1 Úloha - riešenie
Napíšme pohybovú rovnicu pre j-tý atóm
j : m
d2xj
dt2
= −K(xj − xj−1) − K(xj − xj+1) (1)
Potenciálna energia systému je daná nasledovne
U(x1, x2, ..., xN ) =
1
2
K
N+1
j=1
(xj − xj−1)2
. (2)
Ďalej prepíšme pohybovu rovnico ako
m
d2xj
dt2
= −
∂U
∂xj
= −K(xj − xj−1) − K(xj − xj+1) (3)
1.1 Upevnené konce lineárneho retiazku
m
d2xj
dt2
= −K(xj − xj−1) − K(xj − xj+1) = K(xj−1 − xj + xj+1) pre x0 = xN+1 = 0
1 : m
d2x1
dt2
= K(x0 − x1 + x2) = K(−x1 + x2)
2 : m
d2x2
dt2
= K(x1 − x2 + x3)
.
.
.
j − tý : m
d2xj
dt2
= K(xj−1 − xj + xj+1)
.
.
.
N − 1 : m
d2xN−1
dt2
= K(xN−2 − xN−1 + xN )
N : m
d2xN
dt2
= K(xN−1 − xN + xN+1) = K(xN−1 − xN )
Nasledujúce rovnice vedú na systém obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorý má nasledujúci maticový
zápis
m
d2
dt2









x1
x2
.
.
.
xN









=









2K −K 0 . . . 0
−K 2K K 0 . . 0
0 −K 2K −K 0 ... 0
0 0 0 . . . 0
0 0 . . −K 2K −K
0 0 0 . . −K 2K


















x1
x2
.
.
.
xN









⇒ m
d2x
dt2
= − ˆKx. (4)
Požadujeme harmonické riešenia tejto sústavy v tvare
x(t) = ε exp[−iωt]. (5)
1
Dosadením vyššie predpokladaného riešenia dostaneme
m
d2x
dt2
= −mω2
ε exp[−iωt]
−mω2
ε exp[−iωt] = − ˆKε exp[−iωt]
mω2
ε = ˆKε
( ˆK − mω2 ˆI)ε = 0
Vidíme, že problém skonvergoval k nájdeniu vlastných čísel a vlastných hodnôt matice ˆK. Riešenie je
možné diskutovať vzhľadom k charakteru nájdených vlastných hodnôt. Obecné riešenie je dané ako 1
x(t) =
N
λ=1
ελRe[Cλ exp(−iωt)] = ... =
N
λ=1
ελRe[Aλ cos(ωλt) + Bλ sin(ωλt)] (6)
1.2 Voľné konce
Opäť zapíšeme potenciálnu energiu takéhoto retiazku ako
U(x) =
1
2
K[(x1 − x2)2
+ (x2 − x3)2
+ ... + (xN−1 − xN )2
] (7)
1.3 Upevnené konce lineárneho retiazku
1 : m
d2x1
dt2
= K(x1 − x2)
2 : m
d2x2
dt2
= +K(x1 − x2) − K(x2 − x3)
.
.
.
j − tý : m
d2xj
dt2
= K(xj−1 − xj) − K(xj − xj+1)
.
.
.
N − 1 : m
d2xN−1
dt2
= K(xN−2 − xN−1) − KK(xN−1 − xN )
N : m
d2xN
dt2
= K(xN−1 − xN )
Maticovo zapísané ako
d2x
dt2
= − ˆKx, (8)
1
Kroky medzi rovnosťami sú nechané na riešiteľovi aby si zopakoval prácu s goniometrickými funkciami
2
kde ˆK je dané ako
ˆK =









K −K 0 . . . 0
−K 2K K 0 . . 0
0 −K 2K −K 0 ... 0
0 0 0 . . . 0
0 0 . . −K 2K −K
0 0 0 . . −K K









(9)
Opäť uvažujeme harmonické riešenie tohoto systému,
x(t) =
N
λ=1
ελRe[Cλ exp(−iωt)],
a teda riešenie sa redukuje na nájdenie vlastných čísel a vlastných vektorov takéhoto retiazku v tvare
( ˆK − mω2 ˆI)ε = 0. (10)
3
1.4 Periodické okrajové podmienky
Okrajovú podmienku zadávame v tvare xN+1(t) = x1(t). Opäť aplikujeme výpočet pomocou potenciálnej
energie
U(x) =
1
2
N+1
j=2
(xj−1 − xj)2
.
1 : m
d2x1
dt2
= −K(x1 − x2) + K(xN − x1)
2 : m
d2x2
dt2
= K(x1 − x2) − K(x2 − x3)
.
.
.
N − 1 : m
d2xN−1
dt2
= K(xN−2 − xN−1) − K(xN−1 − xN )
N : m
d2xN
dt2
= K(xN−1 − xN ) − K(xN − x1)
Maticovo zapísané ako
d2x
dt2
= − ˆKx, (11)
kde ˆK je dané ako
ˆK =









2K −K 0 . . . −K
−K 2K K 0 . . 0
0 −K 2K −K 0 ... 0
0 0 0 . . . 0
0 0 . . −K 2K −K
−K 0 0 . . −K 2K









(12)
Opäť uvažujeme harmonické riešenie tohoto systému,
x(t) =
N
λ=1
ελRe[Cλ exp(−iωt)],
a teda riešenie sa redukuje na nájdenie vlastných čísel a vlastných vektorov takéhoto retiazku v tvare
( ˆK − mω2 ˆI)ε = 0. (13)
4
2 Záver
• Pre pevné konce retiazku dostaneme N vlastných hodnôt a N príslušných vlastných vektorov.
Takúto situáciu nazývame normálové módy. Sústava je nedegenerovaná.
• Voľné konce. Riešením vlastného problému dostaneme opäť N vlastných hodnôt ale najnižšiafgrekvencia,
ktorú dostaneme je ω1 = 0, táto frekvencia zodpovedá translačnému pohybu celého
retiazka.
• Periodické okrajove podmienky. Obdobne riešením vlastného problému získame vlastné frekvencia
kmitov a zodpovedajúce vlastné vektory. Najnižšia frekvencia je opäť ω1 = 0 a opäť
zodpovedá translačnému pohybu retiazku. Narozdiel od vyššie uvedených prípadov dostávame
dvojnásobnú degeneráciu, a to vďaka tvaru matice tohoto systému.
2.1 Grafické zobrazenie výsledkov
0 5 10 15 20 25 30
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
K = 1.0, m = 1.0, N = 30, BC = 0
Obr. 1: Graf vlastnej frekvencie na poradí atómu v retiazku. Okrajová podmienka pre pevné konce
retiazku.
5
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
K = 1.0, m = 1.0, N = 30, BC = 1
Obr. 2: Graf vlastnej frekvencie na poradí atómu v retiazku. Okrajová podmienka pre voľné konce.
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
K = 1.0, m = 1.0, N = 30, BC = 2
Obr. 3: Graf vlastnej frekvencie na poradí atómu v retiazku. Okrajová podmienka periodické okrajové
podmienky.
6