Stochastické procesy ve finanční matematice Martin Kolář Osnova: náhodná procházka generující funkce Polyova věta a zákon arcsinu Poissonův proces Cramér-Lundbergův model Diskrétní modely oceňování finančních derivátů Základní věta arbitrážní teorie, úplnost trhu Brownův pohyb Itôovo lemma a Black-Scholesova rovnice pro oceňování opcí Motivace - Matematické modely ve financích jsou stochastické. - Základní nástroj: teorie pravděpodobnosti. Příklad: ^12102020 ■■■ cena akcie firmy Apple příští pondělí na konci obchodování Dnes ... cena je neznámá a modelujeme ji jako náhodnou veličinu. Příští týden v pátek ... cena je známou hodnotou (konstantou). Pro matematické modelování ve financích je typická tato interakce náhodných a známých veličin. Vzájemnému působení náhodnosti a plynutí času se věnuje teorie stochastických procesů. Systém náhodných veličin Xt, t G /, kde / je indexová množina, se nazývá stochastický proces. Příklad: Xt ... cena zvolené akcie v budoucím čase t. Jaký je vztah mezi Xt a Xŕ+i ? Mohou to být nezávislé náhodné veličiny? Hodnota Xt obsahuje informaci o pravděpodobnostním rozdělení náhodné veličiny Xŕ+i. Jak je to s přírůstky Xŕ+2 — Xŕ+i a Xŕ+i — Xŕ? Ve většině našich modelů budou nezávislé. Souvisí s tzv.hypotézou efektivního trhu. "Všechny informace dostupné v čase t jsou již obsaženy v ceně Xt. Důsledek: geometrický Brownův pohyb je "přirozeným " modelem vývoje cen akcií. Pravděpodobnost Teorie pravděpodobnosti je hlavním nástrojem modelování ve finanční matematice. Co je to pravděpodobnost? Frekventistický přístup: Pravděpodobnost jevu je limita jeho relativní četnosti při velkém počtu opakování téhož experimentu. Nevýhoda: omezení na opakovatelné jevy. Předpoklad opakovatelnosti konkrétní situace na trhu není úplně reálný. Bayesovský prístup: Pravděpodobnost vyjadřuje míru naší nejistoty o pravdivosti nějakého tvrzení, založenou na informacích, které v danou chvíli máme. Každá pravděpodobnost je tedy podmíněná (informacemi, které právě máme). Pravděpodobnost padnutí šestky na kostce je P(X = 6) = g, pokud nemáme žádnou informaci o tom, jak je kostka vyrobena. Budeme-li mít více informací, může se tato pravděpodobnost změnit. Matematická technika výpočtů nicméně na interpretaci ve většině případů nezávisí a je stejná pro obě pojetí. □ e Opakování základních pojmů teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnostní prostor (model) obvykle označujeme (0,^1, kde - Q je prostor elementárních jevů, t.j. všech možných stavů modelovaného systému, které chceme rozlišovat (např. {1,2,3,4,5,6} u hodu kostkou). - A je množina všech pozorovatelných jevů. Prvky.4 jsou podmnožiny Q. Jev je tedy formálně vzato množina elementárních jevů, které jsou s ním slučitelné. Například jev "padne sudé číslo" je množina {2,4, 6} Je-li Q konečná nebo spočetná (tak tomu bude u všech diskrétních modelů), je A v definici pravděpodobnostního prostoru nadbytečné, neboť automaticky A je rovno expfi, množině všech podmnožin fi. - P : A —>» (0,1} je pravděpodobnostní míra. V diskrétním případě stačí znát hodnoty této míry na elementárních jevech. Tedy P : Q —> (0,1). je pak pravděpodobnost elementárního jevu uj a pro obecný jev A £ A platí P(/\) = X>(u,). Pokud je ale Q nespočetná, pak exp Q má příliš velkou mohutnost, aby se na ní dala definovat pravděpodobnostní míra. Musíme se pak omezit na menší a-algebru. S tím se setkáme až u spojitých modelů. Diskrétní náhodné proměnné Diskrétní náhodná proměnná (náhodná veličina) je funkce X : ft —^ {xi,x2j...