Teoretická mechanika Úlohy ke zkoušce
Harmonický oscilátor Odvoďte pohybové rovnice harmonického oscilátoru přímou variací akce, tj.
bez použití Euler-Lagrangeových rovnic.
Zahradní houpačka Na obrázku vidíme zahradní houpačku. Vypočtěte pohybové rovnice hmotných
bodů na koncích a určete podmínku rovnováhy.
m1
m2
l1
l2
Hamiltonián neznámého systému Mějmež Lagrangián
L =
1
2
mq2
+
1
2
kq2
.
Spočtěte Hamiltonián, vypočtete hamiltonovy rovnice. Tyto rovnice vyřešte. Pro jistotu, užijte
dva možné způsoby. Nakreslete fázový portrét. O jaký se jedná systém?
Pohyb po šroubovici Částice o hmotě m se v gravitačním poli pohybuje podél šroubovice z = kθ s
konstantním poloměrem r = konst., kde k je konstanta a z vertikální souřadnice. Z lagrangiánu
nalezněte hamiltonián, sestavte hamiltonovy rovnice, a tyto rovice vyřešte. Ukažte, že pro r →
0, z = −g.
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným
vrcholovým úhlem α o hmotnosti M, která se také může bez tření pohybovat po
vodorovné podložce. Nalezněte všechny pohybové rovnice a zachovávající se veličiny.
M
m
α
g
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnici(-e) pro sférické kyvadlo, tj. pro hmotný bod
m na niti konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat
horizontální elipsu. Dále určete, které fyzikální veličiny se zachovávají, vypočtěte je, a přímým
výpočtem dokažte, že tomu tak skutečně je. Lze tento problém převést na 1-D integraci? Jak by
vypadal efektivní potenciál pro kyvadlo v posluchárně F2 a rozumné cvrnknutí?
m
l
φ
θ
1