3. cvičení (29. 9. 2021)
Komplexní rozšíření afinního prostoru
Pojmy:
• komplexně sdružený vektor k vektoru w;
• komplexně sdružený vektorový podprostor k podprostoru W;
• komplexní rozšíření afinního podprostoru;
• reálný podprostor v AC
n;
• komplexně sdružený bod k bodu A ∈ AC
n;
• komplexně sdružený afinní podprostor k podprostoru U ⊆ AC
n;
• maximální reálný podprostor obsažený v afinním podprostoru U ⊆ AC
n.
Úlohy:
1. V AC
3 jsou dány v reálné bázi bod B = [1; −2; 3] a vektory u = (2; 1; −1) a v = (3; 0; 1). Určete souřadnice
bodu C = B + iu, bodu C, vektoru w = u + iv a vektoru w.
2. V AC
2 jsou dány v reálné bázi bod K = [2 + i; 3 − 2i] a vektor u = (−1 + 3i, 3 + 2i). Určete parametrické
i obecné rovnice přímky p = (K, u).
3. Nalezněte reálné body přímek v AC
3 :
(a) p : ix + (3 + 2i)y − 1 = 0;
(b) q = AB, kde A = [1 + i; 2i], B = [i; 1 + 2i];
(c) r : x = (1 + i) + it
y = (1 − i) + 2t, t ∈ C.
4. Určete rovnice reálných přímek, které prochází bodem:
(a) K = [3 − 2i; 1 + i];
(b) A = [2 + i; −1 + 2i; 1 − i].
5. Určete rovnice reálné přímky, která leží v rovině α : (3 − 2i)x + (1 + i)y − iz + 3 = 0.
6. Určete maximální reálný podprostor obsažený v podprostoru AC
3 .
(a) B : (3 − 2i)x + (1 + i)y − iz = 0;
(b) C : (1 + i)x + (2 − i)y = 1
x + y + iz = 0.
Řešení
Komplexní rozšíření afinního prostoru
1. C = [1 + 2i; −2 + i; 3 − i],
C = [1 − 2i; −2 − i; 3 + i],
w = [2 + 3i; 1; −1 + i],
w = [2 − 3i; 1; −1 − i].
2. parametrické rovnice: x = (2 + i) + t(−1 + 3i); y = (3 − 2i) + t(3 + 2i), t ∈ C
obecná rovnice: (3 + 2i)x + (1 − 3i)y − 1 + 4i = 0
3. (a) −2
3; 1
3
(b) neexistují
(c) 1
2; −1
4. (a) p : x + 2y − 5 = 0
(b) p : x = 2 + t
y = −1 + 2t
z = 1 − t, t ∈ C
5. p : x = t
y = −3 − 3t
z = −3 − 5t, t ∈ C
6. (a) p : x = t
y = −3t
z = −5t, t ∈ C
(b) ∅