S_1

S_1'

x_{1,2}

S_2'

a_2

a_1

P_2

P_1

R_2

R_1

r_2

r_1

P_2'

P_1'

p_1^\rho

I

II

X_1

Y_1

I'

II'

X_2

Y_2

\textrm{Určete průsečíky přímky se šikmým válcem,\,který má dolní podstavu v půdorysně}

1.\ \textrm{Dolní podstava válce se do nárysny promítne jako úsečka na ose }x_{1,2},\textrm{ jejíž délka je rovna průměru podstavné kružnice válce.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Horní podstava válce je v nárysně stejně dlouhá úsečka rovnoběžná s osou }x_{1,2}\textrm{ se středem }S_2'.

2.\ \textrm{Sestojíme nárys šikmého válce.}

3.\ \textrm{Úlohu řešíme užitím \textbf{osové roviny }\rho, která je určena zadanou přímkou }a\textrm{ a rovnoběžkou } r\textrm{ s osou válce.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Protože dolní podstava válce leží v půdorysně, musíme pomocí půdorysných stopníků určit půdorysnou stopu }p_1^\rho\textrm{ roviny \rho.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Nejprve najdeme půdorysný stopník na přímce }a\textrm{ (má nulovou z-ovou souřadnici): }
P_2=a_2\cap x_{1,2}\ \Rightarrow\ P_1\in a_1

4.\ \textrm{Přímka }r\textrm{ musí být s přímkou }a\textrm{ různoběžná, proto zvolíme bod }R\textrm{ na přímce }a,\textrm{ kterým bude přímka }r\textrm{ procházet.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Například položíme }R_1=a_1\cap S_1S_1',\textrm{ pak přeneseme ordinálou bod }R_2\textrm{ na přímku }a_2.

r_1

r_2

5.\ \textrm{Protože je přímka }r\textrm{ rovnoběžná s osou válce a prochází bodem }R,\
\hspace{0.6cm}\textrm{bude v půdoryse }r_1\textrm{ splývat s osou válce }o_1=S_1S_1'.\
\hspace{0.6cm}\textrm{V náryse přímka }r_2\textrm{ prochází bodem }R_2\textrm{ rovnoběžně s osou }o_2\textrm{ válce,}\ 
\hspace{0.6cm}\textrm{což znamená také rovnoběžně s úsečkou tvořící obrys válce.}

6.\ \textrm{Určíme půdorysný stopník přímky }r.

p_1^\rho

7.\ p_1^\rho=\,\leftrightarrow\! P_1P_1'\dots\textrm{půdorysná stopa roviny \rho}\
\hspace{0.6cm}p_1^\rho\textrm{ protíná dolní podstavu válce v bodech }I\textrm{ a }II,\textrm{ které definují řez válce osovou rovinou.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Bod }I\textrm{ leží v půdoryse na viditelné části a bod }II\textrm{ na neviditelné části podstavné kružnice válce.}

8.\ \textrm{Určíme řez válce osovou rovinou v půdorysně. Přitom musíme vzít v úvahu viditelnost řezu.}

9.\ \textrm{Společné body řezu a přímky }a_1\textrm{ jsou hledané průsečíky }X_1\textrm{ a }Y_1\textrm{ přímky }a\textrm{ s válcem v půdoryse.}\
\hspace{0.6cm}\textrm{Viditelnost přímky }a_1\textrm{ vzhledem k válci je určena viditelností řezu válce osovou rovinou v půdoryse.}

11.\ \textrm{Body }I\textrm{ a }II\textrm{ přeneseme do nárysu do bodů }I'\textrm{ a }II'\textrm{ na osu }x_{1,2}.\
\hspace{0.8cm}\textrm{Bod }I'\textrm{ leží v nárysu na neviditelné a bod }II'\textrm{ na viditelné části podstavné kružnice válce.}\
\hspace{0.8cm}\textrm{Při promítání do nárysu je z hlediska viditelnosti podstavná kružnice válce}\ 
\hspace{0.8cm}\textrm{rozdělena rovnoběžkou s osou }x_{1,2}\textrm{ na dvě půlkružnice -}\
\hspace{0.8cm}\textrm{bod }I\textrm{ leží na neviditelné půlkružnici a bod }II\textrm{ na viditelné půlkružnici.}

