6 Bodové a intervalové odhady Dataset: 21-goldman-tigara.csv Datový soubor 21-goldman-tigara.csv obsahuje osteometrické údaje o délce stehenní kosti (v mm) a acetabulární výšce (v mm) z pravé a levé strany u mužů a žen z aljašské populace z kmene Tigara. Data pochází ze souboru dokumentovaných skeletů (Goldman, 2006). Popis proměnných v datasetu: • sex ... pohlaví jedince (m - muž, f - žena); • pop ... populace (Tigara = aljašská populace z kmene Tigara); • femur.LR ... délka stehenní kosti z pravé strany (v mm); • femur.LL ... délka stehenní kosti z levé strany (v mm); • acetab.HR ... acetabulární výška z pravé strany (v mm); • acetab.HL ... acetabulární výška z levé strany (v mm). Příklad 6.1. Bodové odhady parametrů p a a2 normálního rozdělení Načtěte datový soubor 21-goldman-tigara.csv. Nechť náhodná veličina X popisuje délku stehenní kosti (v mm) z pravé strany u mužů z kmene Tigara. Za předpokladu, že náhodná veličina X ~ N(p, a2), stanovte nestranný (bodový) odhad (a) střední hodnoty p; (b) rozptylu a2; (c) směrodatné odchylky a; (d) koeficientu variace ^. Všechny vypočítané hodnoty řádně interpretujte. Řešení příkladu 6.1 m s2 s v 1 427.8958 539.1735 23.2201 0.0543 Interpretace výsledků: Nestranný odhad střední hodnoty p je...........................mm. Nestranný odhad rozptylu a2 (resp. směrodatné odchylky a) je ...........................mm2 (resp............................mm). Nestranný odhad koeficientu variace je ............................ Délka stehenní kosti z pravé strany u mužů z kmene Tigara se pohybuje okolo hodnoty...........................mm se směrodatnou odchylkou...........................mm. Směrodatná odchylka představuje ...........................% aritmetického průměru. Příklad 6.2. Bodové odhady parametrů [i a £ normálního rozdělení Načtěte datový soubor 21-goldman-tigara.csv. Nechť náhodná veličina X popisuje délku stehenní kosti (v mm) z pravé strany a náhodná veličina Y popisuje acetabulární výšku (v mm) z pravé strany u mužů z kmene Tigara. Za předpokladu, že náhodný vektor (X, Y)T ~ A^//, S), stanovte (a) nestranný (bodový) odhad vektoru středních hodnot [i; (b) nestranný (bodový) odhad kovariance o\i\ (c) asymptoticky nestranný (bodový) odhad korelačního koeficientu p; (d) nestranný (bodový) odhad varianční matice S. Řešení příkladu 6.2 m . LR m. HR s2 LR s2 HR s . LR s . HR s 12 r 12 1 427.9 51. 93 539 17 9 77 23.22 3.13 42 .11 0.58 Interpretace výsledků: Nestranný odhad vektoru středních hodnot {i =(........................., .........................)T mm. Nestranný odhad kovariance a\2 je ..................................... Asymptoticky nestranný odhad korelačního koeficientu p je ..................................... Nestranný odhad varianční matice £ = ( 171 ^o2 ) je matice ( Sl Sl22 ), kde \aV2 cr2 ) \si2 s2 J s'f =.............................mm2, s| = .............................mm2 a s 12 = f 12*1*2 = .............................. Délka stehenní kosti z pravé strany mužů z kmene Tigara se pohybuje okolo hodnoty...........................mm se směrodatnou odchylkou ...........................mm. Acetabulární výška z pravé strany se pohybuje okolo hodnoty ...........................mm se směrodatnou odchylkou...........................mm. Mezi délkou stehenní kosti a acetabulární výškou z pravé strany existuje ................................... stupeň ......................................................................závislosti (7*12 = ......................). ★ 1 Dataset: 21-goldman-shells.csv Datový soubor 21-goldman-shells.csv obsahuje osteometrické údaje o délce kyčelní kosti z pravé a levé strany u mužů a žen ze tří japonských