7. cvičení (31. 10. 2022)
Kuželosečky v projektivní rovině
Pojmy:
• polární sdruženost bodů vzhledem ke kuželosečce;
• singulární bod kuželosečky, regulární bod kuželosečky;
• polára bodu, pól přímky;
• tečna v regulárním bodu kuželosečky.
Úlohy:
1. Určete poláru bodu A = (−3, −1, 1) vzhledem ke kuželosečce k: 3x2
1+2x2
2+2x2
3+6x1x2+2x1x3+2x2x3 = 0.
2. Určete pól přímky p : 2x1 + 3x2 + x3 = 0 vzhledem ke kuželosečce k: 3x2
1 + 2x2
2 + 2x2
3 + 6x1x2 + 2x1x3 +
+ 2x2x3 = 0.
3. Určete tečny ke kuželosečce k: 3x2
1 + 5x2
2 + x2
3 + 7x1x2 + 4x1x3 + 5x2x3 = 0, které prochází bodem
M = (0, 0, 1). Určete také body dotyku.
4. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnice a projektivní typ
kuželoseček. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru.
(a) k1 : 4x2
1 + x2
2 + x2
3 − 4x1x2 + 4x1x3 − 2x2x3 = 0
(b) k2 : 3x2
1 + 3x2
2 + x2
3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 4x2x3 = 0
(c) k3 : x2
1 + 2x2
2 + 4x2
3 + 2x1x2 + 4x2x3 = 0
(d) k4 : 5x2
1 + 2x2
2 + 6x2
3 + 2x1x2 − 6x1x3 + 2x2x3 = 0
(e) k5 : 3x2
3 − 4x1x2 − 6x1x3 + 2x2x3 = 0
Řešení
Kuželosečky v projektivní rovině
1. pA : 11x1 + 10x2 + 2x3 = 0
2. P = (8, −5, 1)
3. t1 : 2x1 + 5x2 = 0, T1 = (5, −2, −5)
t2 : 2x1 + x2 = 0, T2 = (1, −2, 3)
4. (a) k1 : y2
1 = 0, dvojnásobná přímka
(b) k2 : y2
1 + y2
2 − y2
3 = 0, reálná regulární kuželosečka
(c) k3 : y2
1 + y2
2 = 0, dvojice komplexně sdružených přímek
(d) k4 : y2
1 + y2
2 + y2
3 = 0, imaginární regulární kuželosečka
(e) k5 : y2
1 − y2
2 = 0, dvojice reálných přímek