Martingaly Martingal je matematickým vyjádřením myšlenky "férové hry" Implicitně jsme se s tímto pojmem již setkali. Připomeňme, že v jednokrokovém modelu trhu se dvěma scénáři existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra P a platí SQ = e-rEP{S1) = E(e-rS1)1 Tedy cena v čase t = 0 je diskontované očekávání vzhledem k pravděpodobnosti P ceny v čase t = 1. Obecně, pro "T-krokový model máme analogicky So = EP (Sre-rT) . Navíc, pro libovolný čas t < T platí Sŕ = Ep(sTe-'-(T-ŕ)|So,Si, St), tedy Sr je podmíněné očekávání diskontované hodnoty Sj, podmíněné informacemi o tržním scénáři, které máme v čase t. Jak uvidíme, tato vlastnost znamená, že diskontovaný proces St je martingal. Připomeňme si ještě formální definici stochastického procesu. Definice 8.1. Mějme měřitelný prostor (Q, A), množinu reálných čísel K. a indexovou množinu T ^ 0 (která hraje roli času). Dále mějme zobrazení X : fix T —>> IR, takové, že pro všechna t G 7" je X(«, ŕ) náhodná veličina (kterou značíme Xt). Pak takové zobrazení nazýváme stochastický proces definovaný na množině T. Značíme {Xŕ; t G 7"}. Stochastické procesy dělíme na 4 základní typy: ► diskrétní proces s diskrétním časem (např. náhodná procházka) ► diskrétní proces se spojitým časem (např. Poissonův proces) ► spojitý proces s diskrétním časem (např. zobecněná N.P., X; ~ A/(0, 1)) ► spojitý proces se spojitým časem (např. Wienerův proces) Přirozená filtrace Definice 8.2. Ve vícekrokovém trhu se informace o tržním scénáři odhaduje krok po kroku. Pro t < T definujeme Tt — {všechny jevy určené během prvních t period} . Zřejmě Tt je a-algebra. Konečná posloupnost (^rt)oo^o Příklad 8.4. T- krokový model. Množina fij- tržních scénářů je množina posloupností délky T členy + nebo -. Celkem je takových scénářů 2T. Částečný scénář je posloupnost £ = £2, £t) délky t < T, kde £y = + nebo £y = — pro j = 1, 2, ŕ. Množinu těchto scénářů označíme íít. □ S Pro každý částečný scénář £ = (£1, Ct) definujeme jev F(£) jako množinu všech úplných scénářů, jejichž prvních t složek jsou právě £1, £t. Tedy F (£) = {cj G Q : cjy = pro všechna j — 1, 2, ŕ} . Úplné scénáře odpovídají koncovým uzlům stromu, částečné pak nekoncovým. cr-algebry Tt definujeme pak jako Tt — {konečná sjednocení jevů F (£), kde ^=(^lf Št) £ ^t} Cena akcie v čase t závisí na tržním scénáři, ale jen na jeho složkách do času ŕ, nezávisí na složkách scénáře v časech > t. Tedy proces ceny je adaptovaný přirozené filtraci, ve smyslu následující definice. Definice 8.5. Posloupnost náhodných veličin Xt je adaptovaná přirozené filtraci, jestliže pro každé t a pro každý tržní scénář uj — £1, hodnota Xt (cj) závisí jen na částečném scénáři uj\, UÚ21 ••••) oj f. Martingal Definice 8.6. Nechť T je přirozená filtrace prostoru tržních scénářů Q = {cji, tj/v} a P je pravděpodobnostní míra na Q. Adaptovaná posloupnost náhodných veličin Xt se nazývá martingal, jestliže platí E {Xt+1 \ Ft) = Xt pro všechna t £ {0, 1, T — 1}. Pokud E (Xt+1 \ Ft) > Xt mluvíme o submartingalu. Pokud E (Xt+1 \ Ft) < Xt mluvíme o supermartingalu. Tt obsahuje veškeré informace dostupné v čase t. Často je tato informace obsažena v hodnotách Xi, X2, Xt. Pak máme E (Xŕ+i I Tt) = f (^t+i I Xi, X2, Xt) Príklad 8.7. (Symetrická jednoduchá náhodná procházka). Nechť P (X; = 1) = \ = P (X; = -1) a Sn =Xi + ... + Xn. Pak S„ je martingal. Úplnost trhu Věta o úplnosti trhu Uvažujeme trh M s aktivy A1, Ak. Podle základní věty arbitrážní teorie (APT) plyne z neexistence arbitráže existence rovnovážné pravděpodobnostní míry (může jich být i více). Definice 8.8. Trh bez arbitráže se nazývá úplný, jestliže existuje právě jedna rovnovážná pravděpodobnostní míra. Trh je neúplný, pokud existuje více rovnovážných pravděpodobnostních měr. Definice 8.9. Derivát je obchodovatelné aktivum, jehož hodnota V\ v čase t — 1 je funkcí V\ (cj/) tržního scénáře. Tedy V\ je náhodná veličina na Q = {cji, uon}- Definice 8.10. Replikující portfolio pro daný derivát V, jehož hodnoty v čase t = 1 za scénáře cj; jsou rovny Vi (cj/) je portfolio 0 = (01? 0^) v aktivech /A1, Ak takové, že: k V! (o;/) = J>S{ (a;/), kde S{ (cj/) je cena j-tého aktiva Af za scénáře uo-,. Z neexistence arbitráže plyne, že k Vo = E^So> 7=1 tedy pokud existuje replikující portfolio, derivát má jednoznačně určenou cenu v čase ŕ = 0. Věta 8.11. (o úplnosti trhu): Nechť M je trh bez arbitráže s bezrizikovým aktivem. Existuje-li pro každý derivát replikující portfolio v A1, Ak, pak je trh úplný Naopak je-li M úplný a rovnovážná pravděpodobnostní míra dává kladnou pravděpodobnost každému scénáři (tj. tt (o;,-) > 0 pro Mi), pak pro každý derivát existuje replikující portfolio (a tedy derivát má jednoznačně určenou cenu). Důkaz je založen na jednoduchých myšlenkách z lineární algebry. Deriváty tvoří vektorový prostor (izomorfní M.N). Trh je úplný, právě tehdy když vektory hodnot aktiv A1, A2, v jednotlivých scénářích generují M.N. Tedy vektory S{ (cj/), j = 1, k generují M.N. Speciálně platí k> N. Důkaz: Chceme nejdříve dokázat, že pokud existuje replikujcí portfolio, pak M je úplný. Uvažujme pro pevně zvolený scénář cj/ e následující derivát D/, jehož hodnota v čase t = 1 je rovna Ví (o;/) = 0 pro / ^ / 1 pro / = / Podle předpokladu existuje replikující portfolio pro D/, označme ho 0 = Ok), v aktivech A1, Ak. Tedy Je-li 7T rovnovážná pravděpodobnostní míra, pak také n Vq = e r^^Vi (cj/) 7T/ = e r7ľ (cj/) . i=l Odtud plyne 7T (o;,) = er^0/Sj 7=1 •7 0 a tedy 7r je jednoznačně určena. Zbývá nám dokázat opačnou implikaci. Označíme ä] = (j5{ (cji) , S{ (cj2) , S{ (cj/v)) vektor v M.N pro každou hodnotu j (tedy každé aktivum Aj). Derivát je vektor v Rw, který dá se replikovat právě tehdy, když vektor jeho hodnot v jednotlivých scénářích patří do lineárního obalu vektorů äj. Nechť existuje tv (cj/) jednoznačně určená, taková, že 7r (cj/) > 0 pro všechna /. Budeme postupovat sporem: Nechť existuje derivát D, který nemá replikující portfolio. Tedy jsou-li jeho hodnoty ve scénářích uo; rovny f {uoj) a označíme-l f = (ŕ(cji), f[u)N)), pak f není lineární kombinací äj, a tedy ä} negeneruje IR^. Existuje tedy vektor v — (vi, v/v), který je kolmý na vektory ä} pro všechna j, tedy platí n i=l pro 7 = 1, k. Aktivum A1 je bezrizikové, tedy a\ (uí) pro všechna /. Speciálně tedy \7_L(1 n E" Pro dostatečně malé e > 0 označme 7Í* (cj/) = 7T (cj/) + Máme n n n (cj/) = J^tt (cj/) + ^V/ = i=l i=l i=l Navíc, je-li s dostatečně malé, pak 7r* (cj/) > 0, neboť 7t(cj/) > 0, a platí n n n n (w/) 5^ (CJ/) = ^7Í (CJ/) (cJ/)+£^V/S^ (CJ/) = ^7Í (CJ/) S{ (CJ/) . /=1 /=1 i=l i=l Tedy 7r* je další rovnovážná pravděpodobnostní míra, což je spor.