6. cvičení (24. 10. 2022)
Kuželosečky v projektivní rovině
Pojmy:
• kuželosečka;
• regulární a singulární kuželosečky.
Úlohy:
1. Určete společné body kuželosečky k a přímky p. Je kuželosečka k regulární?
(a) k1 : x2
1 + x2
2 − 4x2
3 − 2x1x2 + 3x1x3 + 3x2x3 = 0
p1 : x1 + 2x2 − x3 = 0
(b) k2 : x2
1 − 3x2
2 − 3x2
3 + 2x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3 = 0
p2 : x1 − x2 + x3 = 0
2. Určete vzájemnou polohu přímky AB a kuželosečky k.
k : x2
1 − 2x2
2 + x1x2 + 3x1x3 + 6x2x3 = 0
A = (2, −1, 3)
B = (0, 0, 1)
3. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A = (0, 0, 1), B = (0, 3, 1), C = (6, 0, 1), D = (2, 2, 1)
a E = (−2, 1, 1).
4. Dokažte, že tři různé body reálné projektivní roviny A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) a C = (c1, c2, c3)
jsou kolineární právě tehdy, když platí
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
= 0.
5. Buď A, B, C, D čtyři libovolné po dvou různé body reálné projektivní roviny, z nichž žádné tři nejsou
kolineární. Dokažte, že existuje aritmetická báze aritmetického nosiče projektivní roviny, ve které platí
A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (1; 1; 1).
6. Dokažte, že v reálné projektivní rovině platí tzv. Pappův axiom:
Buď p, q dvě libovolné různé přímky projektivní roviny. Zvolme na přímce p tři libovolné, navzájem různé
body X, Y, Z, které neleží na přímce q, a na přímce q tři libovolné, navzájem různé body X′, Y ′, Z′, které
neleží na přímce p. Pak jsou body U ∈ XY ′ ∩ X′Y , V ∈ Y Z′ ∩ Y ′Z a W ∈ XZ′ ∩ X′Z kolineární.
X
X′
Y
Y ′
Z
Z′
U
V
W
p
q
Řešení
Kuželosečky v projektivní rovině
1. (a) A = (1; 0; 1), B = (1; −1; −1), je regulární
(b) p2 ⊆ k2, je singulární
2. AB ⊆ k
3. k : x2
1 + 4x2
2 + 4x1x2 − 6x1x3 − 12x2x3 = 0