Ústav fyziky kondenzovaných látek
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
Fyzikální praktikum 4
LED spektra
Cíle úlohy
Souvislost mezi voltampérovou charakteristikou a spektry LED diod. Obdobná souvislost
mezi napětím na rtg lampě a spektrem brzdného rtg záření.
LED charakteristiky
První soustavné měření Planckovy konstanty provedl v roce 1912 Robert Millikan, který proslul
především svým měřením elementárního náboje, při kterém pozoroval pohyb nabitých kapiček
oleje v elektrostatickém poli. Hodnotu Planckovy konstanty h = 6.57·10−34 J s stanovil na základě
pečlivého sledování fotoefektu na povrchu kovů ve vakuu [2].
Pro přibližné určení hodnoty Planckovy konstanty v této úloze praktika využijeme souvislost
mezi charakteristickým napětím nutným pro rozsvícení svítivé diody (LED) a barvou vyzařovaného
světla. Takto lze nalézt hodnotu Planckovy konstanty s chybou v řádu desítek procent.
Jako ostatní typy diod je i LED založena na PN přechodu mezi polovodičem typu P a typu N.
Při styku těchto dvou polovodičů se po ustavení rovnováhy na rozhraní vytvoří ochuzená oblast
– vrstva prostorového náboje, která zabraňuje pronikání majoritních elektronů a děr rozhraním.
Přiložíme-li k PN přechodu napětí v propustném směru, umožní dodatečné elektrostatické pole
nositelům náboje snadněji překonat ochuzenou oblast a PN přechodem začne protékat proud. V
obou oblastech (P i N typu) polovodiče se tak dynamicky zvýší koncentrace minoritních nositelů,
které mají tendenci rekombinovat s majoritními nositeli. Pro výrobu LED se volí polovodiče
s přímým zakázaným pásem o vhodné šířce (GaAs, Ga1−xAlxAs, GaP, GaN), které umožňují
zářivou rekombinaci ve viditelném oboru vlnových délek, případně v blízké IR či UV oblasti.
vodivostnixpas
valencnixpas
Pxtyp Nxtyp
Eg
elektrony
diry
Šířka zakázaného pásu přímo souvisí s energií fotonů vyzařovaného světla i s voltampérovou
charakteristikou diody, což přináší vzájemný vztah mezi těmito dvěma charakteristikami LED.
LED spektra 2
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
I(mA)
U (V)
Uf Uf
Obrázek 1: V-A charakteristiky červené a modré LED diody s vyznačením napětí Uf .
Nyní tento vztah rozebereme kvantitativně a ukážeme, jakým způsobem je možné jej využít k
přibližnému stanovení hodnoty Planckovy konstanty.
Ideální dioda má voltampérovou charakteristiku, tj. závislost proudu I protékajícího diodou
na napětí U na ni přiloženém, danou Shockleyho rovnicí
I(U) = Is exp
eU
kBT
− 1 , (1)
kde Is je saturační proud, e elementární náboj, T teplota a kB Boltzmannova konstanta. Saturační
proud závisí na šířce zakázaného pásu (podrobný rozbor lze nalézt např. v učebnici [1]), což vede
na přibližnou rovnici
I(U) ≈ B exp −
Eg − eU
kBT
, (2)
kde B je konstanta určená dopováním a geometrií přechodu. V praktiku je k dispozici série vysoce
svítivých diod s přibližně stejnými parametry (např. maximální pracovní proud asi 20 mA), u
nichž lze očekávat, že se vyznačují přibližně stejnou hodnotou konstanty B.
