Věta 13.9 (Cauchyovy-Riemannovy podmínky): Předpokládejme, ze funkce f (z) = = u(x,y) + iv(x,y) je definovaná na otevřené množině D C C. Funkce má derivaci v bodě zq E D práve tehdy, jsou-li funkce u(x,y) a v(x,y) v bodě z^ = xq + iyo diferencovatelné a platí
du{x,y)
dx
dv(x,y)
&y
du{x, y)
(3:0,3/0)
dy
dv(x,y)
(zo,3/o)
dx
(13.13)
Vztahy (13.13) se nazývají Cauchyovy-Riemannovy podmínky.
V první části důkazu vyjdeme z předpokladu, ze funkce f (z) má derivaci v bode zD a označme Re/'fo) = A Im/(2b) = B. Platí
/(z) ~ /(*) ^
z-^o z — Z0
f(z0) = lim
[im /(^)-/(^)-Azo)(z-20) = Q
(13.14)
Počítejme čitatele posledního zlomku:
/(^-/(^)-/'(2o)(^-2o) =
= [u(a;5 y) + ííj{:ľ, y)] - [tífio, ito) + i^o, yo)] - ca + LB) [(1 - xq) + i(y - y0) = [u(x, y) - u(x0, y0) - A(x - x0) + B(y - y0)] + + i[v(xzy) - v(x0,ya) - A(y- y0) - B(x - z0)] .
Definujme pomocí reálné a imaginární části získaného výrazu dvě funkce proměnných (x — xa) a (y ~ Vo)
n(x- x0,y- po) r2{x- x0,y-y0)
u(x, y) - u(x0, yQ) - A(x - x0) + B(y - y0) yj(x-xaf + (y-y0)2
v{x, y) - vjxp, y0) - A(y - y0) - B(x - x()) yj{x- x0)2 + (y- í/o)2
a počítejme limitu těchto funkcí pro z —ŕ- zq, tj. (x, y) —ŕ- (^"í/d)- Ze vztahu (13.14) a s využitím předposlední a poslední vlastnosti ve větě 13.4 postupně plyne
lim
2—>so
f(z)-f(z0)-f(z0}(z-zQ)
= 0
lilu
(z,l/)->{zn,wO
z - z0
Tl(x-xQ,y-y0}+ÍT2(x-x0,y-yo) = 0,
lim     1^(2; -x0,y- y0) = 0,        lim     r2(x -x0,y-y0) = Q-
{x,y)-*{xa,ya} (z,if)-*(zo>yo)
Pro funkce u (x, y) a, v (x, y) tedy nakonec platí
u(x, y) - u(xQ, yo) = A(x - xQ) + (-B)(y - yQ) +
+ ri (x - x0, y-yD)^(x- x0)2 + (y- yo)2 , v(x, y) - v(xq, y0) = B(x - x0) + A(y - yo) + + r2(x -x0,y- yD)^f (x - x0)2 + {y- y0)2 ,
kde
lim     n (z - x0,y - y0) = 0,      lim     r2(x - x0, y - ya) = 0.
Tento výsledek neznamená nic menšího, než že funkce u(x, y) a v(x,y) jsou diferencovatelné v bodě (x0,y0). Plyne z nej i další důležitý záver.
A =
dx
-B =
í^a,yo)
y)
B =
dv(x,y) dx
A =
í^n,yo)
dy
Každé z čísel A a B je předchozími vztahy vyjádřeno dvěma způsoby. Z nich je platnost Cau-chyových-Riemannových podmínek již zřejmá.
Při důkazu obrácené implikace předpokládáme, že funkce u(x, y) a v(x, y) jsou v bodě (x0, Vo) diferencovatelné a platí Cauchyovy-Riemannovy podmínky. O značíme- h
A =
B
du(x,y)
dx dv(x,y)
dv(x,y)
dx
(zn>va)
Í3>n,ya)
dy
du(x, y)
(13.15)
snadno již dokážeme, že platí
^/(«>-/(»)_ A + u,.
z->zo _ z0
takže číslo .4 + iB má význam derivace funkce /(í) v bodě íq- (Důkaz sami dokončete.)