x_{1,2}

A_1

B_1

C_1

D_1

A_1'

A_2'

a_2

a_1

B_1'

C_1'

D_1'

D_2

C_2

A_2

B_2

B_2'

D_2'

C_2'

P_2

P_1

R_2

R_1

r_2

r_1

P_2'\!=

P_1'

p_1^\rho

I

II

X_1

Y_1

I'

II'

X_2

Y_2

\textrm{Sestrojte průsečíky přímky }a\textrm{ se šikmým hranolem, jehož podstava }ABCD\textrm{ leží v půdorysně.}

1.\ \textrm{Zobrazíme půdorys hranolu. Je dána pobočná hrana }A_1A_1',\textrm{ ostatní hrany }B_1B_1',C_1C_1'\textrm{ a }D_1D_1'\textrm{ jsou s ní rovnoběžné a stejně dlouhé.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Podstava }A_1'B_1'C_1'D_1'\textrm{ bude viditelná, protože body }A',B',C'\textrm{ a }D'\textrm{ mají kladnou z-ovou souřadnici,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{zatímco body }A,B,C\textrm{ a }D\textrm{ mají z-ovou souřadnici nulovou.}

2.\ \textrm{Proto musí body }A_2,B_2,C_2\textrm{ a }D_2\textrm{ ležet na ose }x_{1,2}.

3.\ \textrm{Sestrojíme nárys hranolu. Známe pobočnou hranu }A_2A_2',\textrm{ ostatní hrany }B_2B_2',C_2C_2'\textrm{ a }D_2D_2'\
\hspace{0.6cm}\textrm{jsou s ní rovnoběžné a stejně dlouhé. Přitom obrysové hrany }B_2B_2'\textrm{ a }D_2D_2'\textrm{ musí být nutně viditelné.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Protože je y-ová souřadnice bodu }C\textrm{ větší než bodu }A,\
\hspace{0.6cm}\textrm{bude hrana }C_2C_2'\textrm{ viditelná a hrana }A_2A_2'\textrm{ neviditelná.}

4.\ \textrm{Úlohu řešíme užitím \textbf{osové roviny } \rho, která je určena přímkou }a\textrm{ a rovnoběžkou }r\
\hspace{0.6cm}\textrm{s některou pobočnou hranou hranolu. Protože podstava hranolu leží v půdorysně,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{musíme pomocí půdorysných stopníků sestrojit půdorysnou stopu }p_1^\rho\textrm{ roviny }\rho.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Nejprve určíme půdorysný stopník přímky }a: P_2=a_2\cap x_{1,2}\ \Rightarrow P_1\in a_1

5.\ \textrm{Abychom mohli sestrojit přímku }r,\textrm{ která musí být s přímkou }a\textrm{ různoběžná,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{určíme nejprve pomocný bod }R\textrm{ na přímce }a,\textrm{ kterým bude potom přímka }r\textrm{ procházet.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Zvolíme například }R_2=a_2\cap D_2D_2',\textrm{ pomocí ordinály pak přeneseme bod }R_1\textrm{ na přímku }a_1.

r_1

r_2

6.\ \textrm{Přímka }r_2\textrm{ splývá s hranou }D_2D_2',\hspace{0.6cm}R_1\in r_1\parallel D_1D_1'.

7.\ \textrm{Určíme půdorysný stopník přímky }r.

p_1^\rho

8.\ p_1^\rho=\,\leftrightarrow\!P_1P_1'\dots\textrm{půdorysná stopa roviny \rho}\
\hspace{0.6cm}p_1^\rho\textrm{ protíná dolní podstavu hranolu v bodech }I\textrm{ a }II,\textrm{ které definují řez hranolu osovou rovinou.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Přitom bod }I\textrm{ leží na podstavné hraně }C_1D_1,\textrm{ která je v půdoryse neviditelná,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{a bod }II\textrm{ leží na podstavné hraně }A_1B_1,\textrm{ která je v půdoryse viditelná.}

9.\ \textrm{Sestrojíme řez hranolu osovou rovinou v půdoryse, což je rovnoběžník,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{jehož dvě strany jsou rovnoběžné s pobočnými hranami hranolu.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Také platí, že průsečnice osové roviny s horní podstavou hranolu je rovnoběžná s }p_1^\rho.

