Teoretická mechanika Úlohy ke cvičení
Harmonický oscilátor Vyjděte z Principu nejmenší akce a nalezněte funkci popisující časovou závislost
polohy harmonického oscilátoru. Nepoužívejte Euler-Lagrangeovu rovnici. (Pondělní
skupina do 23. října, čtvrteční do 19. října.)
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným
vrcholovým úhlem α o hmotnosti M, která se také může bez tření pohybovat po
vodorovné podložce. Nalezněte všechny pohybové rovnice a zachovávající se veličiny. (Pondělní
skupina do 30. října, čtvrteční do 26. října.)
M
m
α
g
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnici(-e) pro sférické kyvadlo, tj. pro hmotný bod
m na niti konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat
horizontální elipsu. Dále určete, které fyzikální veličiny se zachovávají, vypočtěte je, a přímým
výpočtem dokažte, že tomu tak skutečně je. Lze tento problém převést na 1-D integraci? Jak
by vypadal efektivní potenciál pro kyvadlo v posluchárně F2 a rozumné cvrnknutí? (Pondělní
skupina odevzdává do 6. a čtvrteční do 2. listopadu.)
m
l
φ
θ
Druhý a třetí Keplerův zákon Mějměž izolovanou soustavu dvou hmotných bodů se vzájemnou
interakcí úměrnou pouze jejich vzdálenosti V (r). Vezměte všeobecně známý Lagrangián a:
a) Odvoďte druhý Keplerův zákon (zákon ploch) na základě oné přidružené a zjevně se zachovávající
veličiny.
b) Ukažte, že třetí Keplerův zákon vyjádřený obecně1
T2
a3
= 4π2 µ
k
,
lze pro Slunce a Zemi s redukovanou hmotností
1
µ
=
1
Ms
+
1
ML
,
a označením k = GMsML zapsat ve tvaru T2 = a3, kdy velkou poloosu a vyjadřujeme v
astronomických jednotkách a periodu T v rocích. Dále spočtěte vzdálenost středu Slunce
od středu hmotnosti soustavy Slunce — Země a vyjádřete ji v poloměrech Slunce Rs.
(Pondělní skupina odevzdává do 13. a čtvrteční do 9. listopadu.)
1Do 7.11. a 17h byla pravá část uvedena nekorektně jako 2π µ/k. Thx BM+PS za odhalení.
1
Hamiltonián tajemného systému Mějmež Lagrangián
L =
1
2
mq2
+
1
2
kq2
.
Spočtěte Hamiltonián, vypočtete Hamiltonovy rovnice. Tyto rovnice vyřešte a pro jistotu, užijte
oba možné způsoby. Nakreslete fázový portrét. O jaký se jedná systém? (Pondělní skupina odevzdává
do 20. a čtvrteční do 16. listopadu.)
V elektromagnetickém poli Předpokládejme, že Lagrangián pro nabitou částici v elektromagnetickém
poli jest
L =
1
2
mv2
− eΦ +
e
c
v · A, [cgs]
kde e je elektrický náboj a v rychlost částice ve skalárním Φ(x, y, z, t) a vektorovém A(x, y, z, t)
potenciálu. Vztah mezi nimi a magnetickou či elektrickou intensitou je
B = × A, E = −
1
c
𝜕A
𝜕t
− Φ. [cgs]
Odvoďte pohybovou rovnici pro tuto částici, a dokažte, že na ni pole působí silou
F = e E +
v
c
× B . [cgs]
Dále vypočtete Hamiltonián a zobecněnou hybnost. Všechny vztahy jsou uvedeny v systému
jednotek cgs, je-li vám bližší SI, bez obav jej užijte.
Nápověda: totální časová derivace obecné funkce G(x, y, z, t) podél dráhy částice je
dG
dt
=
𝜕G
𝜕t
+ v · G.
Možná též shledáte užitečnou identitu a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c aplikovatelnou na
vektory i jejich gradienty. (Pondělní skupina odevzdává do 27. a čtvrteční do 23. listopadu.)
Tenzor deformace a napětí Posunutí bodů rovinného tělesa při deformaci je dáno vektorem u =
(ux, uy, uz)T = −Ax + By, Bz, Cy
T
. Určete:
(a) tenzor deformace včetně členů vyšších řádů,
(b) načrtněte, nebo vykreslete na počítači, vektorové pole u(x, y, z) v jednotlivých rovinnách,
(c) popište deformaci slovně,
(d) rozdělte tenzor deformace na objemovou a smykovou část,
(e) vypočtěte relativní změnu objemu,
(f) dochází-li ke smyku, určete smykový úhel,
(g) sestavte tenzor napětí,
(h) vyčíslete veličiny z (e)—(g), pro A = 1/1000, B = 2/1000, C = 3/1000, a hodnoty elastických
koeficientů: K = 107 Pa, µ = 106 Pa.
(Pondělní skupina odevzdává do Barborky a čtvrteční den po Mikuláši.)
Poissonův poměr Nalezněte vhodný materiál a předmět (s vhodnou strukturou, mající malý Youngův
modul, příhodný tvar a velikost), vystavte ho působení síly, a zdokumentujte, fotograficky či
měřením, změny jeho tvaru. Odhadněte Poissonův poměr tohoto materiálu. (Pondělní skupina
odevzdává do 11. a čtvrteční do 14. prosince)
Kosmická trubice Kosmická stanice je tvořena dlouhou trubkou o vnitřním poloměru R1 a vnějším
R2, jež byly změřeny před startem. Určete o kolik se změní vnější poloměr trubky po vynesení na
oběžnou dráhu Země. Předpokládejte, že stěny trubice jsou tvořeny homogenním materiálem
popsaným konstantami E a σ. (Pondělní skupina odevzdává do 18. a čtvrteční do 21. prosince)
2