12.\ \textrm{Určíme řez válce osovou rovinou v nárysně. Přitom stanovíme viditelnost řezu,}\
\hspace{0.8cm}\textrm{která je odvozena z viditelnosti bodů }I'\textrm{ a }II'\textrm{ na ose }x_{1,2}.

13.\ \textrm{Průsečíky }X_2\textrm{ a }Y_2\textrm{ přímky }a_2\textrm{ s válcem v nárysu jsou společné body řezu a přímky }a_2.\ 
\hspace{0.8cm}\textrm{Přitom leží }X_2\textrm{ a }Y_2\textrm{ také na ordinálách vedených body }X_1\textrm{ a }Y_1. 

14.\ \textrm{Určíme viditelnost přímky }a_2\textrm{ vzhledem k válci, která je určena viditelností řezu válce osovou rovinou v nárysu.}

Z_1 = Point(xAxis)
Z_2 = Point(xAxis)
a = Segment(Z_1, Z_2)
S_1 = (-2.84, -3.88)
S_1' = (2.7, -2.38)
c = Circle(S_1, 2)
d = Circle(S_1', 2)
b = OrthogonalLine(S_1', a)
S_2' = Point(b)
e = Segment(S_1', S_2')
f = Segment(S_1, S_1')
g = OrthogonalLine(S_1, f)
h = OrthogonalLine(S_1', f)
T_1', T_1 = Intersect(c, g)
G_1', G_1 = Intersect(d, h)
i = Segment(T_1, G_1)
j = Segment(T_1', G_1')
k = Arc(c, T_1, T_1')
p = Arc(c, T_1', T_1)
pos = 15 (slider from 0 to 15, step 1)
l = Line(S_1, a)
m = Line(S_1', a)
U_1 = Intersect(k, l)
U_2 = Intersect(p, l)
U_3, U_4 = Intersect(d, m)
n = Segment(U_1, U_2)
q = Segment(U_3, U_4)
r = OrthogonalLine(U_4, q)
s = OrthogonalLine(U_3, q)
t = OrthogonalLine(U_2, n)
a_1 = OrthogonalLine(U_1, n)
P_2' = Intersect(a, a_1)
U_6 = Intersect(a, t)
b_1 = Segment(U_1, P_2')
c_1 = Segment(U_2, U_6)
d_1 = Line(S_2', a)
U_7 = Intersect(d_1, s)
U_8 = Intersect(d_1, r)
e_1 = Segment(U_7, U_8)
f_1 = Segment(U_3, U_7)
g_1 = Segment(U_4, U_8)
h_1 = Segment(P_2', U_7)
i_1 = Segment(U_6, U_8)
P_2 = Point(a)
Z_3 = (-2.98, 3.92)
j_1 = Segment(P_2, Z_3)
Z_4 = Point(a)
Z_5 = (2.76, -8.06)
k_1 = Segment(Z_4, Z_5)
l_1 = OrthogonalLine(P_2, a)
P_1 = Intersect(k_1, l_1)
m_1 = Segment(P_2, P_1)
R_2 = Intersect(h_1, j_1)
n_1 = OrthogonalLine(R_2, a)
R_1 = Intersect(n_1, k_1)
p_1 = Segment(R_2, R_1)
q_1 = Line(R_1, i)
Z_6 = Point(q_1)
Z_7 = Point(q_1)
r_1 = Segment(Z_6, Z_7)
s_1 = OrthogonalLine(P_2', a)
P_1' = Intersect(r_1, s_1)
t_1 = Segment(P_2', P_1')
