x_{1,2}

S_1

V_1

V_2

S

T

T'

a_2

a_1

P_2

P_1

R_2

R_1

P_2'

r_2

r_1

P_1'

p_1^\rho

I

II

X_1

Y_1

I'

II'

X_2

Y_2

\textrm{Sestrojte průsečíky přímky }a\textrm{ se šikmým kuželem, jehož podstavou je kružnice ležící v půdorysně}

1.\ \textrm{Sestrojíme půdorys kužele, jehož obrysovými površkami jsou tečny z bodu }V_1\textrm{ k podstavné kružnici kužele.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Tečny z bodu }V_1\textrm{ ke kružnici se sestrojují užitím \textbf{Thaletovy kružnice}, jejímž průměrem je úsečka }S_1V_1.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Průsečíky }T\textrm{ a }T'\textrm{ obou kružnic jsou body dotyku hledaných tečen a zároveň na podstavné kružnici kužele vymezují její (ne)viditelnou část.}

4.\ \textrm{Nárysem podstavné kružnice kužele je úsečka na ose }x_{1,2},\textrm{ jejíž délka je rovna průměru této podstavné kružnice.}

5.\ \textrm{Určíme nárys kužele, kterým je trojúhelník s vrcholem }V_2.

6.\ \textrm{Úlohu řešíme užitím \textbf{vrcholové roviny }\rho, která je určena přímkou }a\textrm{ a vrcholem }V.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Protože podstavná kružnice kužele leží v půdorysně,}\
\hspace{0.6cm}\textrm{musíme pomocí půdorysných stopníků sestrojit půdorysnou stopu }p_1^\rho\textrm{ roviny }\rho.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Nejprve určíme půdorysný stopník přímky }a: P_2=a_2\cap x_{1,2}\ \Rightarrow\ P_1\in a_1

7.\ \textrm{V rovině \rho dále určíme přímku }r,\textrm{ která je s přímkou }a\textrm{ různoběžná a prochází vrcholem }V.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Proto nejprve na přímce }a\textrm{ sestrojíme pomocný bod }R,\textrm{kterým bude přímka }r\textrm{ procházet.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Nárys }R_2\in a_2\textrm{ zvolíme libovolně, pomocí ordinály pak bod }R_1\textrm{ přeneseme na }a_1.\
\hspace{0.6cm}\textrm{Případně bychom také mohli nejprve zvolit bod }R_1\in a_1\textrm{ a pak odvodit bod }R_2\in a_2.

r_2

r_1

8.\ r_1=\,\leftrightarrow\!R_1V_1\hspace{0.4cm}\wedge\hspace{0.4cm}r_2=\,\leftrightarrow\!R_2V_2

9.\ \textrm{Určíme stopník }P'\textrm{ přímky }r.

p_1^\rho

10.\ p_1^\rho=\,\leftrightarrow\!P_1P_1'\dots\textrm{půdorysná stopa roviny \rho}\
\hspace{0.85cm}p_1^\rho\textrm{ protíná podstavnou kružnici kužele v bodech }I\textrm{ a }II,\
\hspace{0.85cm}\textrm{které definují řez kužele vrcholovou rovinou.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Přitom bod }I\textrm{ leží na neviditelném a bod }II\textrm{ na viditelném oblouku podstavné kružnice kužele.} 

11.\ \textrm{Řezem kužele vrcholovou rovinou \rho je v půdoryse trojúhelník s vrcholy }I,II\textrm{ a }V_1.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Přitom musíme určit viditelnost površek }I\,V_1\textrm{ a }II\,V_1\textrm{ na kuželi.}

12.\ \textrm{Společné body řezu a přímky }a_1\textrm{ jsou hledané průsečíky }X_1\textrm{ a }Y_1\textrm{ přímky }a\textrm{ s kuželem v půdoryse.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Viditelnost přímky }a_1\textrm{ vyplývá z viditelnosti řezu na kuželi.}

14.\ \textrm{Body }I\textrm{ a }II\textrm{ přeneseme ordinálami na osu }x_{1,2}\textrm{ do bodů }I'\textrm{ a }II'.\
\hspace{0.85cm}\textrm{Při promítání do nárysny je z hlediska viditelnosti podstavná kružnice kužele}\
\hspace{0.8cm}\textrm{rozdělena rovnoběžkou s osou }x_{1,2},\textrm{ která prochází středem }S_1,\textrm{ na dvě půlkružnice.}\ 
\hspace{0.85cm}\textrm{Bod }I\textrm{ leží na půlkružnici, která se do nárysny promítne jako viditelná.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Bod }II\textrm{ leží na půlkružnici, která se do nárysny promítne jako neviditelná.}\
\hspace{0.8cm}\textrm{Proto je bod }I'\in x_{1,2}\textrm{ viditelný a bod }II'\in x_{1,2}\textrm{ neviditelný,}\
\hspace{0.8cm}\textrm{z čehož následně vyplývá viditelnost řezu kužele vrcholovou rovinou v nárysu.}

15.\ \textrm{Řezem kužele vrcholovou rovinou \rho v nárysu je trojúhelník s vrcholy }I',II'\textrm{ a }V_2.

