Grupa automorfismů rozšíření těles
Definice. Automorfismem tělesa K rozumíme libovolný
izomorfismus okruhů σ : K → K. Množinu všech automorfismů
tělesa K značíme Aut(K).
Věta 1. Pro libovolné těleso K je (Aut(K), ◦) grupa.
Definice. Nechť F ⊆ K je rozšíření těles. Automorfismem tohoto
rozšíření rozumíme libovolný automorfismus σ tělesa K splňující
σ(a) = a pro každé a ∈ F. Množinu všech automorfismů rozšíření
F ⊆ K značíme Aut(K/F).
Věta 2. Pro libovolné rozšíření těles F ⊆ K je Aut(K/F) podgrupa
grupy Aut(K).
Věta 3. Nechť F ⊆ K je rozšíření těles, α ∈ K prvek algebraický
nad F, g(x) ∈ F[x] je libovolný polynom mající kořen α. Pak pro
každý automorfismus σ ∈ Aut(K/F) je σ(α) kořen polynomu g(x).
Poznámka. Libovolný σ ∈ Aut(K/F) tedy permutuje množinu
kořenů polynomu g(x) ležících v K. Předchozí věta platí i pro
minimální polynom f (x) ∈ F[x] prvku α ∈ K nad F.
Fixní těleso podgrupy grupy automorfismů
Věta 4. Pro libovolná podtělesa F1, F2 tělesa K platí
F1 ⊆ F2 =⇒ Aut(K/F2) ≤ Aut(K/F1).
Věta 5. Nechť K je těleso, H ≤ Aut(K) libovolná podgrupa grupy
automorfismů. Pak Fix(H) = {α ∈ K; ∀σ ∈ H : σ(α) = α} je
podtěleso tělesa K.
Definice. Podtěleso Fix(H) z předchozí věty se nazývá fixní těleso
grupy automorfismů H.
Věta 6. Pro libovolné podgrupy H1, H2 grupy Aut(K)
automorfismů tělesa K platí
H1 ≤ H2 =⇒ Fix(H2) ⊆ Fix(H1).
Příklad
Víme, že pro libovolné konečné těleso K mající pm prvků, kde p je
prvočíslo, je Aut(K) cyklická grupa řádu m generovaná
Frobeniovým automorfismem ϕ : K → K, který je definován
předpisem ϕ(a) = ap pro každé a ∈ K. Libovolné podtěleso F
tělesa K má pd prvků pro jisté d | m, a platí Aut(K/F) = ϕd .
Naopak libovolná podgrupa grupy Aut(K) = ϕ je tvaru ϕd pro
jisté d | m a Fix( ϕd ) je jediné podtěleso tělesa F mající pd prvků.
Nechť H je množina všech podgrup grupy Aut(K) a P je množina
všech podtěles tělesa K.
Pro každé F ∈ P je Fix(Aut(K/F)) = F, pro každé H ∈ H
Aut(K/ Fix(H)) = H, tedy předpisy F → Aut(K/F), H → Fix(H)
zadávají navzájem inverzní bijekce.
Z vět 4 a 6 plyne, že svaz (P, ⊆) je izomorfní se svazem (H, ⊇), tj.
duálním svazem ke svazu (H, ⊆).
V dalším textu budeme studovat, kdy máme takový vztah mezi
podtělesy daného tělesa a podgrupami jeho grupy automorfismů.
Věta o rozšíření izomorfismu těles
Věta 7. Nechť τ : F1 → F2 je izomorfismus těles, nechť je
˜τ : F1[x] → F2[x] indukovaný izomorfismus okruhů polynomů
(pro libovolný polynom g(x) ∈ F1[x] je ˜τ(g(x)) ∈ F2[x] polynom
získaný z polynomu g(x) aplikací τ na jeho koeficienty). Nechť
p(x) ∈ F1[x] je normovaný polynom, který je ireducibilní nad F1.
