Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory □ [31 Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Obsah tématu 1. Uvod - tenzory ve fyzice. 2. Duální vektorový prostor a duální báze. 3. Duální součin. 4. Tenzory jako multilineární zobrazení. 5. Tenzorové prostory, transformační vztahy. 6. Tenzorový součin. 7. Symetrické a antisymetrické tenzory. 8. Vnější součin, objemový element. 9. Úlohy k procvičení - úkoly v textu. Literatura: Matematika pro porozumění i praxi III/l, VUTIUM, Brno 2017 (kap. 12, str. 163-229). Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Uvod - tenzory ve fyzice Ve fyzice existuje řada veličin, které nejsou ani skalární, ani vektorové, jsou tenzorové. Jejich chování se z matematického hlediska řídí zákonitostmi lineární algebry. Vyjadřují například lineární závislost mezi vektorovými veličinami, ale v obecnější podobě, než ve tvaru 6(ŕ, r) = /"(ŕ, ř)A(t, r), kdy je vektorová veličina B (závislá například na čase a na poloze v prostoru) funkčním násobkem veličiny Ä Lineární vztah mezi vektorovými veličinami může panovat i v případě, že nebudou rovnoběžné. Konkrétně jde o situace, kdy je každá složka veličiny B lineární kombinací všech složek veličiny A, tj. Bi = fnAľ + f12A2 + f13A3, B2 = h\Ax + f22A2 + f23A3, B3 — h\A\ + f32A2 + f33A3. Veličina f má obecně devět nezávislých složek a není tedy skalárem ani vektorem. Má dva indexy, je to tenzor druhého řádu. •<[5i^ -<^^ < ± > 1 -O^O Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Uvedeme několik typických příkladů tenzorových veličin: ► Moment setrvačnosti J = (J//), 1 < /, j < 3, realizuje vztah úměrnosti mezi složkami momentu hybnosti a úhlové rychlosti tělesa. ► (Symetrický) tenzor deformace tělesa se spojitě rozloženou hmotností e ~ (£//), £ij = 1 < /, j < 3, popisuje elementární deformace tělesa v daném bodě (deformace v tahu, resp. tlaku a deformace ve smyku). Obr. 9.1: Tenzor deformace ► (Symetrický) tenzor napětí v tělese se spojitě rozloženou hmotností r ~ (t//), tíj = t/;, 1 < /, j < 3, umožňuje vyjádřit sílu působící v daném místě na obecnou elementární ploch v tělese pomocí sil působících na souřadnicové plochy. Obr. 9.2: Tenzor napětí Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory ► Tenzory elastických modulů a elastických konstant (čtvrtého řádu), realizující vztah úměrnosti mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace, ► Tenzor piezoelektrických koeficientů (třetího řádu), realizující vztah úměrnosti mezi tenzorem napětí piezoelektrického krystalu a intenzity vzniklého elekrického pole 3 3 Ei = 22z2 dukTJk' d'Jk = dikj. 7 = 1 k=l ► Metrický tenzor g ~ (gy) = (Sy)t 1 < /, j < 3, gy = gyn euklidovská metrika, vyjadřující čtverec vzdálenosti dvou bodů x ~ (xl5 X2, X3) a y ~ (yi, y2, y3). 3 3 k=l 1=1 3 3 /c=l /=1 3 3 □ Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Metrický tenzor g ~ {gap), 0 < a, f3 < 3, gap = gpa, Lorentzova metrika,vyjadřující čtverec časoprostorového intervalu dvou bodů x ~ (x0, xi, x2, x3)ay - (y0, yi, y2, ys), goo = -1, gii = g22 = g33 = 1, gap = 0 pro a /3, v teorii relativity. Tenzor elektromagnetického pole v klasické elektrodynamice. Tenzor energie-hybnosti v teorii relativity. Lineární vztah mezi intenzitou Ě elektrického pole a jeho indukcí D, popřípadě polarizací P, zprostředkovávají ve fyzikálních situacích, které linearitě odpovídají, tenzor dielektrické permitivity e ~ (£//), resp. tenzor polarizovatelnosti a ~ («//), Jedním z důsledků toho, že veličiny e a a jsou tenzorové, je dvojlom krystalů. (Vztah mezi E a D, nebo E b P ovšem nemusí být vždy lineární - např. u feroelektrik, vykazjujících hysterezi. Samotný lineární vztah může být i komplikovanější - třeba v případě optických frekvencí elmag pole (světlo) má integrální tvar.) 3 3 ► Obdobou vztahu mezi elektrickou intenzitou a indukcí, resp. elektrickou intenzitou a polarizací jsou vztahy mezi magnetickou indukcí B a intenzitou H, resp. magnetickou intenzitou H a magnetizací M, zprostředkované tenzorem magnetické permeability /x, resp. tenzorem magnetické susceptibility x- 3 3 Bi = VijHji Mi = Yl XiJHJ^ Vij = Vjh Xij = Xji- 7=1 7=1 V uváděných příkladech z mechaniky šlo přitom o tzv. kartézské tenzory, tj. veličiny, jejichž složky mají tenzorový charakter (transformují se podle pravidel pro obecné tenzory) pouze při přechodech mezi kartézskými souřadnicemi. V ostatních případech šlo o „opravdické" tenzory. r UKOL: Viděli jsme, že některé tenzory mají určité symetrie. Zkuste třeba přijít na to, jaké symetrie pro tenzory elastických modulů a elastických konstant vyplývají ze symetrie tenzoru napětí a tenzoru deformace. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Duální vektorový prostor a duální báze V úvodu jsme charakterizovali složky tenzorových veličin jako určité faktory (ne vždy konstanty) úměrnosti mezi složkami veličin vektorových. Tenzory jako takové jsou, podobně jako vektory, tzv. geometrické, tedy invariatní objekty (vzhledem k volbě bází, resp. soustav souřadnic). Matematicky se jedná o multilineární zobrazení, jejichž definičními obory jsou vektorové prostory, resp. jejich kartézské součiny. Jde tedy v podstatě o pojmy, které znáte jako funkce více proměnných, jenže těmi proměnnými jsou vektory a ty funkce jsou lineární. Základní strukturu pro vybudování tenzorových prostorů představuje A7-rozměrný vektorový prostor Vn nad polem IR. a jeho duální prostor. EINSTEINOVA SYMBOLIKA: Pro sčítání budeme používat tzv. Einsteinovu sčítací symboliku, spočívající ve vynechání sumačních znaků ve výrazech obsahujících sčítací index ve dvojici - horní a dolní: n n n i=l k=lj=l Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Uvažujme o množině V* všech lineárních zobrazení oj : Vn 3 a —> uj{a) E M, linearita: uj{aa + f3b) = auj(a) + f3uj{b). PŘIKLAD: Zvolme v prostoru Vn bázi (ei, ..., en) a prvek uj E V*. Pro vektor a E Vn (vzor) a = a'e; = a1ei + • • • anen platí (plyne z linearity zobrazení uS) oj(a) = cj(a'e/) = a1 cj(e/). Výsledek je v souladu s větou o tom, že každé lineárni zobrazení je jednoznačně určeno obrazy báze. V našem příkladu jsou obrazy báze čísla uji = cj(ei), ..., ujn = oj(en), která, jak později uvidíme, budou představovat složky objektu uj E V*. Například pro n = 3 (ať je to jednoduché), předepišme cj(ei) = 2, oj(e2) = —3, cj(ei) = —1, je tím zobrazení uj jednoznačně určeno a obraz vektoru a bude mít tvar "1 O O i o o cj(a) = 2a — 3a — a , kde a ^ (a , a , ar) v bázi (ei, e2, es). Prvkům množiny V* také říkáme lineární formy. