4   Diskrétní náhodné veličiny
4.1   Binomické rozdělení Bin(iV, p)
• Bernoulliho pokusy X\,..., :
— Xi = 1 ... událost nastala; Xi = 0... událost nenastala; i = 1,..., N.
— Pr(X2 = 1) = p
— pr(X2 = 0) = 1 - p
• Binomické rozdělení:
— X... počet událostí v posloupnosti TV nezávislých Bernoulliho pokusů, přičemž pravděpodobnost nastání události v každém pokusu je vyjádřena parametrem p.
~ E,"i*i = X~mn(N,p). -6 = (N,p)
— pravděpodobnostní funkce:
p(x) = (^jpx(í -p)N~x     x = 0,l,...,N;
— vlastnosti: E[X] = Np; Var[X] = Np(l - p)
— dbinom(x, N, p), pbinom(x, N, p)
Dataset: Počet chlapců v rodinách s 12 dětmi
V rámci studie poměru pohlaví u lidí z roku 1889 bylo na základě záznamů z nemocnic v Sasku zaznamenáno rozdělení počtu chlapců v čtrnáctičlenných rodinách. Mezi M = 6115 rodinami a N = 12 dětmi byla pozorována početnost chlapců. Údaje ze studie jsou uvedeny v následující tabulce.
_n_|| 0    1      2      3      4       5        6        7       8      9      10    11    12 || ]T
mobserved || 3   24   1Ô4   286   670    1Ô33    1343    1112   829   478    181   45    7 II 6115
Příklad 4.1. Výpočet parametru p binomického rozdělení
Předpokládejme, že náhodná veličina X popisující počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického rozdělení s parametrem TV = 12. Vypočítejte odhad pravděpodobnosti výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi.
Řešení příkladu 4.1
Pravděpodobnost p výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi odhadneme pomocí vzorce
počet narozených chlapců        EÍľ-n nmobserved ,.
P = -;-;-; = -ii=il-. (4-1)
celkový počet narozených dětí N M
[1] 0.5192
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi je (..............................%)•
Příklad 4.2. Pozorované a očekávané početnosti v binomickém rozdělení
Za předpokladu, že počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického rozdělení s parametry
TV = ............................. a p = ............................. odhadněte očekávané početnosti chlapců v rodinách s dvanácti
dětmi a porovnejte je s pozorovanými početnostmi.
Řešení příkladu 4.2
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
m . obs	3	24	104	286	670	1033	1343	1112	829	478	181	45	7
m . exp	1	12	72	259	628	1085	1367	1266	854	410	133	26	2
1
o
-O
400 200 0
			'j		• pozorované	
1		t	é		• očekávané	
				1	►	
1	t					
8						•
. . f 1						?..
10
12
počet starších sourozenců
Příklad 4.3. Výpočet pravděpodobností za předpokladu binomického rozdělení
Za předpokladu, že náhodná veličina X popisující počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického
rozdělení s parametry TV = ............................. a p = ............................. vypočítejte pravděpodobnost, že v rodině
s dvanácti dětmi bude
a. právě devět chlapců,
b. nejvýše čtyři chlapci,
c. alespoň osm chlapců,
d. čtyři, pět, šest, nebo sedm chlapců. Řešení příkladu 4.3
[1]	0	067
		
[1]	0	1589
		
[1]	0	2331
		
[1]	0	7108
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost, že v rodině bude právě devět chlapců, je .............................%. Pravděpodobnost, že v rodině budou nejvýše čtyři chlapci, je .............................%. Pravděpodobnost, že v rodině bude
alespoň osm chlapců, je.............................%. Pravděpodobnost, že v rodině bude čtyři, pět, šest, nebo sedm chlapců,
je.............................%. ★
Příklad 4.4. Graf pravděpodobnostní a distribuční funkce binomického rozdělení
Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a graf distribuční funkce binomického rozdělení Bin(7V, p), kde N = 12 ap = 0.5192.
Řešení příkladu 4.4
0.25 -" 0.20 -^ 0.15 0.10
0.05 -0.00 -
T . .
n-r
10 12
N= 12, p = 0.5192
2      4      6      8 10
x
N= 12, p = 0.5192
2
4.2   Poissonovo rozdělení Poiss(A)
• X ... počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Střední počet těchto událostí je vyjádřen parametrem A > 0.
• X ~ Poiss(A)
• e = \
• pravděpodobnostní funkce:
\x
p(x) = —re~x x = 0,1,...; xl
• vlastnosti: E[X] = A; Var[X] = A
• dpois(x, lambda), ppois(x, lambda)
Příklad 4.5. Výpočet parametru A Poissonova rozdělení
Načtete datový soubor 17-anova-newborns-2.txt a odstraňte z něj neznámá pozorování. Zaměřte se na znak X =počet starších sourozenců novorozence. Za předpokladu, že náhodná veličina X popisující počet starších sourozenců novorozence pochází z Poissonova rozdělení parametrem A odhadněte střední hodnotu počtu starších sourozenců A.
Řešení příkladu 4.5
Střední hodnotu počtu starších sourozenců odhadneme pomocí vzorce
počet starších sourozenců     z~2iLi x%
A = ---       = -. (4. Z)
počet novorozenců TV
[1] 0.9427951
Interpetace výsledků: Střední hodnota počtu starších sourozenců novorozenců v datovém souboru A =.........
........................ ★
Příklad 4.6. Porovnání pozorovaných a očekávaných početností v Poissonově rozdělení
Za předpokladu, že počet starších sourozenců novorozenců pochází z Poissonova rozdělení s parametrem A =...........
..................... odhadněte očekávané početnosti starších sourozenců a porovnejte je s pozorovanými početnostmi.
Řešení příkladu 4.6
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m . obs	590	510	175	48	23	17	10	4	3	1
m . exp	538	507	239	75	18	3	1	0	0	0
10
11
12
600 500 1 400
CD
I 300 o 200
O				
•			0	pozorované
	1	1	•	očekávané
		f		
		t		
		■ í 1	5 t   8 f	•   • •
0 2 4 6 8
počet starších sourozenců
Obrázek 1: Porovnání pozorovaných a očekávaných početností v Poissonově rozdělení
★
3
Příklad 4.7. Výpočet pravděpodobností za předpokladu Poissonova rozdělení
Za předpokladu, že data pochází z Poissonova rozdělení s parametrem A =.............................určete pravděpodobnost,
novorozenec má
a. dva, tři nebo čtyři starší sourozence,
b. alespoň čtyři starší sourozence,
c. nejvýše dva starší sourozence,
d. právě jednoho staršího sourozence. Řešení příkladu 4.7
[1]	0	2403526
		
[1]	0	01567936
		
[1]	0	9299142
		
[1]	0	3672541
13
14
15
16
Interpretace výsledů: Pravděpodobnost, že novorozenec má dva, tři nebo čtyři starší sourozence je ...............
..............%. Pravděpodobnost, že novorozenec má alespoň čtyři starší sourozence je.............................%. Pravděpodobnost, že novorozenec má nejvýše dva starší sourozence je.............................%. Pravděpodobnost, že novorozenec
má jednoho staršího sourozence je .............................%.
Příklad 4.8. Graf pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova rozdělení
Nakreslete graf pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova rozdělení Poiss(0.9428) v hodnotách x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a x > 9.
Řešení příkladu 4.8
pí
1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.0 - <-o
o—o o—o
o—o
X = 0.9428
i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r~
-1   012345678 9+
x
X = 0.9428
Obrázek 2: Pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova rozdělení
4