a_2 = Segment(P_1', P_1)
M_1 = Intersect(k, a_2)
N_1 = Intersect(p, a_2)
Z = Intersect(j, a_2)
b_2 = Segment(P_1', M_1)
d_2 = Segment(N_1, Z)
e_2 = Segment(Z, P_1)
c_2 = Segment(M_1, N_1)
f_2 = Line(M_1, r_1)
g_2 = Line(N_1, f_2)
H_1, H_2 = Intersect(d, f_2)
H_3, H_4 = Intersect(d, g_2)
h_2 = Segment(M_1, H_1)
i_2 = Segment(N_1, H_4)
j_2 = Segment(H_1, H_4)
X_1 = Intersect(h_2, k_1)
Y_1 = Intersect(i_2, k_1)
Z' = Intersect(j, k_1)
k_2 = Segment(Z_4, X_1)
l_2 = Segment(X_1, Y_1)
m_2 = Segment(Y_1, Z')
n_2 = Segment(Z', P_1)
p_2 = Segment(P_1, Z_5)
mnohoúhelník1, m_3, n_3, h_4, h_3 = Polygon(M_1, N_1, H_4, H_1)
q_2 = OrthogonalLine(M_1, a)
r_2 = OrthogonalLine(N_1, a)
M_2 = Intersect(a, q_2)
N_2 = Intersect(a, r_2)
s_2 = Segment(M_1, M_2)
t_2 = Segment(N_1, N_2)
a_3 = Line(N_2, i_1)
b_3 = Line(M_2, i_1)
H_5 = Intersect(e_1, b_3)
H_6 = Intersect(e_1, a_3)
c_3 = Segment(M_2, H_5)
d_3 = Segment(N_2, H_6)
e_3 = Segment(S_1, S_1')
X_2 = Intersect(c_3, j_1)
Y_2 = Intersect(j_1, d_3)
f_3 = Segment(X_1, X_2)
g_3 = Segment(Y_1, Y_2)
i_3 = Segment(Z_3, R_2)
j_3 = Segment(X_2, Y_2)
k_3 = Segment(Y_2, P_2)
l_3 = Segment(R_2, X_2)
mnohoúhelník2, m_4, b_4, h_6, h_5 = Polygon(M_2, N_2, H_6, H_5)
R_1' = Intersect(e_3, k_1)
p_3 = OrthogonalLine(R_1', a)
R_2' = Intersect(j_1, p_3)
q_3 = Segment(R_2', R_1')
r_3 = Line(S_1', S_1)
R = Point(r_3)
R' = Point(r_3)
s_3 = Segment(R', R)
t_3 = Line(R_2', i_1)
R'' = Point(t_3)
R''' = Point(t_3)
a_4 = Segment(R''', R'')
P_2'' = Intersect(a, a_4)
c_4 = OrthogonalLine(P_2'', a)
P_1'' = Intersect(s_3, c_4)
d_4 = Segment(P_2'', P_1'')
Q_1: (-19, 7)
Q_2: (-6, 7)
Q_3: (-19, -12)
e_4 = Segment(Q_1, Q_2)
f_4 = Segment(Q_1, Q_3)
P_2''' = Intersect(l_1, a)
P_1''' = Intersect(k_1, l_1)
g_4 = Segment(P_2''', P_1''')
R_1'' = Intersect(k_1, e_3)
R_2'' = Intersect(p_3, j_1)
i_4 = Segment(R_2'', R_1'')
l_4 = Segment(R'', R''')
n_4 = Segment(R, R')
P' = Intersect(a_4, a)
P = Intersect(c_4, s_3)
j_4 = Segment(P', P)
M_1', N_1' = Intersect(c, a_2)
M_2' = Intersect(a, s_2)
N_2' = Intersect(t_2, a)
I = Point(l)
I' = Mirror(I, S_1)
k_4 = Segment(I, I')