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Na nosné množině V* zavedeme operace sčítání zobrazení a násobení zobrazení skalárem. Zvolme cj, rj G V* a skalár 7 G M libovolně. Pomocí nich definujeme dvě nová zobrazení X : Vn 3 a —> x(a) = + r/(a) G M, 0 : l/„3a —► 0(a) = 7cj(a) G M. ÚKOL: Dokažte, že nová zobrazení x a 0 Jsou lineární, tj. x? 0 £ ■ Návod:Je třeba dokázat, že platí x(M + = aXÍ3) + /?x(k) Pro libovolné vektory a, 6 G Vn a libovolné skaláry a, (3 G M, a podobně pro 0. Rozepište například x(aa + fíb) podle definice a pak využijte linearity zobrazenia; a 77 a pravidla pro počítání s reálnými čisly. Půjde to samo. Značíme x = ^ + V (součet lineárních forem) a 0 = 70; (7-násobek lineární formy oj). Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory VĚTA: Duální prostor a duální báze. Množina V* všech lineárních zobrazení s výše zavedenými operacemi sčítání a násobení skalárem je vektorovým prostorem nad R dimenze n. r UKOL: Pro prvky z V* a zavedené operace sčítání lineárních forem a násobení lineárních forem skalárem ukažte, že (resp. zdůvodněte proč) jsou splněny axiomy vektorového prostoru. Abychom zjistili, jaká je dimenze vektorového prostoru V*, najdeme v něm jakoukoli bázi. Východiskem pro její konstrukci bude báze (ei, ..., en) zvolená libovolně, ale pevně v prostoru Vn. Definujme nyní soubor lineárních forem (e1, ..., en), e1 G V*, takto: e/(eř) = íj, 1 < #, 7 < n, tj. e1(ei) = l5 e1(e2) = 0, e\en) = 0, e2(ei) = 0, e2(e2) = l, e2(en) = 0, en(ei) = 0, e"(e2) = 0, en(en) = 1. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Dokážeme, že soubor (e , ..., e") je bází v prostoru V*. Položme 7ie1 + ---+7nel, = 0v;J 7i e R, 1 < i < n. Vyčíslíme-li levou i pravou stranu této rovnice na /-tém vektoru e,- báze zvolené v prostoru Vn, dostaneme 7ie1(e/) H-----h 7/e'(e/) H-----1- 7nen(e/) = 0. Využijeme definice lineárních forem e1, ..., e", podle které je pouze e'(e/) = 1^0, ostatní hodnoty e'(ej) pro j ^ / jsou nulové. Dostaneme tak 7/ = 0 pro 1 < / < n. Nebo jinak: 7/e'" = 0v* 7/e/(e/) = 0 7,-íj = 7/ = 0. Dokázali jsme lineární nezávislost prvků e1, ..., e". Zvolme nyní libovolně oj E V* a zjišťujme, zda existují čísla oj\ taková, že platí = uú;e'. Tuto rovnici opět vyčíslíme na libovolném vektoru báze e,-a dostaneme u;(e/) = uj,e'{ej) = cj/áj = cj/. Čísla uj\ = cj(ei), ..., ojn = oj(en) jsme našli. Soubor (e1, ..., en) je tedy bází v prostoru V*. Hovoříme o duálním prostoru a duální bázi indukované bází (ei, ..., en). Všimněme si, že pro vektor a = oJej platí e'(a) = e^oJej) = cf e\e}) = oJSj = ď. Lineární forma e' přiřazuje vektoru a E Vn jeho /-tou složku v bázi (ei, ..., en). Naopak, pro libovolnou lineární formu oj G V* je číslo uj; = oj(ej) její /-tou složkou v indukované duální bázi (e , ..., en). A dohromady, zapíšeme-li složky vektoru a do řádkové matice (a) a složky lineární formy oj do sloupcové matice (oj), dostaneme oj(a) = oj i a1 = aľ0Ji + • • • + anojn = (a)(oj). Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Všimneme si nyní transformačních vztahů pro složky vektorů a lineárních forem (které nazýváme také kovektory), při přechodech mezi bázemi. DUALITA: Transformační vztahy pro složky vektorů jsme už probírali, takže je jen připomeňme: Označme T matici přechodu od báze (ei, ..., en) v prostoru Vn k bázi (ěi, ..., ěn), a S = T-1 matici inverzní. Vektor a £ Vn má v těchto bázích vyjádření ve složkách a = a'e-, = ä'e;, (a1... an) = (a), (ä1... än) = (ä), (a) = (ä)T, (ä) = (a) T-1 a vypsáno explicitně (sčítací indexy červeně): ( a1 • • • " ) = ( ä1 ... ä" ) • * * « V ^ Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Teď se podívejme, jak to musí dopadnout s transformačními vztahy složek lineárních forem. Už jsme si odvodili, že platí u(a) = (a)(oj). Ale protože u i a jsou invariantní objekty, musí formálně stejný vztah platit, i když výchozí bází v prostoru Vn bude (ěi, ..., ěn) a odpovídající duální bází v prostoru Vn* pak (ě1, ..., ě"), kde ě'(ěj) = 5j, tj. (dosaďme a počítejme dál): uj{a) = (®){uj) = {ä)(uú) = (a) 7 Matice (čj) a (oj) jsou sloupcové, proto pro ně musí platit vztah typu (čj) = P(cj), kde P je nějaká regulární matice. Jak ale souvisíš maticí TI Dosaďme to do předchozího vztahu a vidíme: uj{a) = (a)(uj) = (^T-ipícj) => (a)(u)(E-T~ľP) = 0 => P=T. Shrneme-li transformační vztahy pro vektory i pro lineární formy, vidíme, že se transformují tak trochu „naruby". A to je ta dualita - pěkné, že? (a) = (ä)T, (ä) = (a)T-\ (oj) = T~1(ui), (uj) = 7». Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory V souvislosti s pojmem duálního prostoru vzniká otázka: Prostor V* je také vektorový prostor dimenze n, tak co kdybychom k němu opět zkonstruovali prostor duální? Konstrukce by pak byla tato: vn —> v: —> v**. Samozřejmě nedostaneme prostor původní - myšleno z hlediska konkrétních objektů, které jsou prvky jednotlivých prostorů. Například: je-li V$ vektorový prostor volných vektorů generovaných orientovanými úsečkami v trojrozměrném euklidovském prostoru, pak V% je vektorový prostor lineárních zobrazení (lineárních forem) definovaných na volných vektorech a V£* je vektorový prostor lineárních zobrazení definovaných na prostoru těchto lineárních forem. Jeho objekty již nejsou původní volné vektory. Prostor je však izomorfní s prostorem V3, neboť všechny vektorové prostory stejné konečné dimenze jsou izomorfní. Je tedy něco, čím je prostor V** více „podobný", resp. „bližší" prostoru Vm než prostoru V*l Jsou to transformační vztahy při přechodech mezi bázemi a odpovídajícími indukovanými bázemi. Všimněme si problému podrobněji. Prvky prostoru Vn jsme značili jako a, fa, ... G Vn, prvky prostoru V* jako cj, 77, ... G V*, prvky množiny \/** všech lineárních zobrazení V* —>• R budeme značit /4, B, ..., G V**. Strukturu vektorového prostoru na V** zavedeme již známým způsobem: Zvolme libovolně /4, B G V** a a G M. Definujme zobrazení G 3 H takto: G : V* 3 uj —> G(u) = A(u) + B(u) G R H : 3 oj —> = av4(a;) G M. ÚKOL: Dokažte, že zobrazení G a H jsou lineární, tj. G, H G a že množina V** s takto zavedými operacemi součtu (G = A + B) a násobení skalárem (H = aA) je vektorový prostor nad IR. ÚKOL: Zvolme v prostoru Vn bázi (ei, ..., en). Indukovaná báze v prostoru V„ je (e1, ..., en), e'(ej) = Sj. Definujme prvky Ei, ..., En G IC* vztahem E^e7) = ^. Dokažte, že soubor (Ei, ..., En) je báze prostoru Vn**, tj. dim V;* = n. Zjistíme transformační vztahy pro objekty prostoru V**. Matici přechodu od báze (ei, ..., en) k bázi (ěi, ..., ěn) označme T = (r-), 1 < /, j < n, T~l = S = (cry), ě; = rj ej, ě' = crj e7', Ě/ = E,-, hledáme matici M = (/^). Platí 5j = Ě/(ěí) = Mf H/c(oj e') = MM í£ = m/v,. Platí MS = E, tj. M = T. Matice přechodu od báze (Ei, ..., E„) k bázi (Ěi, ..., Ěn) v prostoru V** je tedy stejná, jako od báze (ei, ..., e„) k bázi (ěi, ..., ěn) v prostoru Vn. Prostory Vn a V** jsou nejen izomorfní, ale platí v nich i stejné tranformační vztahy. Z hlediska algebry není jak je rozlišit. Můžeme je proto považovat za „stejné". Izomorfismus mezi nimi definujeme tak, že ztotožníme prvky e,- a E/, přesněji řečeno, definujeme kanonický izomorfismus jako zobrazení l\ Vn 3 a —> i{a) = A E V**, kde a = a' e,-, A = t(a) = a' E/. Tím jsme prostory Vn a V** ztotožnili. Duální součin Duálním (vnitřním) součinem rozumíme zobrazení ( I ) : V* x Vn 3 [uj, a] —> (u\a) = u(a) G Je to první situace, kdy se setkáváme se zobrazením více argumentů (zde jednoho kovektoru a jednoho vektoru) lineárním v každém z těchto argumentů. r UKOL: Dokažte, že duální součin je lineární v každém ze svých argumentů, tj. (au + /3rj\a) = a((jj\a) + /3(rj\a), (oj\aa + f3b) = a(oj\a) + /3(w\b), a rozepište výraz (aw + f3rj | 7 a + 5b). Z definice plyne, že ve vyjádření duálního součinu není pořadí rozhodující, neboť (uj\a) = uj(a) = (a)(cj). Lze tedy také zavést zobrazení ( | ) : Vn x V* 3 [a, u] —> (a|^) = ^(a) £ pak (cj|a) = (a|cj). Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Duální součin a transformační vztahy: je zřejmé, že duální součin je, stejně jako argumenty, které zobrazuje, invariantním objektem. Prověříme na příkladu, že jeho hodnota v libovolných agumentech uj E V* a a E Vn je nezávislá na volbě báze. PŘIKLAD: Necht uj E V* a a E Vn jsou libovolně zvolené argumenty. Zvolme v prostoru Vn bázi (ei, ..., en), v ní platí a = a'e-, ~ (a). Lineární formu musíme vyjádřit v odpovídající duální bázi (jinak by to nefungovalo), tedy uj = ujjé ~ (uj). Označme (ěi, ..., ěn) jinou bázi ve Vm k níž od báze původní přejdeme pomocí matice přechodu T. Odpovídající duální báze je (ě1, ..., ěn). Pomocí transformačních vztahů pro složky vektorů a kovektorů (lineárních forem) dostaneme uj 3)=u(3) = (a)(oj) = ((ä)T) (T-^ÔJ)) = (ä)(ô>). Pro číselnou ukázku zvolme třeba n = 3, a = 2ei — 3e2 + e3 a uj = —e1 +2e2 — 2e3 při volbě báze (ei, e2, 63). Snadno zjistíme, že platí (uj\ a) = uj(a) = (cx){uj) = ( 2 —3 -10. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Novou bázi (ei, e2, 63) zvolme třeba takto (a všimněte si duality) ei = ei - e3, e2 = e2 + 2e3, e3 = ei - 2e3 3- e1 = ě1 - ě3 ez = ě2 + 2ě0, e* = ě1 -2ě\ ^3 -1 ^3 Matice přechodu a inverzní matice jsou 7 T -1 pro duální bázi pak platí ě1 2e1-e3, ě2 =-2e2 + e2 + 2e3, ě3 = e1 - e: Složky vektoru a a lineární formy uj v nových bázích a jejich duální součin Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory 10-1 (ô)) = T (u) =(01 2 10-2 (uj\a) =u(a) = (ä)(ô>) = ( 11 -3 -9) -: 10 Výpočet duálního součinu lineární formy a vektoru pomocí jejich složek připomíná výpočet skalárního součinu vektorů rovněž pomocí jejich složek, ale vyjádřených v ortonormální bázi. Je tedy duální součin totéž co skalární? Odpověď je, striktně vzato, záporná - například duální součin můžeme definovat, i když v prostoru Vn není zaveden skalární součin - ale jistou souvislost najdeme. Předpokládejme, že v prostoru Vn definujeme skalární součin, prostor se tedy stane prostorem euklidovským. V bázi (ei, ..., e„) je skalární součin reprezentován pozitivně definitní symetrickou maticí G = (g//), gij = (e/, e/), 1 < i J < n. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Jak víme, skalární součin vektorů a, b E Vn vyjádřený pomocí jejich složek ve zvolené bázi je (a, b) = (a)G(/3)T. Zvolme oj E V* libovolně, ale pevně, a zkusme pro libovolný vektor a E Vn řešit rovnici {oj I a) = (b, a) (= (a, b)) vzhledem k neznámému vektoru b E Vn. : (a)(w) = («)G(/3)T => (a) [(a;) - G(/3)T] = 0. Tato rovnost platí pro každý vektor a E V^. Proto je (cj) — G((3)T = 0 (nulová matice). Matice G je regulární, takže platí (P)T = G-\u) => (/3) = HT(G-1)T = (o;)T(G-1). Hledaný vektor 6 E Vn je určen jednoznačně. UKOL: Projděte znovu předchozí úvahu a určete vektor b za předpokladu, že báze (ei, ..., en) je ortonormální. Ukažte, že transformační vztahy pro vektory a lineární formy jsou stejné. s1 Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Tenzory jako multilineární zobrazení Označme 7o"(\/n) = Vn a = V*. Jedná se o vektorové prostory stejné dimenze n, tedy izomorfní, lišící se pouze transformačními vztahy (viz výše). Jsou to základní tenzorové postory - prostory tenzorů prvního řádu. Dualita transformačních vztahů se projevuje také v názvosloví: vektory nazýváme kontravariantní tenzory, lineární formy (kovektory) pak jsou kovariantní tenzory. Zavedeme tenzory vyšších řádů, nejprve tenzory řádu druhého, potom definici zobecníme. DEFINICE: Tenzory druhého řádu Tenzory druhého řádu nazýváme zobrazení trojího typu: r:V;x V: 3 [w, v] t: V* x Vn 3 [u, a] r: VnxVn 3 [a, b] > t(cj, 77) G M, -> t(u, a) G M, > r(a, b) G M, lineární vždy v obou argumentech. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Co znamená linearita v obou argumentech (tj. bilinearita) ukážeme na případu druhého z uvedených zobrazení: r(aoo + f3r], a) = ar (oj, a) + /3r(r/, a) r (oj, aa + /3b) = ar (oj, a) + (3r(oj, b) pro libovolné cj, 77 G V*, a, b G Vn a a, (3 G M. r U KOL: Pro tenzor druhého řádu r : V„ x Vn R, Rozepište výraz Dále zvolte ve Vn bázi (ei, ..., en) s odpovídající duální bází (e1, ..., en). Pro lineární formu oj = oj je' a vektor a = alej rozepište výraz r{oj;e , aye7-) = r^ojie1 + • • • + o;nen, a1ei + • • • + ane„) a zamyslete se nad jeho souvislostí s duálním součinem. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Následující příklad je tak trochu „předzvěstí" transformačních vztahů pro tenzory. PŘIKLAD: Víme, že každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno obrazy báze. To bude platit také pro zobrazení obecně multilineární. Uvažujme o tenzoru druhého řádu r : Vn x Vn —>► M (poslední ze tří typů v definici). Zvolme báze (ei, ..., ei) a (ěi, ..., ěn) ve Vn, matici přechodu označme T. Odpovídající duální báze jsou (e1, ..., en) a (ě1, ..., ěn). Označme 77/ = r(e/, ej) a 77/ = r(ě/, ěj) a chvíli počítejme, s využitím bilinearity zobrazení r: fy = r(ě/, ě,-) = r(^e^, TJe,) = TfTJ r(ek, e,) = TfTJ rkl. Pro a? = 3 a matici T zadanou v předchozím příkladu vyjádříme rozepsáním prvek Ť12 (ostatní vyjádřete sami): Ť12 = Tl T\ m + Tl Tl 7-12 + 7-!1 T| na + + T\ T\ r2i + T\ T| t22+ + 7~i T"23 r23 + T-3 T\ T31 + 73 7| T32 + T\ T\ r33 = r12 + 2n3 - r32 - 2r33. Procvičit si výpočty můžete při řešení násedujícího úkolu. UKOL: Podobný výpočet proved te pro bilineární zobrazení r : V* x V„ -> R (první typ v definici), a vyjádřete f'-/ = r(ě', ě7) pomocí rw = r(e/c, e') a prvků matice přechodu. Zaveďme teď na množinách všech tří typů tenzorů druhého řádu (bilienárních zobrazení), specifikovaných v definici, strukturu vektorového prostoru. Bude to analogické postupu, jakým jsme zaváděli strukturu vektorového prostoru na množině lineárních zobrazení V*. Označme množiny tenzorů druhého řádu jednotlivých typů postupně tak, jak jsme je zavedli v definici, 7^{Vn)t T?{Vn) a T?(Vn). DEFINICE: Operace s tenzory Nechť r, a e T£{Vn) a a e R. Definuj me nová zobrazení: X : V* x V* 3 [cj, rj\ —> x(w, rj) = t(w, ??) + a{u, r)) G IR, 9: V* x V* 3 [cj, rj\ —> 6(u, r)) = or(w, rj) G IR. Dokážeme, že nově definovaná zobrazení jsou také tenzory (jsou bilineární) a jsou téhož typu jako tenzory r a a, z nichž byla zkonstuována. Počítejme: x(ttCJi + /3cj2, rj) = r(acji + (3cj2, rj) + a(au1 + f3uj2, rj) = = ar(ui, rj) + /3t(cj2, rj) + aa(ui, rj) + /3ct(cj2, rj) = = a(r(cJi, ri)+(r(u1, t?))+/3(t(cj2, r?)+cr(cj2, 77)) = ax(^i, ^)+/?x(^2, r/). Podobně rozepište x(o;, ar/i + /3^2). Stejným způsobem dokažte i bilinearitu zobrazení 6. Tenzor x nazýváme součet tenzorů r a a a značíme x — r + 0"- Tenzor 0 je a-násobek tenzoru r, značíme 9 = ar. ÚKOL: Dokažte, že operace součtu a skalárního násobku tenzorů zavedené v předchozím textu splňují axiomy vektorového prostoru. Analogicky jako výše zaveďte strukturu vektorového prostoru na množinách 7?(Vn) a Ti(Vn). □ s1 Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory DEFINICE: Tenzory obecného řádu Tenzorem typu (p, q), p-krát kontravariantním a q-krát kovariantním rozumíme zobrazení r : V'* x • • • x V'* x Vn x • • • x Vn 3 [cji, ..., ujp\ ai, ..., aq\ —> s-v-' v-v-' p /f (e°, ev, ew) = 5»5{5kw. Soubor (F/*), 1 < /, j\ k < n, je bází v prostoru T^iYn)- Položme jjk F-jk = 0^1(^)5 l'jk ^ ^5 (všechny indexy jsou sčítací) a vyčísleme hodnotu této lineární kombinace na argumentech (eu, evi ew) pro libovolné indexy 1 < u, v, w < n. Dostaneme iik Ff(eu, ev, ew) = 0^ 7J* W£ = 7™ = 0. Tím je dokázána lineární nezávislost souboru (F-jk). Hledáme-li pak libovolný tenzor r G T^iYn) ve tvaru lineární kombinace r = rjk Fjk, zjistíme analogickým postupem (proveďte), že platí Našli jsme tedy bázi prostoru T2 \Yn) indukovanou bází ei, ..., en. Počet jejích prvků je roven počtu nezávislých výběrů indexů /, j a k, tj. n3, což je v souladu s větou. Navíc jsme zjistili, že složku r-k tenzoru r v této indukované bázi určíme tak, že tenzor r vyčíslíme na argumentech (e', e,-, ek). PŘÍKLAD: Operace ve složkách - vektory (Vn = T^{Vn)) Ve složkách umíme dobře počítat s vektory: složky součtu vektorů v dané bázi jsou součtem složek sčítanců, složky /c-násobku vektoru jsou /c-násobky jeho složek, vše ve stejné předem zvolené bázi (ei, ..., e„): a = o! e-n b = /3'e,-, c = a + b = 7'e,-, oř = ka = 5'e-n c = a'e-, + P'ei = (a' + /3')eh d = /c(a'e/) = (/ca')e/ 7'' = a'' + 5'' = ka1, nebo maticově c ^ (7) = (a) + oř ^ (5) = k(a). PŘÍKLAD: Operace ve složkách - kovektory {V* = 7?(Vn)) Pro kovektory (lineární formy) můžeme pravidla pro počítání ve složkách přepsat z předchozího příkladu s jedinou změnou - dolní indexy přesuneme nahoru a horní dolů, v maticovém vyjádření zaměníme řádky za sloupce. (Samozřejmě dodržíme značení, místo a, b G Vn pracujeme s u, r] G V*t apod.) Ale zkusíme to jinak - a to nám pak pomůže u tenzorů vyšších řádů. Ze skutečnosti, že každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno obrazy báze, jsme pro libovolnou lineární formu uj G V'* odvodili toto: uj = ujje1 =>► uj(e;) = ujj e^e,) = ojj 5] = uj\ = cj(e,), Lineární forma uj přiřazuje /-tému vektoru (základní) báze (ei, ..., en) ve Vn svoji /-tou složku v duální bázi (e1, ..., en). uj = cj(ei)e1 + • • • + uj(en)en. Tohoto zápisu nyní využijeme. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Zvolme libovolně u, r\ G V* a a, f3 G M. Uvažme obecnou lineární kombinaci x — auj + Již dříve jsme dokázali, že x Je lineární forma, X G l/*. Její /-tou složku zapíšeme jako Xi — x(e/) a počítáme s využitím definice součtu a skalárního násobku lineárních forem: Xi = x(e/) = a^(e/) + /3r?(e/) = ao;/ + ^ (x) = + £(77). Získali jsme očekávané pravidlo počítání „po složkách". Číselně třeba pro n = 3: u = 3e1 + 2e2 - 4e3, rj = -e1 - e2 + 3e3, a = 2, /3 = -3, W-( j)+(-3)(=j) = ( j) ÚKOL: Pokuste se odvodit pravidlo pro počítání se složkami v prostoru 7?(V,,). Návod: Definujte zobrazení F'J G 7?( V^), 1 < /, 7, < /i, vztahy Fij(et<, ei) = ukažte, že tvoří bázi a vyjádřete pomocí nich výraz ar + f3a pro libovolné r, a G 7?(\/n), a, /3 G M. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Pokusíme se nyní odvodit pravidlo pro počítání se složkami v prostoru Ti{Vn) a pak už pravidlo zobecníme. PŘIKLAD: Definujme, podobně jako výše v příkladu s prostorem T2\Vn) zobrazení Fjj e 7?