ZMMF 3 – Domácí úkol z algebry tenzorů
(1) Ve vektorovém prostoru nV jsou v bázi 1 2 3( , , )e e e zadány vektory 1 2 3, ,a a a složkami takto:
1 2 3~ (2, 1, 0), ~ ( 1, 3, 2), ~ ( 2, 0, 3)a a a     . Duální báze (indukovaná báze v prostoru
*
nV ) je 1 2 3
( , , )e e e . Vyplňte následující tabulku hodnot ( , )ka a
1 1( , )a a 1 2( , )a a 2 1( , )a a 2 2( , )a a 3 1( , )a a 1 3( , )a a 2 3( , )a a 3 2( , )a a 3 3( , )a a
1 1
e e
1 2
e e
2 1
e e
2 2
e e
3 1
e e
1 3
e e
2 3
e e
3 2
e e
3 3
e e
1 1
e e
1 2
e e
2 1
e e
2 2
e e
3 1
e e
1 3
e e
2 3
e e
3 2
e e
3 3
e e
(2) Dokažte, že soubor  
1
1
2
i j j i
i j n
e e e e
  
 
   
 
tvoří bázi v tenzorovém prostoru 0
2 ( )nS V
(symetrické tenzory) a soubor  
1
1
2
i j j i
i j n
e e e e
  
 
   
 
tvoří bázi v 0
2( )nV
(antisymetrické tenzory). Dále dokažte, že soubor  1
i j
i j n
e e
  
 tvoří rovněž bázi v 0
2( )nV .
(3) V zápisech 1 1
1 1
11
k k
k k
k
i ii i
i i i i
i i n
e e e e  
   
      najděte vztah mezi
složkami 1 11 1( < < ) a ( , , libovolné)k ki i k i i ki i i i  .