Dynamická teorie kontrastu
• Vlnově-optický přístup, Blochovy vlny.
• Vliv anomální absorpce.
• Vlnově-mechanický přístup, dispersní povrchy.
• Aplikace na krystalech s poruchami mřížky.
• Maticová formulace teorie difrakce.
2
g 2
sin ( )
I
( )



g
g g
ts
s
Z kinematické teorie:
Pro s=0 vychází
2
g gI , pak ale pro je I 1 (!)
g
g
t
t

 
 
=    
 
Dynamická teorie opouští předpoklad a připouští i
vícenásobnou difrakci, tj. difrakci difraktovaných svazků a
její příspěvek ke svazku primárnímu.
Problém se dá popsat a řešit vlnově-optickým nebo vlnověmechanickým
přístupem.
o gI I
Vlnově-optický přístup
dvoupaprskový případ:
0
2 2
0
0
0
0
0
( ) ( )exp(2 )
( )exp(2 )
2
,
( )
( ) ( )exp(2 ( ) )
( )
( ) ( )exp(2 ( ) )
g
g
g
g
g
g
r z i r
z i r
h
eE
m
g s
d z i i
z z i r
dz
d z i i
z z i r
dz
  
 

   
 
  
 
 
  
 
= 
+ 
=
 = + + =

=  +  −

=  +  −
0
0
0
0
0
exp(2 )
exp( 2 )
g
g
g
g
g
d i i
isz
dz
d i i
isz
dz
 

 
 

 

=  + 

=  +  −
a v případě porušeného krystalu obecněji
0
0
0
0
0
exp(2 ( )
exp( 2 ( ))
g
g
g
g
g
d i i
i sz g R
dz
d i i
i sz g R
dz
 

 
 

 

=  +  +

=  +  − +
I v tomto případě stále , tj. vzájemně
doplňkové obrazy ve světlém a tmavém poli (bez absorpce).
( )* *
0 0 0g g
d
dz
  +   =
Řešení soustavy diferenciálních rovnic:
( ) ( )
2 2
0 0
02 2
2 21
4
(1) 2 2 (2) 2 2
(1) (1) (2) (2)
0 0 0 0
(1)
2 0
má řešení ve formě exp(2 ), kde 0.
Odtud 1/ / 2, 1/ / 2,
Dvě řešení: exp(2 ), exp(2 )
a podobně e
g
g
g g
g g
d d
is
dz dz
i z s
s s s s
C i z C i z
C



    
   
   
−
 
− +  =
− − =
= − + = + +
 =  =
 = (1) (2) (2)
(1) (1) (1) 2
0
(2) (2) (2) 2
0
xp(2 ), exp(2 ),
kde 2 1
a 2 1 .
Bezrozměrný parametr označuje odchylku od reflexní polohy.g
g g
g g
g g
i z C i z
C C w w
C C w w
w s


  
 
 
 =
= = − +
= = +
=
+
Máme tedy dvě nezávislá řešení pro vlnovou funkci:
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
0
(2) (2) (2) (2) (2) (2)
0
(1) (2)
( ) exp(2 ) exp(2 ( ) ) ( , )
( ) exp(2 ) exp(2 ( ) ) ( , ),
zde opět složky x,y vektorů , , , jsou stejné, za
g
g
r C ik r C i k g r b k r
r C ik r C i k g r b k r
k k K
  
  

= + + 
= + + 
(1) (1) (2) (2) -4
tímco
, (malé změny řádu 10 )z z z zk K k K − = − =
Normalizujeme konstanty C:
2 2 2 2(1) (1) (2) (2)
0 0
(1) (2) (1) (2)
0 0
Chceme, aby 1.
Položíme-li , je
cos( 2), sin( 2).
cotg
g g
g g
w
C C C C
C C C C 
=
+ = + =
= = − = =
Výsledný vztah pro vlnovou funkci elektronu v krystalu:
Nahradili jsme tedy původní popis pomocí dvou rovinných vln
s proměnnou amplitudou lineární kombinací dvou Blochových vln
s konstantní amplitudou. Konstanty (1), (2) určíme z okrajové
podmínky 0(0)=1, g(0)=0. Pak (1)=cos(/2), (2)=sin(/2).
Relativní excitace Blochových vln tedy závisí na orientaci:
• uvnitř Ewaldovy koule s>0, w>0, </2, převládá (1)
• vně Ewaldovy koule s<0, w<0, >/2, převládá (2)
• v Braggově poloze w=0, =/2, obě vlny rovnoměrně excitovány
 
 
(1) (1) (1)
(2) (2) (2)
( ) cos( 2)exp(2 ) sin( 2)exp(2 ( ) )
sin( 2)exp(2 ) cos( 2)exp(2 ( ) ) ,
r ik r i k g r
ik r i k g r
     