(V„), 1 < /, j\ k < n, takto (všimněte si v porovnání s příkladem prostoru T^iYn) definičního oboru a umístění indexů): * : V;*V;xV„ 3 [u>, r,, a] —► F${u, V, a) G M, F^e", ev, ew) = SfSJSkw. (Víte, proč stačí definici specifikovat pouze pro prvky báze? Jistěže víte -zobrazení FJJ mají být lineární v každém argumentu, a proto jsou jednoznačně určena obrazy prvků bází (ei, ..., e„) a (e1, ..., en).) Soubor {Fjj}, 1 < /, j\ k < n, tvoří v prostoru T^2 bázi, jak už sami snadno jistě dokážete. Zvolme r, a G Ti(Vn) a zapišme je ve složkách, tj. jako lineární kombinace prvků báze a počítejme jejich lineární kombinaci x — ar + s využitím toho, že T^(Vn) je vektorový prostor (pravidla pro počítání s vektory): T = rlFl a = a«FJI ar + /3a = a(rf Fy) + Fy) = (arf + Paf) Fy. Výraz v závorce x'i — ttT^ + Z^7^ Je nepochybně složkou tenzoru x- To je pravidlo „počítání po složkách", na které jsme zvyklí z jakéhokoli vektorového prostoru. UKOL: Uvažujte opět o prostoru Ti(Vn) a zobrazeních {Fj-}, 1 < /, j, k, která v něm tvoří bázi. Pro tenzor r G Ti(Vn), r = F,y ukažte, že platí tedy pravidlo, že složka tenzoru v dané bázi (indukované bází (ei, ..., en) předem zvolené ve Vn) se dostane jeho vyčíslením na odpovídajících prvcích báze (ei, ..., en) a báze duální. Pokud jste splnili úkol, nebudete mít problém s následujícícm příkladem. PŘÍKLAD: Transformační vztahy pro tenzory prostoru T^(Vn) Uvažujme o bázích (ei, ... e„) a (ěi, ..., ěn) ve Vn (matice přechodu 7", S = 7"_1) a indukovaných bázích (e1, ..., en) a ě1, ..., ěn ve V*, resp. {F$}a{FJ;}vT?(Vn),l'ev, T?ew) = S^r^e0, e\ e„), Tu — qi cj tw n-uv 1 k ~ °u°v 1 k 1w • Vyzkoušíme získaný transformační vztah na jednoduchém číselném příkladu, pro n = 2. Zvolme báze (ei, e2) a (ei, e2) v prostoru V2 a tenzor r (v bázi {Fjj}, 1 < /, 7, k <2, indukované bází (ei, e2)) takto: ei = ei - 2e2, e2 = ei - e2 7 = , , , S r — 2F111 — Fq + 3F^2 — 2Fj22 — F21 — 3F^ + F22, tj. 11 o n _ _-. 12 _ o 12 _ _2 21 -i 21 o 22 n 22 -i r: = -1, t2 = -3, t! = 0, t2 = 1. Vypočteme složku ř^1 (výraz bude obsahovat 23 = 8 sčítanců): -21 _ c 2 cl T-w ívv _ rl — DuDv 1 1 rw — C2 Cl tI^H i c2cl-r2^11 i c2 c1 t1 i c2 c1 t2 i ^1 ^1 ' 1 Tl + ^1 ^1 ' 1 T2 + ^1 ^2 ' 1 rl + ^1 ^2 ' 1 r2 + -\-S2S^ -\- S2 7"-^ t2 -|- S2 S2 T-y T-y -\- S2 S2 T-^ t2 = = (_2).2+4.(-l) + (-2).3+4.(-2) + (-l).(-l)+2.(-3) + (-l)-0+2.1 = -25. Pro kontrolu a procvičení určíme nyní složku ř21 pomocí vyčíslení tenzoru r na prvcích bází (sledujte horní a dolní pevné indexy a všechny sčítací indexy): -21 ,_2 -1 - x f c2 1 , c2 2 cl 1 , cl 2 t-l , t-2 \ = r(2e1 + e2, —e1 — e2, ei — 2e2) = = -2r(e1, e1, ei) + 4r(e1, e1, e2) - 2r(e1, e2, ei) + 4r(e1, e2, e2)--r(e2, e1, ei) + 2r(e2, e1, e2) - r(e2, e2, ei) + 2r(e2, e2, e2) = 0 11 , „ 11 0 12 . „ 12 21 , 0 21 22 . 0 22 0r- = — 2tí + 4r2 - 2tx + 4r2 - rx + 2rx - rx + 2r2 = -25. r UKOL: Pro procvičení vypočtěte některou z dalších složek tenzoru r v bázích indukovaných bází (ěi, ě2). Nyní už zapíšeme transformační vztahy pro složky tenzorů obecně. Vycházíme z toho, že pro r G Tqp(Vn) je (opět sledujte sčítací indexy) Jl--Jq — ^ ' ' ' ' ' i CJ1 I'''! CJq )l 'Ví...Vq — 1 \c 1 ' ' ' 1 c i cVl 5 • • • 5 cVq ^ j kde všechny indexy nabývají všech hodnot z množiny {1,2,..., n}. Transformační vztahy pro vektory bází jsou ě- — "P1 e ě- — 7~v<7 e ě'1 — S'1 eUl ě/p — 9/p eUp t.1'"'." = rrě'1 ě/p- ě- ě- ) = J\...Jq V ' ' ' ' ' ' ./ľ ' ' ' ' JqJ — tÍS'1 pUi 5/p eup 7Vl e 7~v<7 e ^ — c'i . . . g'p tvl . . . tVqr(eUl e"?- e e 1 —s -/'i /p _ 5/i 5#P -pí . . . -p* "i ••• Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Transformační vztahy pro složky tenzorů: složky vektoru ä' = S[ak, ď =tk äk složky kovektora äj = TJ at, coj=S'j wt složky tenzoru Jl-- •la---lp _0*1 OÍfl ClPT^ ■Jb---Jq Ka Kp Jl Jb —kl---K---kp J q h'- -h • • Jq t) Jl- ••la---lp _rpi\ rpia 7^/? ck •■Jb---Jq Ka Kp Jl ch . •. o ■ Jb rj^lq —k\---ka---kp j q Jq Obr. 9.3: Transformační vztahy pro tenzory Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Tenzorový součin Tenzorovým součinem vznikají z tenzorů nižších řádů tenzory vyšších v y i o radu. DEFINICE: Tenzorový součin Nechť r E Tq b a E Tsr. Definujme zobrazení X : V* x • • • x V* x Vn x • • • x Vn 3 (cji (p+r)-krát (q+s)-krát 5 dq+s. kde x(o;i, ..., cjp+r; ai, ..., <3q+s) = Zobrazení x — T ® 0" se nazývá tenzorový součin tenzorů r a a. POZOR: Pořadí argumentů je třeba dodržet li Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory ÚKOL: Dokažte, že právě definované zobrazení x Je tenzorem z prostoru rqp:;{vn). Návod: Dokažte linearitu zobrazení x v obecném /-tém kovektorovém argumentu a poté v obecném j-tém vektorovém argumentu, tj. na /-tou kovektorovou pozici (pozici pro „omegy") dosaďte místo uj\ lineární kombinaci auji + f3rji a potom podobně na 7-tou vektorovou pozici (pozici pro „áčka") dosaďte místo 3/ lineární kombinaci aay + f3bj. Usnadnění: Vzhledem k tomu, že linearita se dokazuje nezávisle pro každý argument zvlášť (tj. při dosazení lineární kombinace na zvolenou pozici zůstávají ostatní argumenty nezměněny), lze si důkaz zjednodušit tak, že jej provedete pro nižší řády, třeba pro r G To(Vn) a a G T\(yn) X : V* x Vn 3 (oj, a) —> x(^> a) = t(uj) • cr(a) G R a dokážete, že x Tí1 (V,,), konkrétně vypočtete x(c^ + /?77; a) a xí^I aa + fib) pro a, /? G M. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Vlastnosti tenzorového součinu jsou z linearity zcela zřejmé. Shrneme je ve větě. •v VETA: Vlastnosti tenzorového součinu Nechť Ti, T2, t G TqP(Vn), (Ji, (72, O" G 77(1/,,), X £ T.W), JSOU libovolné tenzory a a, (3 G M libovolné skaláry. Platí ► (ar) 0(7 = r0 (aer) = a(r C8 a), ► (ari + /3r2) (8) a = a(n (8) a) + /3(r2 (8) a), ► r (8) (aai + /3 ej ® ek{eu, ev, ew) = e,(0 ej{ev) ek{ew) = 6? 