10.\ \textrm{Společné body řezu a přímky }a_1\textrm{ jsou hledané průsečíky }X_1\textrm{ a }Y_1\textrm{ přímky }a\textrm{ s hranolem v půdoryse.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Viditelnost přímky }a_1\textrm{ vyplývá z viditelnosti řezu hranolu osovou rovinou.}

12.\ \textrm{Body }I\textrm{ a }II\textrm{ přeneseme ordinálami do bodů }I'\textrm{ a }II'\textrm{ na osu }x_{1,2}.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Bod }I\textrm{ na hraně }C_1D_1\textrm{ se promítá do bodu }I'\textrm{ na hraně }C_2D_2,\textrm{ která je v nárysu viditelná.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Bod }II\textrm{ na hraně }A_1B_1\textrm{ se promítá do bodu }II'\textrm{ na hraně }A_2B_2,\textrm{ která je v nárysu neviditelná.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Z toho pak vyplývá viditelnost řezu hranolu osovou rovinou v nárysu.}

13.\ \textrm{Osová rovina protíná stěny hranolu v rovnoběžkách s pobočnými hranami hranolu v nárysu.}

14.\ \textrm{Společné body řezu a přímky }a_2\textrm{ jsou průsečíky }X_2\textrm{ a }Y_2\textrm{ přímky }a\textrm{ s hranolem v nárysu.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Viditelnost přímky }a_2\textrm{ plyne z viditelnosti řezu v nárysu.}