Pak q(x) = ˜τ(p(x)) ∈ F2[x] je normovaný polynom ireducibilní nad F2.
Nechť α je kořen polynomu p(x) v nějakém rozšíření K1 tělesa F1
a β je kořen polynomu q(x) v nějakém rozšíření K2 tělesa F2.
Pak existuje, a to jediný, izomorfismus σ : F1(α) → F2(β) splňující
σ(a) = τ(a) pro každé a ∈ F1 a současně σ(α) = β.
Navíc [F1(α) : F1] = [F2(β) : F2].
Důkaz. Platí F1(α) ∼= F1[x]/(p(x)), F2(β) ∼= F2[x]/(q(x)), a tedy
F1[x]
g(x)→g(α)
xxxx
  ˜τ
x→x
// //

F2[x]

f (x)→f (β)
&& &&
F1(α) F1[x]/(p(x)) 
// //? _oooo F2[x]/(q(x)) 
// // F2(β)
Definice. Polynom f (x) ∈ F[x] nad tělesem F se nazývá
separabilní, jestliže nemá žádný násobný kořen, tj. jestliže je
nesoudělný se svou derivací f (x).
Věta 8. Nechť τ : F1 → F2 je izomorfismus těles, nechť je
˜τ : F1[x] → F2[x] indukovaný izomorfismus okruhů polynomů
(pro libovolný polynom g(x) ∈ F1[x] je ˜τ(g(x)) ∈ F2[x] polynom
získaný z polynomu g(x) aplikací τ na jeho koeficienty). Nechť
f (x) ∈ F1[x] je normovaný polynom. Označme g(x) = ˜τ(f (x)).
Nechť E1 je rozkladové těleso polynomu f (x) nad F1 a E2 je
rozkladové těleso polynomu g(x) nad F2.
Pak existuje alespoň jeden izomorfismus σ : E1 → E2 splňující
σ(a) = τ(a) pro každé a ∈ F1. Počet takových izomorfismů σ je
nejvýše roven stupni [E1 : F1] = [E2 : F2]. Jestliže polynom f (x) je
separabilní (tj. nemá žádný násobný kořen), je těchto
automorfismů σ právě [E1 : F1].
Důsledek. Nechť E je rozkladové těleso polynomu f (x) ∈ F[x] nad
tělesem F. Pak | Aut(E/F)| ≤ [E : F]. Je-li navíc polynom f (x)
separabilní, platí | Aut(E/F)| = [E : F].
Galoisovo rozšíření
Definice. Nechť F ⊆ K je konečné rozšíření těles. Řekneme, že
toto rozšíření je Galoisovo, jestliže | Aut(K/F)| = [K : F].
V takovém případě nazýváme grupu Aut(K/F) Galoisovou grupou
tohoto rozšíření a užíváme pro ni označení Gal(K/F).
Věta 9. Nechť f (x) ∈ F[x] je separabilní polynom nad tělesem F,
nechť E je rozkladové těleso polynomu f (x) ∈ F[x] nad tělesem F.
Pak F ⊆ E je Galoisovo rozšíření.
Příklad. Pro libovolné prvočíslo p a libovolné m ∈ N je těleso K
mající pm prvků rozkladové těleso separabilního polynomu xpm
− x
nad tělesem Zp. Proto Zp ⊆ K je Galoisovo rozšíření. (To jsme
ovšem věděli už dříve, neboť pro každý prvek σ ∈ Aut(K) a každé
a ∈ Zp platí σ(a) = a, a tedy Aut(K/Zp) = Aut(K) = ϕ , kde ϕ
je Frobeniův automorfismus, odkud | Aut(K/Zp)| = m = [K : Zp].)
Definice. Nechť f (x) ∈ F[x] je separabilní polynom nad tělesem F,
nechť E je rozkladové těleso polynomu f (x) ∈ F[x] nad tělesem F.
Galoisovou grupou polynomu f (x) nad tělesem F rozumíme
Gal(E/F).
