ZÁKLADY PLANIMETRIE
Důkazové příklady řešte užitím vět o shodných trojúhelnících.
(1) Rovnoběžníkem nazýváme čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou
rovnoběžné. Dokažte, že v rovnoběžníku a) každé dvě protější strany jsou
shodné, b) obě úhlopříčky se navzájem půlí. Poté dokažte, že naopak každá
z vlastností (a) či (b) zaručuje, že dotyčný konvexní čtyřúhelník je rovnoběžník.
Nakonec dokažte, že rovnoběžníkem je každý konvexní čtyřúhelník,
jehož některé dvě protější strany jsou shodné a rovnoběžné.
(2) Osou úhlu AV B rozumíme tu polopřímku s počátečním bodem V , která
daný úhel půlí, tj. rozděluje na dva shodné úhly. Dokažte, že osa úhlu o velikosti
mezi 0◦
a 180◦
je množina těch jeho vnitřních bodů, které mají od
obou ramen úhlu stejné vzdálenosti.
(3) Dokažte, že množina všech bodů roviny s danou přímkou p, které od této
přímky mají danou vzdálenost d, je sjednocením dvou rovnoběžek s přímkou
p, které od ní mají vzdálenost d. [Návod: V každé z obou polorovin
vyťatých přímkou p užijte jeden z výsledků příkladu 1.]
(4) Dokažte, že v trojúhelníku leží proti shodným stranám shodné vnitřní úhly
a proti větší straně leží větší vnitřní úhel (a naopak). [Návod: Má-li △ABC
shodné strany AC a BC, využijte shodnost △ABC ∼= △BAC podle věty
sss. Je-li |AC| > |BC|, uvažte takový bod D strany AC, že |DC| = |BC|, a
již dokázané pro △DBC spojte s úvahou o vnějším úhlu BDC v △ABD.]
(5) Připomeňme, že střední příčkou trojúhelníku rozumíme úsečku, která spojuje
středy dvou jeho stran. Dokažte, že tato úsečka je rovnoběžná se třetí
stranou a má ve srovnání s ní poloviční délku. [Návod: Středem třetí strany
veďte rovnoběžky s prvními dvěma stranami a pak podle souhlasných nebo
střídavých úhlů hledejte shodné trojúhelníky.]
Konec dokumentu
Typeset by AMS-TEX
1