Pro vyšší proudy tekoucí diodou je její voltampérová charakteristika ovlivněna stejnosměrným
odporem diody R
I(U) = Is exp
e(U − RI)
kBT
− 1 . (3)
Odtud můžeme pro vysoké proudy odvodit aproximativní vztah pro voltampérovou charakteristiku
I(U) =
0 pro U < Uf
U−Uf
R pro U ≥ Uf
, (4)
kde energii eUf můžeme přibližně položit rovnu šířce zakázaného pásu eUf ≈ Eg. Energie vyzařovaných
fotonů je přibližně rovna šířce zakázaného pásu Eg, což určuje frekvenci a vlnovou délku
emitovaného záření: hf = hc/λ = Eg
Uf ≈
hc
e
λ−1
, (5)
odkud můžeme snadno určit Plackovu konstantu.
Úkoly
1. Stanovíme vlnové délky záření jednotlivých LED ze série pomocí difrakční mřížky.
2. Změříme voltampérové charakteristiky LED.
LED spektra 3
3. Z voltampérových charakteristik jednotlivých LED odečteme Uf a sestrojíme graf závislosti
Uf na λ−1, z něhož lze získat hodnotu konstanty hc/e.
Měření vlnové délky pomocí interference na Newtových sklech
Teorie
K měření vlnové délky světla se použije interferenční jev na tenké vzduchové mezeře mezi rovinnou
skleněnou deskou a čočkou o poloměru R na ni položenou. Při pozorování v odraženém nebo
v prošlém světle vidíme střídající se světlé a tmavé kruhové proužky s rostoucím poloměrem
r, tzv. Newtonovy kroužky. Na styku kulové čočky s rovinnou skleněnou deskou se čočka i deska
nepatrně deformují a z bodového kontaktu S vznikne plošný kruhový kontakt, který se v odraženém
světle projeví jako tmavá a v prošlém světle jako světlá kruhová ploška, tzv. Hertzova skvrna, jejíž
poloměr a/2 závisí na přítlačné síle. Situace v rovině řezu je na obrázku 3.
Předpokládáme, že rovinná monochromatická vlna o vlnové délce λ dopadá kolmo na rovinnou
lámavou plochu čočky postupuje ke kulové lámavé ploše, kde se částečně odráží a s opačnou fází
postupuje zpět. Část vlny postupuje dále vzduchovou mezerou a na rozhraní vzduch deska se bez
změny fáze částečně odráží a se stejnou fází postupuje zpět. V bodech na kružnici o poloměru r
se středem v bodě dotyku čočky s deskou to ukazují tři paprsky: vstupující „0“ a dva odražené
„1“ a „2“. Vystupující vlny interferují a výsledná intenzita závisí na rozdílu fází vln, respektive na
dráhovém rozdílu obou odražených paprsků. Podle obrázku je dráhový rozdíl ∆ paprsků „1“ a „2“
s ohledem na změnu fáze roven
∆ = 2∆r +
λ
2
(6)
Minimum intenzity světla nastane na kružnicích o poloměrech rk, pro které je dráhový rozdíl roven
lichému násobku λ/2, tj.
∆ = (2k + 1)
λ
2
, resp. ∆rk = k
λ
2
, (7)
kde k = 1, 2, . . . . je řád minima. Velikost vzduchové mezery ∆r mezi čočkou a deskou ve vzdálenosti
r od bodu dotyku S určíme z geometrie:
(R − ∆r − ∆a)2
+ r2
= R2
(8)
(R − ∆a)2
+
a
2
2
= R2
(9)
Výšku kruhového vrchlíku ∆a vzniklého deformací kulové plochy čočky určíme z (9) za předpokladu,
že 2R ≫ ∆a
∆a =
a2
8R
(10)
Za předpokladu, že 2R ≫ ∆r + ∆a obdržíme z rovnice (8)
2R(∆r + ∆a) = r2
a použitím (10) získáme pro poloměr kružnice r, na které je velikost vzduchové mezery ∆r
r2
= 2R∆r +
a2
4
(11)
Jestliže velikost vzduchové mezery vyhovuje rovnici (7) získáme pro poloměry kružnic rk s minimem
intenzity světla rovnici
r2
= λRk +
a2
4
(12)
LED spektra 4
0.0
0.5
1.0
400 450 500 550 600 650 700
I[a.u.]