První informace o Galoisově grupě polynomu
Věta 10. Nechť K = F(α1, . . . , αn) je konečné rozšíření tělesa F.
Jsou-li σ, τ ∈ Aut(K/F) takové, že σ(α1) = τ(α1), . . . ,
σ(αn) = τ(αn), pak σ = τ.
Důkaz. L = Fix( σ−1 ◦ τ ) je podtěleso tělesa K obsahující všechny
prvky tělesa F a také α1, . . . , αn. Proto L = K a σ−1 ◦ τ je
identita na K, tj. σ = τ.
Příklad. Nechť f (x) ∈ F[x] je normovaný separabilní polynom nad
tělesem F stupně r, nechť E je rozkladové těleso polynomu
f (x) ∈ F[x] nad tělesem F. Pak f (x) se nad E rozkládá na součin
lineárních činitelů f (x) = (x − α1) . . . (x − αr ). Pak platí
E = F(α1, . . . , αr ) a každý σ ∈ Gal(E/F) permutuje množinu
kořenů {α1, . . . , αr }, přičemž touto permutací je σ jednoznačně
určen. Je tedy (při zvoleném očíslování kořenů polynomu f ) možné
Gal(E/F) ztotožnit s jistou podgrupou grupy permutací Sr .
Uvidíme, že to nemusí být celá grupa Sr , protože některé
permutace kořenů nemusí být dány žádným automorfismem
σ ∈ Gal(E/F) (to nastane právě tehdy, když [E : F] < r!).
Příklady
Příklad. Rozšíření Q ⊆ Q( 3
√
2) není Galoisovo, neboť minimální
polynom čísla 3
√
2 nad Q je x3 − 2, tedy [Q( 3
√
2) : Q] = 3. Těleso
Q( 3
√
2) obsahuje jen kořen 3
√
2 polynomu x3 − 2, neboť zbylé dva
kořeny nejsou reálné, a tedy pro libovolný σ ∈ Aut(Q( 3
√
2)/Q)
podle věty 3 platí σ( 3
√
2) = 3
√
2. Proto podle věty 10 je
Aut(Q( 3
√
2)/Q) triviální grupa (obsahuje jen identitu).
Příklad. Označme E rozkladové těleso polynomu x3 − 2 nad
tělesem Q. Platí x3 − 2 = (x − 3
√
2)(x − ω 3
√
2)(x − ω2 3
√
2), kde
ω = −1
2 +
√
3
2 i, a tedy E = Q( 3
√
2, ω 3
√
2, ω2 3
√
2) = Q( 3
√
2, ω).
Protože ω2 + ω + 1 = 0, platí [E : Q( 3
√
2)] ≤ 2. Protože
ω /∈ Q( 3
√
2), je [E : Q( 3
√
2)] > 1, a tedy [E : Q( 3
√
2)] = 2, odkud
[E : Q] = [E : Q( 3
√
2)][Q( 3
√
2) : Q] = 2 · 3 = 6. Proto podle věty 9
| Gal(E/Q)| = 6. Už víme, že Gal(E/Q) je izomorfní s podgrupou
grupy S3, a proto Gal(E/Q) ∼= S3.
Lineární nezávislost různých vnoření tělesa
Poznámka. Pro libovolné těleso L a libovolnou množinu A tvoří
množina všech zobrazení množiny A do tělesa L vektorový prostor
LA nad tělesem L: součtem dvou zobrazení f , g : A → L je
zobrazení (f + g) : A → L určené předpisem
(f + g)(a) = f (a) + g(a) a pro libovolné r ∈ L je zobrazení
(rf ) : A → L určené předpisem (rf )(a) = r · f (a).
Jsou-li K, L tělesa, je libovolné vnoření K → L (tj. homomorfismus
okruhů) prvkem vektorového prostoru LK , můžeme se tedy ptát,
zda mohou být různá vnoření K → L lineárně závislá nad L.
