Zákony arcsinu
Kdy navštívila N.P. naposledy počátek?
Jak často se hráči střidají ve vedení?
Hra je férová (p = 1
2 ), přesto je nejvíce pravděpodobné, že jeden z
hráčů stále vedl a nejméně pravděpodobné že každý vedl v polovině
kroků
Uvedeme dva zákony arcsinu:
– pro časy pobytu napravo od počátku (tj. v kladných hodnotách)
– pro poslední navštívení počátku.
1. zákon arcsinu
Věta 6.1. (1. zákon arcsinu pro poslední návštěvu počátku)
Uvažujme symetrickou náhodnou procházku, t.j. p = 1
2, a nechť
S0 = 0. Pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku do času 2n
nastane v čase 2k, je rovna
P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: Označme α2n(2k) pravděpodobnost, že poslední návštěva
počátku do času 2n nastane v čase 2k. Máme
α2n(2k) = P (S2k = 0) P (S2k+1S2k+2...S2n = 0 | S2k = 0) .
Z časové homogenity plyne
α2n(2k) = P (S2k = 0) P (S1S2...S2n−2k = 0 | S0 = 0) .
Tvrzení tedy plyne z následujícího lemmatu.
Lemma 6.2. Pro symetrickou náhodnou procházku platí:
P(S1...S2m = 0) = P(S2m = 0),
kde P(S2m = 0) = 2m
m
1
2
2m
.
Důkaz: Využijeme důsledek věty o volbách: Je-li S0 = 0, pak pro
n ≥ 1 platí
P (S1S2...Sn = 0) =
1
n
E (| Sn |) .
Dále ze symetrie plyne
P(S1...S2m = 0) =
1
2m
E(| S2m |) = 2
1
2m
m
k=1
2kP(S2m = 2k)
= 2
m
k=1
2k
2m
P(S2m = 2k) = 2
m
k=1
2k
2m
2m
m + k
1
2
2m
=
2
1
2
2m m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
.
neboť platí
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
=
2k
2m
2m
m + k
.
Opravdu, máme
(2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k − 1)!
−
(2m − 1) ... (m − k)
(m + k)!
=
=
(m + k) (2m − 1) ... (m − k + 1) − (2m − 1) ... (m − k + 1) (m − k)
(m + k)!
=
(2m − 1) ... (m − k + 1) [(m + k) − (m − k)]
(m + k)!
=
2k
2m
2m (2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k)!
=
2k
2m
2m
m + k
.
V posledním členu výraz se sumou je tzv. teleskopický součet. Z
takového součtu nám zůstane jen první a poslední člen, ostatní se
vyruší. Odtud plyne, že
2
1
2
2m m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
=
2
1
2
2m
2m − 1
m
−
2m − 1
2m
= 2
1
2
2m
2m − 1
m
=
1
2
2m
(2m − 1) ...m2
m!
=
1
2
2m
2m (2m − 1) ... (m + 1)
m!
=
1
2
2m
2m
m
= P (S2m = 0) ,
Stirlingova formule
Platí
n! ≈
nn
en
√
2πn
v tom smyslu, že
limn→∞
n!
nn
en
√
2πn
= 1.
Ze Stirlingovy formule dostaneme odhad na hodnotu
u2k = P (S2k = 0) .
Lemma 6.3. Platí u2k
≈ 1√
πk
pro k → ∞, tedy
lim
k→∞
u2k
1√
πk
= 1.
Podle zákonu arcsinu je
α2n(2k) = u2ku2n−2k,
tedy
P (S2k = 0 ∧ S2k+1...S2n = 0) = P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Ze Stirlingova vzorce máme
α2n(2k) ≈
1
√
πk
1
π (n − k)
=
1
π k (n − k)
.
Hodnota k (n − k) je maximální pro k = n
2 , tedy α2n(2k) je
minimální pro k = n
2 .
Označme T2n čas posledního navštívení bodu 0 do času 2n. Pak
pro x ∈ (0, 1) máme
P (T2n ≤ 2xn) =
k≤xn
1
π k (n − k)
.
=
xn
0
1
π u (n − u)
du =
2
π
arcsin
√
x,
s použitím substituce u = nv a
2 arcsin
√
x = 2
1
√
1 − x
1
2
1
√
x
=
=
1
(1 − x) x
.
2. zákon arcsinu
2. zákon arcsinu se týká časů pobytu na jedné straně od počátku
(tj. doby, kdy jeden z hráčů byl ve vedení).
Věta 6.4. Nechť p = 1
2 a S0 = 0. Pravděpodobnost, že náhodná
procházka stráví přesně 2k časových intervalů napravo od počátku
je (opět) rovna
P (S2k = 0) P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: učebnice Grimmett, Stirzaker.
Exponenciální rozdělení a jeho vlastnosti
Spojitá náhodná veličina má exponenciální rozdělení, jestliže jeho
hustota je dána vztahem
f (x) = λe−λx
(1)
pro x ≥ 0 a je rovna nule jinak.
Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je tedy
F(x) = 1 − e−λx
(2)
pro x ≥ 0, a rovna nule jinak.
Moment generující funkce exponenciálního rozdělení je dána
vztahem
E[etX
] =
∞
0
etx
λe−λx
dx =
λ
λ − t
=
1
1 − θt
(3)
kde θ = 1
λ . Momenty náhodné veličiny X můžeme získat
derivováním moment generující funkce.
Tím dostaneme
E[X] =
1
λ
= θ (4)
a
Var[X] =
1
λ2
= θ2
(5)
Jednou z hlavních vlastností exponenciálního rozdělení je že nemá
pamět. Platí totiž
P{X > s + t|X > t} = P{X > s}. (6)
Je-li například X životnost daného stroje, pak pravděpodobnost že
stroj bude fungovat alespoň s + t hodin, za podmínky že již funguje
t hodin, je stejná jako počáteční pravděpodobnost že bude
fungovat alespoň s hodin. Stroj si “nepamatuje” svoji minulost.
– Opačná situace: efekt opotřebení nebo zahoření.
Vlastnost absence paměti
Exponenciální rozdělení je jediné rozdělení které nemá pamět.
Dokážeme to následovně. Nechť
˜F = P{X > x} (7)
je funkce přežití. Pak z předchozího vztahu platí
˜F(s + t) = ˜F(s) ˜F(t) (8)
Jinak řečeno, ˜F splňuje funkcionální rovnici
h(s + t) = h(s)h(t). (9)
Dokážeme teď že jediná zprava polospojitá řešení této rovnice mají
tvar exponenciály.
Ze vztahu
h(s + t) = h(s)h(t). (10)
máme
h(
2
n
) = h(
1
n
+
1
n
) = h2
(
1
n
). (11)
Opakováním stejného argumentu dostaneme
h(
m
n
) = hm
(
1
n
). (12)
Dále platí
h(1) = h(
1
n
+ · · · +
1
n
) = hn
(
1
n
). (13)
Tedy
h(
m
n
) = h(1)
m
n . (14)
a tedy
h(x) = h(1)x
, (15)
protože h je pospojitá zprava.
Platí
h(1) = h2
(
1
2
) ≥ 0, (16)
a tedy
h(x) = e−λx
, (17)
kde λ = − ln h(1).
Musí tedy platit
˜F = eλx
, (18)
protože distribuční funkce je zprava polospojitá, což je funkce
přežití exponenciálního rozdělení.
Míra rizika
– V životním pojištění se používá termín intenzita úmrtnosti
Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X a distribuční funkcí F a
hustotou f .
Definice: Funkce míry rizika je definována jako
λ(t) =
f (t)
˜F(t)
(19)
Představme si, že skoumáme životnost nějakého stroje (součástky),
a předpokládejme, že stroj již funguje t hodin.
Chceme spočítat pravděpodobnost, že nevydrží další časový úsek
dt, tedy
P{X ∈ (t, t + dt)|X > t}, (20)
kde n.v. X modeluje čas poruchy stroje. Máme
P{X ∈ (t, t + dt)|X > t} =
P(X ∈ (t, t + dt) ∧ X > t)
P(X > t)
(21)
což je rovno
X ∈ (t, t + dt)
P(X > t)
f (t)dt
˜F(t)
(22)
= λ(t)dt. (23)
Tedy λ(t) reprezentuje intenzitu pravděpodobnosti, že t-letý stroj
přestane fungovat v čase t.
Je-li rozdělení exponenciální, pak z vlastnosti absence paměti je
podmíněné rozdělení stejné jako počáteční, tedy λ je konstantní,
λ(t) =
λe−λt
e−λt
= λ. (24)
Tedy míra rizika pro exponenciální rozdělení je konstantní.
Ukážeme ješte že míra rizika naopak jednoznačně určuje
pravděpodobnostní rozdělení. Opravdu, máme
λ(t) =
− d
dt
˜F(t)
˜F(t)
= λ (25)
Integrováním dostaneme
ln ˜F(t) = −
t
0
λ(s)ds + k (26)
tedy
˜F(t) = ce
t
0 λ(s)ds
(27)
kde pro t = 0 dosteneme c = 1. Celkem
˜F(t) = e
t
0 λ(s)ds
(28)
Odtud plyne že exponenciální rozdělení je jediné rozdělení s
konstantní funkcí rizika.
Zobecnění
– Sčítáním IID náhodných veličin s exponenciálním rozdělením
dostaneme Gamma rozdělení
Jsou-li X1, ..., Xn nezávislé a všechny mají Exp(λ). Pak jejich součet
má rozdělení Gamma(n, λ).
Hustota Gamma rozdělení je
f (x) =
λne−λx xn−1
Γ(n)
(29)
kde Γ(n) je Gamma funkce,
Γ(n) =
∞
0
xn−1
e−x
dx. (30)
Pro celočíselné hodnoty platí
Γ(n) = (n − 1)! (31)