λ [nm]
white
0.0
0.5
1.0
I[a.u.]
blue
0.0
0.5
1.0
I[a.u.]
pure green
0.0
0.5
1.0
I[a.u.]
green
0.0
0.5
1.0
I[a.u.]
yellow
0.0
0.5
1.0
I[a.u.]
red
Obrázek 2: Emisní spektra LED různých barev, které jsou k dispozici v praktiku. U LED označených
jako „white“ a „pure green“ vyzařuje vlastní PN přechod na vlnových délkách v modré až
UV oblasti a výsledné barvy je dosaženo fosforescencí.
LED spektra 5
Obrázek 3: Schématický nákres interferujících paprsků na Newtových sklech.
Z rovnice (12) vyplývá, že druhá mocnina poloměru tmavého kroužku je lineární funkcí řádu
minima k. Vyneseme-li závislost (12) do grafu, získáme rovnici přímky (Y = r2
k a X = k)
Y = A + BX (13)
a z konstant A, B můžeme určit vlnovou délku a poloměr Hertzovy skvrny:
λ =
B
R
a
2
=
√
A (14)
Chceme-li určit pouze vlnovou délku můžeme ji určit z rozdílu druhých mocnin dvojic poloměrů
rk a rn podle (12) takto:
λ =
r2
k − r2
n
R(k − n)
(15)
Postup měření
Pro měření poloměrů Newtonových kroužků použijeme mikroskop s horním osvětlením a měřícím
okulárem. Dvě čočky o stejném poloměru křivosti jsou uloženy v kovovém přípravku s válcovým
otvorem, do kterého se volně zasunuje objektiv mikroskopu tak, aby bylo možné interferenční
kroužky zaostřit. V takovém případě je velikost vzduchové mezery dvojnásobná oproti uspořádání
čočka-planparalelní destička. Rovnice (12) pro poloměry kružnic rk s minimem intenzity potom
přejde na vztah
r2
=
1
2
λRk +
a2
4
(16)
a vztah (14) pro určení vlnové délky ze směrnice přímky na
λ =
2B
R
a
2
=
√
A. (17)
Podobně vztah (15) pro určení vlnové délky z rozdílu druhých mocnin dvojic poloměrů rk a rn
přejde na:
λ = 2
r2
k − r2
n
R(k − n)
(18)
Z rovnice (16) vyplývá, že druhá mocnina poloměru tmavého kroužku je lineární funkcí řádu
minima k. Pro osvětlení můžeme použít sodíkovou výbojku nebo luminiscenční diodu. Protože
mikroskopem určíme poloměry Newtonových kroužků v dílkách stupnice okuláru, je třeba nejdříve
LED spektra 6
určit pomocí testovacího sklíčka zvětšení mikroskopu Z = y′/y, kde y je vzdálenost vrypů na
testovacím sklíčku v µm a y′ je vzdálenost vrypů v dílkách. Skutečnou velikost Newtonových
kroužků v µm určíme jako rk = r′
k/Z. Při měření postupujeme tak, že vložíme přípravek na
stolek mikroskopu zaostříme interferenční kroužky a jemným pohybem přípravku nebo stolečku
mikroskopu umístíme kroužky do středu zorného pole. Velikosti kroužků určujeme ze dvou krajních
poloh na kroužku, jejichž rozdíl určuje průměr kroužku. Postupujeme od nejmenšího k největšímu
kroužku tak, jak to umožní stupnice okuláru.
Poznámka:
Pro určení vlnové délky světla potřebujeme znát poloměr křivosti lámavé plochy čoček R.
Pokud její hodnota není známá, nebo není uvedena s dostatečnou přesností, ale máme k disposici
zdroj monochromatického záření o známé vlnové délce, např. sodíkovou výbojku s vlnovou délkou
λ = 589,30 nm, můžeme měřením poloměrů Newtonových kroužků poloměr čočky R z rovnic (16)
nebo (18) určit.