Věta 11. Nechť σ1, . . . , σn jsou různá vnoření tělesa K do tělesa L.
Pak jsou σ1, . . . , σn lineárně nezávislé nad L.
Důsledek. Různé prvky grupy Aut(K) jsou lineárně nezávislé nad K
(i nad každým tělesem L obsahujícím těleso K jako své podtěleso).
Fixní těleso konečné podgrupy grupy automorfismů
Věta 12. Nechť K je těleso, G ≤ Aut(K) konečná podgrupa grupy
automorfismů tělesa K, nechť F = Fix(G) je odpovídající fixní
těleso. Pak platí [K : F] = |G|.
Důsledek. Nechť F ⊆ K je konečné rozšíření těles. Pak
| Aut(K/F)| ≤ [K : F].
Důkaz. Nechť F1 = Fix(Aut(K/F)). Pak F ⊆ F1 ⊆ K. Podle věty 12
je [K : F1] = | Aut(K/F)|. Proto [K : F] = | Aut(K/F)| · [F1 : F].
Důsledek. Nechť K je těleso, G ≤ Aut(K) konečná podgrupa grupy
automorfismů tělesa K, nechť F = Fix(G) je odpovídající fixní
těleso. Pak každý automorfismus tělesa K ponechávající na místě
všechny prvky tělesa F patří do G, tj. Aut(K/F) = G, a tedy
F ⊆ K je Galoisovo rozšíření s Galoisovou grupou Gal(K/F) = G.
Důkaz. Jistě G ≤ Aut(K/F), proto podle věty 12 a předchozího
důsledku je [K : F] = |G| ≤ | Aut(K/F)| ≤ [K : F]. Proto
|G| = | Aut(K/F)|, a tedy G = Aut(K/F).
Různé charakterizace Galoisova rozšíření
Definice. Nechť F ⊆ K je algebraické rozšíření. Řekneme, že toto
rozšíření je
separabilní, jestliže pro libovolný α ∈ K platí, že minimální
polynom p(x) prvku α nad F je separabilní;
normální, jestliže pro libovolný α ∈ K platí, že minimální
polynom p(x) prvku α nad F se rozkládá nad K na součin
lineárních činitelů.
Věta 13. Nechť F ⊆ K je konečné rozšíření. Pak následující
podmínky jsou ekvivalentní:
1. rozšíření F ⊆ K je Galoisovo;
2. rozšíření F ⊆ K je separabilní a normální;
3. K je rozkladové těleso vhodného normovaného separabilního
polynomu f (x) ∈ F[x] nad tělesem F;
4. F = Fix(Aut(K/F)).
Kompositum těles
Poznámka. Víme, že množina všech podtěles tělesa K uspořádaná
inkluzí je úplný svaz, ve kterém infimum libovolné neprázdné
množiny podtěles je průnik těchto podtěles.
Definice. Nechť E1 a E2 jsou podtělesa tělesa K. Kompositum
E1E2 těles E1 a E2 je definováno jako supremum E1 ∨ E2 ve svazu
všech podtěles telesa K. Kompositum E1E2 těles E1 a E2 je tedy
to nejmenší podtěleso tělesa K obsahující obě tělesa E1 a E2,
neboli podtěleso tělesa K generované sjednocením E1 ∪ E2.
Poznámka. Nechť F ⊆ K je libovolné konečné rozšíření těles.
Označme P množinu všech mezitěles tohoto rozšíření, tj. těles E
splňujících F ⊆ E ⊆ K. Pak (P, ⊆) je svaz, v němž infima jsou
průniky a suprema jsou komposita těles.
Připomenutí příkladu s konečným tělesem K
Pro libovolné konečné těleso K mající pn prvků, kde p je
charakteristika tělesa K, víme, že K je Galoisovo rozšíření tělesa Zp
a že Gal(K/Zp) = ϕ , kde ϕ je Frobeniův automorfismus.