} C R, kde {xi,X2,...} je diskrétní podmnožina IR. Definice 1.1. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X definována jako f(x) = P{X = x). Definice 1.2. Distribuční funkce náhodné veličiny X je F(x) = P{X < x). Připomeňme si ještě definici nezávislosti dvou jevů. Definice 1.3. Jevy A, B C Q jsou nezávislé, jestliže _ PjAHB) H[A)~ P(B) ' tedy P(AnB) = P(A)P(B). Jinak řečeno nastal-li jev B, nezmění to pravděpodobnost jevu A. Definice 1.4. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže jevy {X = x} a { Y = y} jsou nezávislé pro všechna x a y. Jinými slovy, znalost hodnoty X nedává žádnou informaci o hodnotě Y. Pravděpodobnostní funkce obsahuje všechny informace o uvažované náhodné veličině. Často nám ale stačí její číselné charakteristiky. Definice 1.5. Očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí f(x) je definována jako E(X)= xf^ x: f(x)>0 Očekávání můžeme vypočítat také pomocí vztahu E(X) = £X(W)P(W). Definice 1.6. Je-li k přirozené číslo, k-tý moment m^ náhodné veličiny X je definován jako mk = E(Xk). Definice 1.7. k-tý centrální moment je definován jako ak = E((X - mi)k). Speciálně, mi = E(X) je střední hodnota a a2 = E((X - E(X))2) je rozptyl (variance). Tedy 02 = cr2, kde a = je střední směrodatná odchylka. >0 Q,o Definice 1.8. Nechť A je jev, tj. A C Q, a nechť //\ : ft —)► IR je náhodná veličina definovaná vztahem 1 pro u £ /4 0 pro u ^ A Pak //\ se nazývá indikátorová funkce jevu A Libovolnou náhodnou veličinu můžeme zapsat pomocí indikátorových funkcí jevů A\ — {X — x/}. Máme X = J>/A.. Bernoulliovská náhodná veličina. Nabývá jen hodnot 0 a 1. Závislost a nezávislost náhodných veličin Lemma 1.9. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Potom E(XY) = E(X)E(Y). Důkaz: Označme Ax = {X = x} a By — {Y = y}. Pak x,y tedy E(XY) = Y,xyE(lAxnBy) = Y,xyP(Ax n Bv) = x,y x,y Y,xyP(Ax)P(By) = ($>P(/\x))($>P(ey)) = E(X)E(Y). x,y x y Opak obecně neplatí. Definice 1.10. Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované, jestliže platí: E(XY) = E(X)E(Y). >0 Q,o Veta 1.11. Nechť X a Y jsou náhodné veličiny. Pak — Var(aX) = a2 Var(X) pro a £ IR. — Jsou-li X a Y nekorelované (speciálně nezávislé) náhodné veličiny, pak Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Definice 1.12. Kovaríance náhodných veličin X a Y je definována jako cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]. Korelační koeficient X a Y je p(X, Y) = CW(X' Y) y/Var(X)Var(Y) Platí p(X, Y) = O E(XV) = E(X)E(V) ^ coi/(X, Y) = O cov(X, V) = £(XV) - E(X)E(V) Dále je V)| < 1. Jak ověřit nezávislost dvou daných náhodných veličin? Definice k tomu většinou vhodná není. Definice 1.13. Nechť X a Y jsou diskrétní náhodné veličiny (na stejném pravděpodobnostním prostoru). Sdružená distribuční funkce X a Y je definovaná vztahem FX)y(x,y) = P(X(X = x A Y = y) = 5>,y(x,y). y y Příklad 1.16. Nechť X : fi -> {1,2,3}a Y : fi -> {-1,0,2} jsou náhodné veličiny a sdružená pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou: y = -l y = 0 y = 2 fx X = 1 i 18 3 18 2 18 6 18 x = 2 2 18 0 3 18 5 18 x = 3 0 4 18 3 18 7 18 fy 3 18 7 18 8 18 18 18 Jsou X a Y nezávislé? >0 Q,o Zřejmě ne, v tom případě by řádky tabulky musely být násobkem jeden druhého. Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných veličin. Máme XY : Q -> {—1, 0, -2, -3, 2,4, 6} Dále Celkem tedy cov(X7 Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = |-|^ 522 - 481 324 41 324