Úkoly
1. Sestavte přípravek s čočkou a deskou, vložte jej do objektivu mikroskopu, zaostřete interferenční
proužky a umístěte střed kroužků do středu zorného pole mikroskopu. Ověřte funkci
měřícího okuláru a případně zaostřete stupnici čočkou okuláru.
2. Osvětlete vzorek diodou LED (je napájena přes regulační odpor z baterie o napětí 4,5 V) a
proměřte průměry všech kroužků v rozsahu stupnice. Určete vlnovou délku LED.
3. Z výsledků měření 1 a 2 určete průměr a Hertzovy skvrny.
Brzdné rtg záření
Teorie
intenzita
vlnová délka
Obrázek 4: Spektrum rtg záření jako součet spojitého a charakteristického spektra.
Dopadající elektron vybudí v materiálu antikatody rtg záření, jehož spektrum má spojitou a
čarovou složku, obr. 4.
Brzdné záření
Spojitá složka rtg spektra vzniká zabrzděním dopadajícího elektronu v materiálu antikatody
– brzdné záření. Energie fotonu brzdného záření je maximální, přemění-li se celá kinetická energie
dopadajícího elektronu na energii fotonu. Pro minimální vlnovou délku (hranu) spojitého spektra
platí
λmin =
hc
eU
≈
1, 2394
U
, [kV, nm] (19)
LED spektra 7
kde U je urychlující napětí v rtg lampě. Maximální intenzitu má brzdné záření pro vlnovou délku
zhruba od 1, 5 λmin do 1, 8 λmin (hodnota závisí i na typu rentgentky).
Postup měření
rtg svazek
analyzátor
2θ(λ)
I(λ)
detektor
Obrázek 5: Schéma energiově citlivého měření s krystalovým analyzátorem.
Spektrum se měří pomocí difrakce kolimovaného záření na monokrystalu (analyzátoru), viz
obr. 5. Při daném úhlu θ mezi dopadajícím zářením a krystalografickou rovinou dochází na této
rovině k difrakci pro vlnovou délku spektra, pro niž je splněna Braggova difrakční podmínka
(kubické krystaly)
2a sin θ = λ
√
N, N = h2
+ k2
+ l2
. (20)
Závislost difraktované intenzity na úhlu θ naměřená otáčením krystalu se tedy dá převést na
závislost intenzity záření na vlnové délce. Přitom je třeba uvážit vliv superpozice vyšších řádů
difrakce na analyzátoru.
Budeme tedy měřit spektrum jako závislost intenzity na Braggově úhlu analyzátoru, který
poté přepočteme na vlnovou délku. Závislosti proměříme pro sérii napětí na rentgence a proudem
ji protékajícím. Analyzujeme závislosti minimální vlnové délky a maximální intenzity spojitého
spektra, a maxim charakteristického spektra. Provedeme měření s vloženým niklovým filtrem a
analyzujeme jeho vliv na spektrum.
Experimentální vybavení
Rtg zdroj s měděnou, molybdenovou a wolframovou antikatodou, goniometr, analyzační monokrystal
LiF (mřížková konstanta 4,028 Å, rovina povrchu (001)), ionizační detektor rtg záření
(mrtvá doba τ = 90 µs), řídící počítač.
Doporučený postup a úkoly pro měření
Student má tři týdny na provedení měření. Doporučený postup:
• První a druhý týden – spektra a voltampérové charakteristiky LED diod. Spektra lze měřit
několika způsoby: vláknový spektrofotometr, Newtonova skla, jednoduchý spektroskop.
• Třetí týden – spektrum brzdného rtg záření v závislosti na napětí na rtg lampě.
Výstupem praktika budou prezentovány vyučujícímu naměřené závislosti ve formě grafů a
naměřené hodnoty, včetně odhadu nejistot, pokud je to možné a vhodné.
Literatura:
[1] S.M. Sze: Physics of semiconductor devices, John Wiley and Sons Inc., New York (1981).
[2] R.A. Millikan, Phys. Rev. 7, 355 (1916)