Označme P množinu všech mezitěles rozšíření Zp ⊆ K a
H množinu všech podgrup grupy Gal(K/Zp). Víme, že zobrazení
P → H H → P
E → Aut(K/E) H → Fix(H)
jsou navzájem inverzní bijekce, které jsou antiizomorfismus svazů
(P, ⊆) a (H, ⊆) (tj. izomorfismus jednoho svazu s duálním svazem
k druhému svazu). To znamená, že jsou-li H1, H2 ∈ H a
označíme-li E1 = Fix(H1), E2 = Fix(H2), pak kompositum
E1E2 = Fix(H1 ∩ H2) a průnik E1 ∩ E2 = Fix( H1 ∪ H2 ).
Tento fakt platí pro každé Galoisovo rozšíření, jak se dozvíme
z následující věty.
Hlavní věta Galoisovy teorie
Věta 14. Nechť F ⊆ K je libovolné Galoisovo rozšíření těles.
Označme P množinu všech mezitěles rozšíření F ⊆ K a
H množinu všech podgrup grupy Gal(K/F). Pak předpisy
P → H H → P
E → Aut(K/E) H → Fix(H)
definují navzájem inverzní bijekce, které jsou antiizomorfismus
svazů (P, ⊆) a (H, ⊆). Pro libovolné H ∈ H označme E = Fix(H).
Pak platí
1. [K : E] = |H|, [E : F] = |G/H| (index podgrupy H v grupě G),
2. E ⊆ K je vždy Galoisovo, Gal(K/E) = H,
3. F ⊆ E je Galoisovo, právě když H je normální podgrupa grupy
G, v tom případě Gal(E/F) ∼= G/H (faktorgrupa grupy G
podle podgrupy H).
4. Pro H1, H2 ∈ H označme E1 = Fix(H1), E2 = Fix(H2), pak
kompositum E1E2 = Fix(H1 ∩ H2) a průnik
E1 ∩ E2 = Fix( H1 ∪ H2 ).
Pokračování dříve uvedeného příkladu
Příklad. Označme E rozkladové těleso polynomu x3 − 2 nad
tělesem Q. Platí x3 − 2 = (x − 3
√
2)(x − ω 3
√
2)(x − ω2 3
√
2), kde
ω = −1
2 +
√
3
2 i, a tedy E = Q( 3
√
2, ω 3
√
2, ω2 3
√
2) = Q( 3
√
2, ω).
Pro každé ρ ∈ Gal(E/Q) platí ρ( 3
√
2) ∈ { 3
√
2, ω 3
√
2, ω2 3
√
2},
ρ(ω) ∈ {ω, ω2}. Víme, že [E : Q] = 6, proto každá z šesti možností
je dána nějakým automorfismem. Nechť σ, τ ∈ Gal(E/Q) jsou
určeny podmínkami σ( 3
√
2) = ω 3
√
2, σ(ω) = ω a τ( 3
√
2) = 3
√
2,
τ(ω) = ω2. Pak σ3 = τ2 = idK , Gal(E/Q) = σ, τ ∼= S3. Duální
svaz k svazu podgrup grupy Gal(E/Q) a odpovídající fixní tělesa:
{idK }
σ τ στ σ2τ
Gal(E/Q)
Fix({idK }) = E,
Fix( σ ) = Q(ω),
Fix( τ ) = Q( 3
√
2),
Fix( στ ) = Q(ω2 3
√
2),
Fix( σ2τ ) = Q(ω 3
√
2),
Fix( σ, τ ) = Q.
Svaz všech podtěles tělesa E s vyznačenými stupni je tedy
E
3
2
2
2
Q( 3
√
2)
3
Q(ω 3
√
2)
3
Q(ω2 3
√
2)
3
Q(ω)
2
Q
Zatímco pro konečnou grupu Gal(E/Q) lze nalézt všechny
podgrupy procházením všech možností, pro nalezení všech podtěles
tělesa E jsme potřebovali hlavní větu Galoisovy teorie.