16.\ \textrm{Společné body řezu a přímky }a_2\textrm{ jsou průsečíky }X_2\textrm{ a }Y_2\textrm{ přímky }a\textrm{ s kuželem v nárysu.}\
\hspace{0.85cm}\textrm{Také musí platit, že body }X_2\textrm{ a }Y_2\textrm{ leží na ordinálách vedených body }X_1\textrm{ a }Y_1.

17.\ \textrm{Viditelnost přímky }a_2\textrm{ plyne z viditelnosti řezu kužele v nárysu.}

Z_1 = Point(xAxis)
Z_2 = Point(xAxis)
a = Segment(Z_2, Z_1)
S_1 = (2.22, -2.84)
c = Circle(S_1, 2)
V_1 = (-0.8909090909090898, -1.3745454545454552)
b = OrthogonalLine(V_1, a)
V_2 = Point(b)
d = Segment(V_1, V_2)
pos = 18 (slider from 0 to 18, step 1)
e = Segment(V_1, S_1)
S = Midpoint(V_1, S_1)
f = Circle(S, V_1)
T, T' = Intersect(f, c)
g = Segment(V_1, T)
h = Segment(V_1, T')
k = Arc(c, T', T)
p = Arc(c, T, T')
i = Line(S_1, a)
K = Intersect(p, i)
K' = Intersect(k, i)
j = Segment(K, K')
l = OrthogonalLine(K', j)
m = OrthogonalLine(K, j)
L = Intersect(a, m)
L' = Intersect(l, a)
n = Segment(K, L)
q = Segment(K', L')
r = Segment(V_2, L)
s = Segment(V_2, L')
P_2 = Point(a)
Z_4 = (4.169090909090909, 2.8454545454545457)
t = Segment(P_2, Z_4)
Z_6 = (5.089090909090908, -0.5345454545454551)
Z_5 = (-3.410909090909089, -4.254545454545456)
a_1 = Segment(Z_6, Z_5)
b_1 = OrthogonalLine(P_2, a)
P_1 = Intersect(a_1, b_1)
c_1 = Segment(P_2, P_1)
R_2 = Point(t)
d_1 = OrthogonalLine(R_2, a)
R_1 = Intersect(a_1, d_1)
e_1 = Segment(R_2, R_1)
f_1 = Ray(V_2, R_2)
P_2' = Intersect(a, f_1)
g_1 = Segment(V_2, P_2')
h_1 = Ray(V_1, R_1)
Z_7 = Point(h_1)
i_1 = Segment(V_1, Z_7)
j_1 = OrthogonalLine(P_2', a)
P_1' = Intersect(i_1, j_1)
k_1 = Segment(P_2', P_1')
l_1 = Segment(P_1, P_1')
M_1 = Intersect(p, l_1)
N_1 = Intersect(k, l_1)
Z = Intersect(h, l_1)
m_1 = Segment(P_1, Z)
n_1 = Segment(M_1, Z)
p_1 = Segment(M_1, N_1)
q_1 = Segment(N_1, P_1')
r_1 = Segment(V_1, M_1)
s_1 = Segment(V_1, N_1)
X_1 = Intersect(a_1, r_1)
Y_1 = Intersect(a_1, s_1)
Z' = Intersect(a_1, h)
t_1 = Segment(Z_5, P_1)
a_2 = Segment(P_1, Z')
b_2 = Segment(Z', X_1)
c_2 = Segment(X_1, Y_1)
d_2 = Segment(Y_1, Z_6)
mnohoúhelník1, n_2, v_1, m_2 = Polygon(V_1, M_1, N_1)
e_2 = OrthogonalLine(M_1, a)
f_2 = OrthogonalLine(N_1, a)
M_2 = Intersect(a, e_2)
N_2 = Intersect(f_2, a)
g_2 = Segment(V_2, N_2)
h_2 = Segment(M_2, V_2)
i_2 = Segment(M_1, M_2)
j_2 = Segment(N_2, N_1)
X_2 = Intersect(h_2, t)
k_2 = Segment(X_1, X_2)
Y_2 = Intersect(g_2, t)
l_2 = Segment(Y_1, Y_2)
Z'' = Intersect(s, t)
p_2 = Segment(P_2, X_2)
r_2 = Segment(Z'', Z_4)
q_2 = Segment(X_2, Y_2)
mnohoúhelník2, n_3, v_2, m_3 = Polygon(V_2, M_2, N_2)
W_1: (-17.5, 8.8)
W_2: (-4, 8.8)
W_3: (-17.5, -7)
s_2 = Segment(W_1, W_2)
t_2 = Segment(W_1, W_3)
P_2'' = Intersect(a, t)
P_1'' = Intersect(a_1, b_1)
a_3 = Segment(P_2'', P_1'')
R_2' = Intersect(d_1, t)
R_1' = Intersect(a_1, d_1)
b_3 = Segment(R_2', R_1')
c_3 = Segment(V_1, Z_7)
d_3 = Segment(V_2, P_2')
P_2''' = Intersect(a, j_1)
P_1''' = Intersect(i_1, j_1)
e_3 = Segment(P_2''', P_1''')
M_1', N_1' = Intersect(c, l_1)
f_3 = Segment(K, K')
M_2' = Intersect(e_2, a)
N_2' = Intersect(f_2, a)
g_3 = Segment(M_1, M_2')
h_3 = Segment(N_1, N_2')