Z_1 = (-5, 0)
Z_2 = Point(xAxis)
a = Segment(Z_1, Z_2)
A_1 = (3.86, -2.22)
B_1 = (4.84, -4.16)
b = Segment(A_1, B_1)
c = OrthogonalLine(A_1, b)
d = OrthogonalLine(B_1, b)
e = Circle(B_1, A_1)
C_1, G = Intersect(e, d)
f = Line(C_1, b)
D_1 = Intersect(c, f)
g = Segment(B_1, C_1)
h = Segment(C_1, D_1)
i = Segment(A_1, D_1)
A_1' = (-2.62, -0.64)
j = OrthogonalLine(A_1', a)
A_2' = Point(j)
k = Segment(A_2', A_1')
Z_3 = Point(a)
Z_4 = (-4.12, -5)
l = Segment(Z_3, Z_4)
P_2 = Point(a)
Z_5 = (2.36, 5.34)
m = Segment(P_2, Z_5)
pos = 15 (slider from 0 to 15, step 1)
n = Segment(A_1', A_1)
p = Line(B_1, n)
q = Line(D_1, p)
r = Line(C_1, p)
s = Line(A_1', b)
B_1' = Intersect(s, p)
t = Line(B_1', g)
a_1 = Line(A_1', i)
D_1' = Intersect(q, a_1)
C_1' = Intersect(t, r)
b_1 = Segment(A_1', B_1')
c_1 = Segment(B_1', C_1')
d_1 = Segment(D_1', C_1')
e_1 = Segment(D_1', A_1')
f_1 = Segment(C_1', C_1)
g_1 = Segment(B_1', B_1)
h_1 = Segment(D_1', D_1)
i_1 = OrthogonalLine(D_1, a)
j_1 = OrthogonalLine(C_1, a)
k_1 = OrthogonalLine(A_1, a)
l_1 = OrthogonalLine(B_1, a)
D_2 = Intersect(a, i_1)
C_2 = Intersect(a, j_1)
A_2 = Intersect(a, k_1)
B_2 = Intersect(a, l_1)
m_1 = Segment(D_1, D_2)
n_1 = Segment(C_1, C_2)
p_1 = Segment(A_2, A_1)
q_1 = Segment(B_2, B_1)
r_1 = Segment(A_2', A_2)
s_1 = Line(C_2, r_1)
t_1 = Line(D_2, r_1)
a_2 = Line(B_2, s_1)
b_2 = Line(A_2', a)
D_2' = Intersect(t_1, b_2)
C_2' = Intersect(s_1, b_2)
B_2' = Intersect(b_2, a_2)
c_2 = Segment(B_2', B_2)
d_2 = Segment(C_2', C_2)
e_2 = Segment(D_2', D_2)
f_2 = Segment(D_2', B_2')
g_2 = Segment(Z_1, D_2)
h_2 = Segment(D_2, B_2)
i_2 = Segment(B_2, Z_2)
j_2 = OrthogonalLine(P_2, g_2)
P_1 = Intersect(l, j_2)
k_2 = Segment(P_2, P_1)
R_2 = Intersect(e_2, m)
l_2 = OrthogonalLine(R_2, g_2)
R_1 = Intersect(l, l_2)
m_2 = Segment(R_2, R_1)
n_2 = Line(R_1, g_1)
Z_6 = Point(n_2)
Z_7 = Point(n_2)
p_2 = Segment(Z_6, Z_7)
q_2 = OrthogonalLine(D_1, g_2)
P_1' = Intersect(p_2, q_2)
r_2 = Segment(D_1, P_1')
s_2 = Line(P_1, P_1')
Z_8 = Point(s_2)
Z_9 = Point(s_2)
t_2 = Segment(Z_8, Z_9)
M_1 = Intersect(t_2, h)
N_1 = Intersect(t_2, b)
U = Intersect(f_1, t_2)
a_3 = Segment(Z_8, U)
b_3 = Segment(U, M_1)
c_3 = Segment(M_1, N_1)
d_3 = Segment(N_1, Z_9)
e_3 = Line(M_1, f_1)
f_3 = Line(N_1, f_1)
N_1' = Intersect(b_1, f_3)
M_1' = Intersect(d_1, e_3)
g_3 = Segment(M_1', N_1')
h_3 = Segment(N_1', N_1)
i_3 = Segment(M_1', M_1)
X_1 = Intersect(h_3, l)
Y_1 = Intersect(i_3, l)
V = Intersect(f_1, l)
j_3 = Segment(Z_4, V)
k_3 = Segment(V, Y_1)
l_3 = Segment(Y_1, X_1)
m_3 = Segment(X_1, Z_3)
mnohoúhelník1, m_1', n_1', n_3, m_4 = Polygon(M_1', N_1', N_1, M_1)
p_3 = OrthogonalLine(M_1, g_2)
q_3 = OrthogonalLine(N_1, g_2)
M_2 = Intersect(p_3, h_2)
N_2 = Intersect(h_2, q_3)
r_3 = Segment(M_1, M_2)
s_3 = Segment(N_1, N_2)
t_3 = Line(M_2, e_2)
a_4 = Line(N_2, e_2)
M_2' = Intersect(t_3, f_2)
N_2' = Intersect(a_4, f_2)
b_4 = Segment(M_2', M_2)
c_4 = Segment(N_2', N_2)
Y_2 = Intersect(m, b_4)
X_2 = Intersect(m, c_4)
W = Intersect(c_2, m)
d_4 = Segment(P_2, Y_2)
e_4 = Segment(Y_2, X_2)
f_4 = Segment(X_2, W)
g_4 = Segment(W, Z_5)
mnohoúhelník2, m_2', n_2', n_4, m_5 = Polygon(M_2', N_2', N_2, M_2)
I_1: (-19, 8)
I_2: (-6, 8)
I_3: (-19, -9)
h_4 = Segment(I_1, I_2)
i_4 = Segment(I_1, I_3)
P_2'' = Intersect(m, g_2)
P_1'' = Intersect(j_2, l)
j_4 = Segment(P_2'', P_1'')
R_2' = Intersect(l_2, e_2)
R_1' = Intersect(l_2, l)
k_4 = Segment(R_2', R_1')
l_4 = Segment(Z_6, Z_7)
Z_{10} = Point(t_1)
Z_{11} = Point(t_1)
p_4 = Segment(Z_{10}, Z_{11})
P_2''' = Intersect(g_2, p_4)
P_1''' = Intersect(q_2, l_4)
q_4 = Segment(P_2''', P_1''')
M_1'' = Intersect(t_2, h)
N_1'' = Intersect(t_2, b)
M_2'' = Intersect(p_3, h_2)
N_2'' = Intersect(q_3, h_2)
r_4 = Segment(M_1, M_2'')
s_4 = Segment(N_1, N_2'')