6J 6kw. Přesně takto fungovala zobrazení Fjj G l~i(Vn), která jsme zavedli na straně 33. Tato zobrazení tvořila v prostoru Ti{Vn) bázi. A fungují stejně jako tenzorové součiny e; (8) e/ ek, konkrétně Fjj(eu, ev, ew) = 5" 5J 5^> Protože každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno obrazy báze, nutně platí Fk- = e-, (8) ej (8) ek. Pro tenzor r G 7\{yn) ve složkách platí (očekávaný výsledek) r = r'l e-, (8) ej (8) ek r(eu\ ev, ew) = (rjt e,- (8) e/ (8) e/c)(et7, ev, ew) = = e/(e") e,-(e") e*(ew) = í^/^ = C Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Podívejme se na tenzorový součin ještě jinak: UKOL: Zvolme libovolně například tenzory první ho řádu r G To(V„) a cr G Ti(Vn). Jejich tenzorový součin x = T ® 0 Je tenzorem druhého řádu, konkrétně jednou kontravariantní a jednou kovariantní, tj. x 7Í1 (\/n)■ Tenzor X je tenzory r a a jednoznačně určen. Ve složkách platí X = r (g) a = (r' e,-) ® (07 e7) = (rcr/) e,- ® e7, x) = raj. Zamyslete se nad opačnou otázkou: Lze každý tenzor x £ TÍ^Vn) vyjádřit jako tenzorový součin tenzorů prvního řádu? Pokud ano, kolika způsoby? Pokud ne, najděte protipříklad. PŘÍKLAD: Ztotožnění. Problém vysvětlíme na příkladu tenzorového prostoru 7i~(Vn). Tenzory typu (1, 1) jsme definovali jako zobrazení s definičním oborem V* x Vn, lineární v každém argumentu. Ve složkách (po zavedení struktury vektorového prostoru na množině takových zobrazení) je r = r j e,- (8) e7. Co kdybychom definovali také zobrazení f : VnxV*3 [a, u] —► r(a, u) G M, rovněž lineární v každém z obou argumentů? (O takových zobrazeních jsme zatím nehovořili.) Na množině 7~i{Vn) všech takových zobrazení lze rovněž zavést strukturu vektorového prostoru - zkuste to provést již známým způsobem. Tento vektorový prostor má stejně jako Ti(Vn) dimenzi n2. Zkuste tipovat, jaké budou transformační vztahy pro zobrazení typu f. Ze stejné, jako pro r G 7i(Vn)l Pokud tipujete takto, máte pravdu. Dokážeme to: ¥j = f(ěh ě>) = Ť{T* ek, Sj e') = TfSJ r(ek, e')), Transformační vztah je stejný jako pro prvky r G Ti(Vn). Nemáme tedy jak rozlišit zobrazení typu r G 7~i(Vn) od nových zobrazení typu f. Znamená to, že zobrazení f je totéž jako zobrazení r? Nikoli. Tato zobrazení mají odlišné definiční obory. Prostory Ti(Vn) a Ťi(Vn) jsou však nejen izomorfní (stejná dimenze), ale platí v nich také stejné transformační vztahy. Mohli bychom tedy říci, že jsou kanonicky izomorfní. „Stejné" jsou z abstraktního algebraického hlediska. Kanonický izomorfismus těchto prostorů zavedeme takto: f = r právě tehdy, platí-li f (a, uj) = t(uj, a) pro libovolný vektor a G Vn a libovolný kovektor uj G V*. Hovoříme pak o ztotožnění prostorů Ti(Vn) a Ťi(Vn). POZOR! Přestože pro libovolné prvky a G Vn a uj G V* platí e,- ® e^a, a;) = e7' ® e,(a;, a) = a'cjy, nejde o komutativitu tenzorového součinu, ale právě jen o zototožnění zobrazení. (Viz také duální součin.) Taková ztotožnění můžeme provádět i obecně, pro tenzorové prostory typu (p, q). Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Symetrické a antisymetrické tenzory Fyzikální tenzorové veličiny často vykazují vlastnosti symetrie nebo antisymetrie. Symetrické jsou například tzv. materiálové tenzory, charakterizující vlastnosti různých prostředí (elastické konstanty a moduly, dielektrická permitivita), ale třeba také metrický tenzor. Antisymetrický je např. tenzor elektromagnetického pole. Antisymetrická tenzorová pole slouží jako integrandy v „moderní" teorii integrálu, a figurují ve variačních fyzikálních teoriích. DEFINICE: Symetrické a antisymetrické tenzory Tenzor r £ Tqp(Vn) se nazývá symetrický, resp. antisymetrický, v /-tém a j-tém kovektorovém argumentu, 1 < /, j < p, je-li pro lib. argumenty 7~(cij]_ ^ ..., oj j ^ ... ^ oj j ^ ..., ojp, a~\_ ^ ..., ^£7) — přičemž „plus" se týká symetrického, „minus" antisymetrického tenzoru. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Podobně lze definovat symetrii a antisymetrii ve vektorových argumentech. r UKOL: Definujte tenzor symetrický, resp. antisymetrický, v /-tém a j-tém vektorovém argumentu, 1 < /, j < q. Dále dokažte, resp. zdůvodněte, že podmnožina všech tenzorů symetrických, resp. antisymetrických, v /-tém a 7-tém kovektorovém, resp. vektorovém argumentu je vektorovým podprostorem výchozího tenzorového prostoru. Symetrie, resp. antisymetrie se může týkat i většího počtu argumentů. Významnejšou tzv. úplně symetrické, resp. úplně antisymetrické tenzory, ať již v kovektorových nebo vektorových argumentech. Symetrii a antisymetrii lze také kombinovat - tenzor může být třeba symetrický v kovektorových argumentech a antisymetrický ve vektorových argumentech. ÚKOL: Definujte tenzor r typu (4, 6), tj. r G 7f?(Vn), který je symetrický v druhém a třetím kovektorovém argumentu a antisymetrický v prvním a pátém vektorovém argumentu. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Vektorové a kovektorové argumenty mezi sebou zaměňovat nelze. Dále se budeme zabývat úplně symetrickými a úplně antisymetrickými tenzory a jejich základní vlastnosti a počítání s nimi ukážeme pro jednoduchost na čistě kovariantních tenzorech, tj. pro r G Tq(Vn). DEFINICE: Úplně symetrické, resp. antisymetrické, kovariantní tenzory Tenzor r G T^(Vn) se nazývá úplně symetrický, jestliže se jeho hodnota nezmění při libovolné permutaci argumentů, resp. úplně antisymetrický, změní-li znaménko při liché permutaci argumentů a zůstane beze změny při permutaci sudé, tj. r(3a(i), • • •, a m = r(e/c, e/) = r(e/, e/J = r//c, 1 l 1 r = -r;/ e' (g) e7 + -77; e7 (g) e' = r/,- -(e' (g) e7 + é ® e'). Všimněme si, že platí například 1 1 -(e1 (g) e2 + e2 (g) e1) = -(e2 (g) e1 + e1 (g) e2), obecně 1 .... i ... -(e' (g) e7 + é (g) e') = -(e7 (g) e' + e' (g) e7), takže soubor {|(e' (g) e7 + e7 (g) e')}, 1 < / < j < n, je báze v podprostoru iS^Í^)- (Nerovností / < j jsme zajistili to, že se prvky neopakují dvakrát.) Počet navzájem nezávislých (různých) prvků této báze je |(a?2 — n) + n = |(n + 1)a? = (n+2_1)- To souhlasí se vztahem pro dimenzi prostoru Sq(Vn) pro q = 2. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Podobně budeme hledat bázi prostoru A2(^) c 7?(^n)- ^e složkách: r = t/y e' ® e7 => 7*/ = r(e^, e/) = -r(e/, e&) = -t//c, 1 1 1 r = -r// e' (g) e7 - -Ty; e7 (g) e' = 77/ -(e' ® e7 - e7 (g) e'). Platí například 1 1 -(e1 (g) e2 - e2 (g) e1) = -^(^ ^ e1 - e1 (g) e2), obecně 1 1 -(e' (g) e7 - e7 0 e') = -(e7 (g) e' - e' (g) e7), přičemž pro / = j je |(e' (g) e7' — e7' (g) e') = O^o^). Soubor {§(e' (g) e7 — e7 (g) e')}, 1 < / < j < n, je báze v podprostoru A^í^)-Počet prvků této báze je ^(r?2 — n) = |(a? — l)n = Q), jak vychází z obecného vztahu pro dimenzi prostoru /\°a(Vn) pro q = 2. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Vyzkoušejme podrobně, jak to funguje pro n = 2, tj. v prostoru ^(V^). Nejprve pro symetrické tenzory. V původním zápisu, v němž vezmeme v úvahu vztah 77; = 777, který jsme před chvílí odvodili, dostaneme: 11 IO Ol OO r = 777 e1 (g) e7 = tu e ® e + 712 e (g) e + 721 e (g) e + T22 e (g) e tu e1 (g) e1 + r^e1 (g) e2 + e2 (g) e1) + r22 e2 (g) e2. Při novém zápisu (indexy / a j nabývají všech hodnot z indexové množiny {1, 2}, stejně jako v zápisu původním) dostaneme, opět s využitím symetrie složek 777 = 77;: íl \ 1 1 77/ í -(e' (g) e7 + é (g) e') J = -rn(e1(g)e1+e1(g)e1)+-Ti2(e1(g)e2+e2(g)e1)+ 1 2 1 + ^r2i(e2 (g) e1 + e1 (g) e2) + -r22(e2 (g) e2 + e2 (g) e2) = tu e1 (g) e1 + rnie1 (g) e2 + e2 ® e1) + r22 e: Výsledek je stejný pro oba zápisy, jsou tedy ekvivalentní. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Jak by vypadal zápis tenzoru r ve složkách, kdybychom jej rozepsali jen pomocí nezávislých prvků báze, tj. jako lineární kombinaci tenzorů -(e' ® e7 + é 0 e1) pro 1 < / < j < n, 111 pro n = 2 tedy -(e^eVe^e1), -(e1®e2+e2®e1), -(e2(g)e2+e2 Složky při tomto vyjádření mohou být obecně jiné než ve vyjádřeních předchozích. Také nepůjde použít Einsteinovu symboliku - výběr sčítacích indexů je nyní omezen nerovností / e1) + -f^ Porovnáním s předchozími (navzájem ekvivalentními) zápisy vidíme: t\l = Tu, T12 = T12 + T21 = 2ti2 = 2r2l, T22 = t22- S1 3 «r)C^(V Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Teď provedeme podobné úvahy pro antisymetrické tenzory, opět jen pro n = 2. V původním zápisu, v němž vezmeme v úvahu vztah antisymetrie tíj = —ry, (tj. t// = 0), dostaneme: 11 i o Ol o o r = Ty e1 (g) é = tu ^ ® e + Ti2 e 0e + t2\ e Cg e + T22 e Cg e = r^e1 (g) e2) + r2i(e2 (g) e1) = T12(eľ (g) e2 - e2 (g) e1). Při novém zápisu (indexy / a j nabývají všech hodnot z indexové množiny {1, 2}, stejně jako v zápisu původním) dostaneme, opět s využitím antisymetrie složek 77/ = —Ty, ^> t-,-, = 0: Tu Q(e' ® e7' - e7' (g) e') 1 1 -r^e1 (g) e2 - e2 (g) e1) + -r2i(e2 (g) e1 - e1 (g) e2) = r^e1 (g) e2 - e2 (g) e1). Výsledek je opět stejný pro oba zápisy, jsou ekvivalentní. Tenzor r G A2(^") Je lineární kombinaci tenzorů 1 -(e1 (g) e7 - e7 (g) e') pro 1 < / < j < n. Pro n = 2 je prostor ^2(^2) jednorozměrný, jediný prvek báze je l -(e1 (g) e2 - e2 (g) e1). Složky v bázi tvořené nezávislými prvky opět označíme f//: r = Y fu fye* ® e>'- e>'® e*)) = ^(e1 (g) e2 - e2 (g) e1), l<'' Symr(a, b) = - (r(a, b)+r(b, a)) G M, 1 Alt r : VnxVn3 [a, b] —> Alt r(a, b) = - (r(a, b) - r(b, a)) G R. Především je zřejmé, že Symr, Alt r G 7^(Vn). Vyjádřete ještě Symr(b, a) a Altr(b, a) a uvidíte, že tenzor Symr je symetrický a tenzor Alt r je antisymetrický. Proč je v definici faktor |, když by vlastnost symetrie, resp. antisymetrie zůstala zachována i bez něj, nebo dokonce při volbě jakékoli konstanty? Uvidíme později. •v VETA: Symetrizace a antisymetrizace Nechť r e 7?(!/„). Zobrazení Symr : Vn x Vn 3 [ai, ..., aq] —> Symr(ai, ..., aq) = = -j- Y r(^(i)' • • •' m*))e m' Altr : Vn x Vn 3 [ai, ..., aq] —> Altr(ai, ..., aq) = je úplně symetrický, resp. úplně antisymetrický (kovariantní) tenzor. Zobrazení Sym : lf(Vn) 3 r —► Symr e S°q(Vn) je tzv. symetrizace, zobrazení Alt : lf(V„) 3 r —>■ Altr e A (V„) je tzv. antisymetrizace. Následující úkol je praktickou ukázkou provedení symetrizace a antisymetrizace. ÚKOL: Pro r G 7s(Vn) vyjádřete explicit ně výrazy Symr(ai, 32, 33) a Altr(ai, 32, 33). Návod: Permutace argumentů 3i, a2, 33 jsou sudé: (ai, a2, a3), (a3, 3i, a2), (a2, 33, ai), liché: (a2, 3i, a3), (a3, a2, ai), (ai, 33, 32). ÚKOL: Reprodukujte definici symetrizace a antisymetrizace pro tenzory typu (p, 0), tj. r G TQp{Vn). Pro r G 7^3(\/n) vyjádřete explicitně výrazy Symr(wi, u;2, 003) a Altr(o;i, CJ2, £^3) pro libovolné argumenty oji, 0j2, uj3 G V*. ÚKOL: Určete průnik vektorových podprostorů Sq(Vn) a /\°{Vn) prostoru tenzorů 7?(V„). S1 Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory •y VETA: Vlastnosti symetrických a antisymetrických tenzorů Uvažujme o tenzorech prostoru T^(Vn) (čistě kovariantní tenzory g-tého řádu). Platí ► pro r G S°(Vn) je Symr = r, pro a G /\°q(Vn) je Alt a = a, ► zobrazení Sym a Alt jsou projekce, tj. Sym o Sym = Sym, Alt o Alt = Alt, ► Sym o Alt = Alt o Sym = 0T£(vn)- Je-li tedy tenzor již symetrický, resp. antisymetrický, další symetrizace, resp. antisymetrizace, jej nezmění. Věta také ukazuje význam faktoru -7 ve výrazech pro symetrizaci a antisymetrizaci. Kdyby tento faktor v definici chyběl, rovnosti v první odrážce by neplatily. Stejné vlastnosti platí pro symetrizaci a antisymetrizaci kontravariantních tenzorů. V případě obecných tenzorů, tj. typu (p, q), lze nezávisle provádět symetrizaci a antisymetrizaci jak v kovektorových, tak ve vektorových argumentech. Uvedeme typické příklady symetrických a antisymetrických tenzorů s fyzikálním významem. PŘÍKLAD: Metrický tenzor 0 metrickém tenzoru jsme se už stručně zmínili v úvodu. Obecně se jedná o veličinu, která umožňuje „měřit vzdálenosti" v prostorech daného typu. Názorně bychom v případě vektorových prostorů, také mohli hovořit o „odlehlosti vektorů". Obecně je kovariantní metrika na Vn regulární symetrický kovariantní tenzor druhého řádu g G S^Vn), tj. 1) g(a, b) = g(b, a) pro libovolné vektory a, b E Vni 2) g(a, a) 0 pro libovolný nenulový vektor a E Vn, a g(0Vn, 0Vn) = 0. Při vyjádření v bázích a ve složkách g = giJe'®ej, gji = gij, g(a, b) = gija'fiJ, l ěr + r2 + r2 sin2 0 ě*\ Na kulové ploše fC o poloměru R je souřadnice r = R konstantní, takže bázi tvoří dva vektory a ě^. Metrika indukovaná na (dvojrozměrné) ploše K (trojrozměrnou) euklidovskou metrikou je gK = R2 ěů + R2 sin2 0 ě*\ PŘIKLAD: Kontravariantní metrika, „cvičení" s indexy Kontravariantní metrikou odvozenou od kovariantní metriky g = gij e' ® e7 rozumíme tenzor g G Sq(Vn), g = g'J