populací(Tsugumo Shell Mound, Yoshigo Shell Mound a Yasaki Shell Mound). Data pochází ze souboru dokumentovaných skeletů (Goldman, 2006). Popis proměnných v datasetu: • sex ... pohlaví jedince (m - muž, f - žena); • pop .. .populace (tsg = Tsugumo Shell Mound, yos = Yoshigo Shell Mound, yas = Yasaki Shell Mound); • iblade.LR ... délka kyčelní kosti z pravé strany (v mm); • iblade.LL ... délka kyčelní kosti z levé strany (v mm). Příklad 6.3. Dvouvýběrové statistiky Načtěte datový soubor 21-goldman-shells.csv. Vypočítejte vážený průměr výběrových rozptylů délek kyčelních kostí z levé strany u mužů (a) z populací Yoshigo Shell Mound a Yasaki Shell Mound; (b) ze všech tří uvedených populací. Řešení příkladu 6.3 sh.YoYa sh.TgYoYa 1 16.5 24.34722 Interpretace výsledků: Vážený průměr výběrových rozptylů délek kyčelních kostí z levé strany mužů z populací Yoshigo Shell Mound a Yasaki Shell Mound SYoYa* = ........................ mm2. Vážený průměr výběrových rozptylů délek kyčelních kostí z levé strany mužů všech tří japonských populací s2 = ........................ mm2. ic Příklad 6.4. Intervalové odhady parametrů normálního rozdělení Načtěte datový soubor 21-goldman-tigara.csv. Nechť náhodná veličina X popisuje délku stehenní kosti (v mm) z pravé strany u mužů z kmene Tigara. Za předpokladu, že náhodná veličina X ~ N(p,a2), stanovte (a) 95% intervalový odhad střední hodnoty \x\ (b) 99% levostranný intervalový odhad rozptylu a2; (c) 90% pravostranný intervalový odhad směrodatné odchylky a. Řešení příkladu 6.4 dh.mu hh.mu D.sig2 H.sig 1 418.09 437.7 297.83 28.9 Interpretace výsledků: 95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu jj, má tvar.................................. To znamená, že.....................< jj, <.....................s pravděpodobností 95 %. V 95 případech ze sta bude střední hodnota délky stehenní kosti z pravé strany u mužů z kmene Tigara nabývat hodnoty z intervalu.................................mm. 99% levostranný empirický interval spolehlivosti pro rozptyl a2 má tvar............................................To znamená, že a2 > .......................................... s pravděpodobností 99 %. V 99 případech ze sta bude rozptyl délky stehenní kosti z pravé strany u mužů z kmene Tigara větší / menší než .......................................mm. 90% pravostranný empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku a má tvar............................................ To znamená, že a < .......................................... s pravděpodobností 90%. V 90 případech ze sta bude směrodatná odchylka délky stehenní kosti z pravé strany u mužů z kmene Tigara větší / menší než.......................................mm. ★ Příklad 6.5. Bodový a intervalový odhad parametru p alternativního rozdělení Načtěte datový soubor 17-anova-newborns-2.txt. Mějme náhodnou veličinu X popisující ženské pohlaví novorozenců. Za předpokladu, že náhodná veličina X ~ Alt(p), kde p je pravděpodobnost narození holčičky, stanovte (a) bodový odhad parametru p; (b) 95% intervalový odhad parametru p. Řešení příkladu 6.5 p dh. p hh. p 9 1 0.4794 0.453 0.5057 10 Interpretace výsledků: Bodový odhad pravděpodobnosti narození holčičky je ............................................ K narození holčičky dojde s pravděpodobností ......................................%. 95% empirický IS pro pravděpodobnost narození holčičky p má tvar ............................................ To znamená, že ..................... < p < ..................... s pravděpodobností 95 %. Pravděpodobnost narození holčičky se pohybuje v rozmezí.....................% -.....................% s pravděpodobností 95 %. * 3