduché ověřit, že 5Zaga/a > 0, jak chceme. □ Platí, že každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor se spočetnou bází topologie je parakompaktní (důkaz není obtížný). Také každý metrický prostor je parakompaktní, důkaz tohoto tvrzení už je ale poměrně náročný. 50 19. Uniformní prostory Uniformní prostor je jiná abstrakce metrického prostoru. V topologickém prostoru umíme porovnat blízkost bodů k zadanému bodu x - jsou podobně blízko, když patří do nějakého okolí x. Neumíme však porovnat blízkost libovolných dvojic bodů tak, jako v metrickém prostoru. Základním „topologickým" pojmem v tomto směru pak není spojité zobrazení, ale stejnoměrně spojité zobrazení. Formalizací tohoto pojmu jsou tzv. uniformní prostory. Definice 19.1. Nechť X je množina. Uniformita na X je systém množin u C V{X x X) splňující 1. MU,V eU-.U c\V eU, 2. MU e«, Vľe V{X x X): v e u, 3. MU e u: ax q U, 4. MU eu: U'1 eu, 5. MU e u: BV e u: Vo V C U. Množinu X společně s uniformitou nazveme uniformním prostorem. Protože je každé U e u relací na X, budeme místo (x, y) e U psát xUy. První tři podmínky říkají, že u je v nějakém smyslu systém okolí Ax- Přesněji je to vyjádřeno v následující konstrukci. Nechť X je uniformní prostor a x e X. Řekneme, že N je okolí bodu x, jestliže existuje U e u takové, že N je rovno xU = {y e X \ xUy}. Volme podle vlastnosti 5. posloupnost Un e u tak, že Uq = U, Un o Un C Un-\. Potom je prvek u (například proto, že obsahuje U\ E u) a pro y E xV platí xU\ ■ ■ ■ Uny pro nějaké n a pak pro z E yUn+i platí xU\ ■ ■ ■ UnyUn+iz, tedy xVz. Proto xV obsahuje s bodem y i jeho okolí yUn+i a xV je tím pádem otevřená, přitom xV C xU. Zabývejme se nyní vztahem uniformity u k indukované topologii na X podrobněji. Prvně ukážeme, že každé U E u je okolím Ax Q X x X v součinové topologii. Nechť (x,x) E Ax-Zvolme V pomocí vlastností 4. a 5. tak, aby V-1 o V C U. Potom pro (y, z) E xV x xV platí yV~lxVz => yUz, tj. (y,z) E U. Příklad 19.2. Typickým příkladem uniformního prostoru je topologická grupa g. Nechť N 3 e je okolí jednotky. Definujme příslušné okolí A^ jako Un = {(x,y) \ y~xx E N}. Poté položme u = {Un \ N 3 e okolí jednotky}. Příklad 19.3. Nechť X je kompaktní Hausdorffův prostor. Definujme na X uniformitu pomoci systému všech okolí Ax- Jediný axiom, který není zřejmý je 5. Prvně si uvědomme, že díky normalitě tvoří uzavřená okolí bázi všech okolí Ax- Nechť tedy U je libovolné otevřené okolí Ax- Je jednoduché ukázat, že pro každé x ^ y stačí volit uzavřené okolí N D Ax neobsahující (x,y); pak pro V = N \ (xN x {y}) platí V o V $ (x,y). Jinými slovy sjednocení U a všech doplňků množin tvaru V o V je celé X x X. Díky kompaktnosti je X x X sjednocením U a konečně mnoha takových doplňku, neboli V = Ui U UiU2 U UiU2U-í u ■ ■ ■ (vi o vi) n ■ ■ ■ n (vn o vn) c u. Položme V = Vi n ■ ■ ■ n Vn, pak V o V C U. 51 stejnoměrně spojité zobrazení, topologické grupy, kompaktní T2, uniformizovatelnost je to samé co T,i. ó2 52