e-, ® ej, kde matice (g'j) a (gy), 1 < /, j < a?, jsou navzájem inverzní a báze (e1, ..., en) je duální k bázi (ei, ..., en). Proveďme formální operace (s využitím právě uvedené souvislosti matic (g'J) a (gu) a symetrie tenzoru g): (gikgJI) gki = (ŕgki) gJI = s] gJI = gJi = g\ (gikgji) gkl = gik (gjigkl) = gik (gjiglk) = giktf = g^ Tím jsme ukázali příklad tzv. zvedání a snižování indexů pomocí metriky. Tyto operace lze zobecnit a z tenzorů daného řádu typu (p, q) vytvářet tenzory téhož řádu, obecně typu (p + r, q — r), —p < r < q. ÚKOL: Necht r G ^(Vn). Ověřením transformačních vztahů dokažte, že pro veličiny faro složkách ry = gikgjirkl, (t'Y; = giktkj platí f G 7^2(Vn), r' G T^Vn). Formulujte a řešte další takové úkoly pro tenzory 2. řádu, úvahy zobecněte. PŘIKLAD: Tenzor elektromagnetického pole Světlo je elekromagnetické vlnění a jeho rychlost ve vakuu je zároveň mezní rychlostí pro přenos hmoty, energie a signálu. Musíme pracovat ve čtyřrozměrném časoprostoru V4 s Minkowského metrikou g = gap ea®eP,0A°, -A\ -A\ -A3) Ä G V4* ve fyzice značíme Ä ~ (A0, -A) = (A°, -A) (i když se toto „historické" značení poněkud vymyká dosavadní logické symbolice). Tenzor elektromagnetického pole zavedeme, budeme-li zkoumat pohybovou rovnici nabité částice v elektromagnetickém poli o elektrické intenzitě E = E(ŕ, r) a magnetické indukci B = 6(ŕ, r), ct ~ (x°), r ~ (x1, x2, X3), — = q E + g(V x 6), E = — grad——, B = rot A. dt dt kde (ŕ, ř), resp. /4(ŕ, ř) je skalární, resp. vektorový potenciál elektromagnetického pole. Zavádíme tzv. čtyřpotenciál A ~ (c , —/4) a definujeme antisymetrické výrazy a/3 dx« dxp' které se, jak lze ukázat, transformují jako složky antisymetrického kovariantního tenzoru druhého řádu. Zapisujeme je do matice F í 0 c-iEi c-xE2 c'1E3 \ _C-1E1 0 -b3 B2 -c-'E2 e3 0 -B1 \ -c-'E3 -B2 B1 Veličina F = Fapea Cg e13 se nazýva tenzor elektromagnetického pole. r UKOL: Ukažte, že pro A E V* (prvek Minkowského časoprostoru), /\ ~ (c- 0, >4) splňuje veličina F transformační vztahy pro tenzory typu (0, 2), tj. F G A^^). Pomocí operace zvednutí indexů Minkowského metrikou g zapište do matice složky Fa/3 = gaig^5F1$ odpovídající veličiny F. Dále prověřte, že pro tenzor elektromagnetického pole platí dFai + dF^ + ^ = ^ 0 < ^ < 3< <9x <9x^ Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Abychom dospěli k souvislosti tenzoru elektromagnetického pole s pohybovou rovnicí nabité částice v tomto poli, potřebujeme ještě pojem čtyřrychlost a čtyřhybnost. Uvědomme si, že v časoprostoru s Minkowského metrikou je invariantem časoprostorový interval (viz Úvod) Jeho infinitesimální tvar je ds = ^c2 (dr)2 - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2 = dx dř + dy ďř + dz ďř cdř. nebo při zápisu (cř, x, y, z) = (x°, x1, x2, x3) ds = 1 - dx1 ďx° + 'dx2 + dx3\2" dx V V dx° dx o Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Výraz je čtverec rychlosti častice. Dostávame ds = c\l 1 - ^ dt = c\/l - P2 dŕ, P = ^ dp dp ds dp dŕ ds dŕ ds Pozor! Nespleťte si index /3 s právě zavedeným faktorem /3. Čtyřrychlost a čtyřhybnost částice definujeme vztahy u ~ ([7°, Ú) 1 7 5 1-/32 cVl-/3 p = mcu. u ~ (uq. — u), p = mcu. □ iS1 Relativistická pohybová rovnice částice má potom tvar mé— = qF(yľJu\ UKOL: Přímým výpočtem (dosazením do výchozí pohybové rovnice) odvod te relativistickou pohybovou rovici nabité částice. PRÍKLAD: Tenzor energie-hybnosti Tenzor energie-hybnosti je zaváděn jako symetrický kontravariantní tenzor na prostoru V4. s Minkowského metrikou takto: Tap = ^ UysF^F^6 + ^FlSF^ , 0 < a, /3, 7, S < 3, kde no je magnetická permeabilita vakua. Je to elegantní tenzorový zápis, ale není z něj vidět souvislost s „klasickými" trojrozměrnými charakteristikami pole f a 8. UKOL: Zapište do matice 4x4 složky tenzoru energie-hybnosti pomocí složek veličin 1 / r2 w = - ( so E H-- + — šA , Š = —E x B ~ (S1, S2, S3) (7// = So E;Ej H--B/By - l/l/5/y, 1 < /, j < 3, MO kde 1/1/ je hustota energie elektromagnetického pole, S je Poyntingův vektor (měří tok elektromagnetického pole) a a je Maxwellů v tenzor napětí. Při výpočtech pozor na dolní a horní polohu indexů. Tak třeba B ~ (B°, B) = (B°, B\ B2, B3), ale B ~ (B0, -6) = (B0, Bi, B2, B3), Ba = gcxpB13. Nakonec by vám mělo vyjít T = f w c-'s1 c-'S2 c-'S3 \ c (TU (712 013 c -Js2 O\2 (722 (723 \ c -'s3 C13 0"23 <733 Už veríte, že tenzory jsou ve fyzice všude? Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Vnější součin, objemový element Vnější součin je v podstatě antisymetrizovaný tenzorový součin. Motivace je následující: Mějme dva antisymetrické tenzory r G f\°a(Vn) a a G f\°s(Vn). Jejich tenzorový součin r (8) a G 7^+s(\/n) obecně není antisymetrický - antisymetrie je zaručena pouze v prvních q vektorových argumentech a posledních s vektorových argumentech, ale záměna argumentu z první q-tice a druhé s-tice není nijak specifikována. Obecně je tedy pro 1 < / < q a q + l a) -T I c I VĚTA: Vlastnosti vnějšího součinu Necht n, r2, r G Aj(\/„), e2 - e2 e1)^, a2) = -(e^i) e2(a2) - e2(ai) e1(a2)) = e1 A e2(ai, a2) = v ;'Alt (e1 e2)(ai, a2) = l = 2! • -[(e1 e2)(ai, a2) - (e1 e2)(a2, ai)] = - a^a?. Platí e1 A e2 = e1 (g) e2 — e2 (g) e1, obecně e' A e7 = e' (g) e7 — e7 (g) e'. Tenzory e' A e7 jsou dvojnásobky prvků báze prostoru A2(^?), s níž jsme pracovali na str. 57 a 58. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory Soubor {e' A e7}, 1 < / < j < n, je, jak vyplýva z předchozího závěru, rovněž bází v podprostoru A^í^")- Tato báze se používá nejčastěji, také při ní zůstaneme. Nerovnost / < j ovšem komplikuje použití Einsteinovy sčítací symboliky. Tenzor r by v takové bázi měl být zapsán takto: r= Yl rť/e/Ae', l e./) = 2! •T/c/4(e/C(e/)e/(ey)-e^(ey)e/(e/)) = 1!1! 2! = TfcKtfíj - í/íl) = T;j - Ty, = 2T,j = -2Tj; Až na faktor 2 dostáváme vyčíslením tenzoru na prvcích báze definičního oboru Vn x Vn odpovídající složku v indukované bázi tenzorového prostoru. Lineární a multilineární algebra Téma 9: Tenzory VETA: Báze v prostoru /\°JVn) Soubor {e'1 A ... A eiq}, 1 < /"i < je báze v podprostoru f\°q(Vn) C l~£(Vn). Alternativní zápisy ve složkách: < iq < n, T E f^...^ e'1 A ... A e'q l