    
= − +
+ + +
Pro danou hloubku v krystalu z:
0
2
2
2
22 2 2
0 2
( ) cos( ) cos sin( )
( ) sin sin( ),
kde 1 .
Intenzity na spodní straně fólie tloušťky t:
sin ( )
1 ( ) ( ) , 1 .
( )
Pro 1 ... redukce na vzt
  
 



 

 =  − 
 = 
 = +
 
−  =  = = +  
 
g
g
eff
g eff g
g eff
g
z kz i kz
z i kz
k w
ts
t t s s
s
s
22
0
ah z kinematické aproximace.
Na rozdíl od kinematické aproximace i pro menší je vždy
( ) ( ) 1. +  =g
s
t t
Jev anomální absorpce: jedna z
Blochových vln je silněji
rozptylována () a nepřispívá do
obrazu. Efekt se projeví u větších
tlouštěk. Fenomenologicky je jev
popsán zavedením komplexních
hodnot :
0 0 0
1 1 1 1
, .
g g g
i i
     
→ + → +
 
( ) ( ) ( ) ( )  ( )
( ) ( ) ( ) ( )  ( )
2 2
0 0
0
2 2
( ) cos 2 exp sin 2 exp exp
( ) cos 2 sin 2 exp exp exp ,
kde X 1 1 .
g
g g
z iXz iXz z
z iXz iXz z
w i w
   
   
   
 = − + −
 = − − − −
= + + +
(1) (1) (1) (2) (2) (2)
(1) (2)
( ) ( , ) ( , )
cos( 2), sin( 2)
r b k r b k r  
   
= +
= =
Vliv započtení anomální absorpce na profily kontur
tloušťkových: ohybových:
Vlnově-mechanická formulace:
už víme, že rovnice
má ve vakuu (V(r)=0) řešení
Uvnitř krystalu () vyjádříme V(r) rozvojem
Hledáme řešení původní rovnice ve tvaru Blochovy vlny, tj.
2
2
2
0
( ) 0
8
h
E V
m e
 

 + + =
2 2
( ) exp(2 ), kde 2r i r h m eE   = =
( ) ( )
2
( ) exp 2 exp 2
2
g g
g g
h
V r U ig r V ig r
me
 = = 
( )( ) ( , ) ( )exp 2 ( )g
g
r b k r C k i k g r = = +
Musí být splněny určité vztahy mezi koeficienty U a C.
V dvousvazkové aproximaci dostaneme soustavu
Řešení existuje, je-li Det=0, odtud
(to je tzv. dispersní rovnice udávající vztah mezi energií
elektronu eE a jeho vlnovým vektorem k v krystalu)
2 2
0
2 2
0
2 2
0 02
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ( ) ) ( ) 0,
2
kde
g g
g g
K k C k U C k
U C k K k g C k
meE
K U U
h

−− + =
+ − + =
= + = +
( )
2
2 2
( )
4 4
gg g
UU U
k K k g K
K K
−
− + − = =
Dispersní povrch znázorňuje řešení dispersní rovnice:
Dá se ukázat ekvivalence řešení nalezeného vlnově-optickým a
vlnově-mechanickým přístupem (tj. souvislost koeficientů U a
parametrů .
Popis anomální absorpce ve vlnově-optickém přístupu (komplexní
) odpovídá zde zavedení komplexního V(r) a tedy
komplexních koeficientů U.
Aplikace dynamické teorie na porušené krystaly spočívá opět v
zavedení lokalizovaných fázových posuvů způsobených poruchami.
Zde ukážeme jen vybrané výsledky.
Kontrast na vrstevných chybách (výpočty bez absorpce):
Vrstevná chyba se započtením vlivu absorpce:
Obecně: porovnání vypočtených a pozorovaných intenzit umožňuje
určit podrobněji povahu poruchy.
Podobné výpočty jsou publikovány pro šroubové, hranové i smíšené dislokace, dislokační
smyčky, dutiny, precipitáty aj.
Mnohosvazkový případ – maticová formulace:
vezměme řadu reflexí ng, n=-2,-1,0,1,2,3 („systematické reflexe“),
pak řešíme soustavu
kde
Soustava má obecně 6 řešení = 6 Blochových vln, v grafické
reprezentaci existuje 6 dispersních povrchů:
1 1 1 2 2 3 0
1 1 2 1 3 2 1
1 2 3 3 1 4 1
2 1 3 3 4 1 2
2 3 1 4 5 5 2
3 2 4 1 5 5 3
2 2 2 2
0,
/ 4.n z
W U U U U U C
U W U U U U C
U U W U U U C
U U U W U U C
U U U U W U C
U U U U U W C
W K k n g
− − −
− −
− − − − −
−
− − − − − −
   
   
   
   
=   
   
   
   
      
= − −