Vysoké učení technické v Brně
ÚVOD DO TEORIE DISLOKACÍ
Tomáš Kruml
Jean-Pierre Michel
verze 2020
OBSAH
1. Úvod...........…………………………………………………………………..………...3
2. Mechanismus plastické deformace......….………………………….……..……4
3. Geometrické vlastnosti dislokací.....................………………….……………10
4. Pole napětí vytvářené dislokacemi.................………………………………..18
5. Energie dislokace..........…………………………………………………………...21
6. Tah v dislokační čáře…....………………………………………………………….23
7. Síly působící na dislokace…………………………………………………………..25
8. Pohyb dislokací...................……………………………………………………….26
9. Multiplikace, interakce a anihilace dislokací...................………………...29
10. Parciální dislokace.....……………………………………………………………..32
11. Pozorování dislokací……............………………………………………………..35
Shrnutí………………………………………………………………………………….….48
Literatura.....………………………………………………………………………………49
Přílohy..…………………………………………………………………………………....50
3
1. ÚVOD
Dislokace představují jednu kategorii poruch krystalové mříže.
V konstrukčních materiálech jsou vždy přítomny ve velkých koncentracích a
mají vliv na řadu jejich vlastností. Mechanické vlastnosti materiálů jsou
dislokacemi ovlivňovány způsobem zcela zásadním.
Plastická deformace kovů a slitin za pokojové teploty je nejčastěji
uskutečňována skluzovým pohybem dislokací. Další známé mechanismy
plastické deformace, jako je dvojčatění nebo fázová transformace, také úzce
souvisí s pohybem dislokací.
Vino Volterra v roce 1907 začal systematicky studovat vlastnosti
lineárních krystalových poruch, které nazýval distorze. Termín dislokace
zavedl F.C. Frank. Velký pokrok v porozumění role dislokací ve fyzice
pevných látek byl učiněn ve třicátých letech, mezi jinými díky Taylorovi a
Orowanovi, bez přímého důkazu existence dislokací. Zavedení transmisní
elektronové mikroskopie v padesátých letech konečně umožnilo přímé
pozorování dislokací, provedené jako prvními Hirschem, Bollmanem a
Heidenreichem.
Nejprve odhadneme velikost napětí potřebného ke smykové deformaci
dokonalého krystalu a ukážeme nezbytnost zavedení konceptu dislokací
(kapitola 2). Poté popíšeme geometrické a krystalografické vlastnosti
dislokací (kapitola 3). Krystalová mřížka kolem dislokace je deformovaná a
tak vzniká kolem dislokace pole napětí; k vytvoření dislokace je tedy třeba
jisté energie (kapitoly 4 a 5). Koncept tahu v dislokační čáře vyjadřuje snahu
přírody o minimalizaci energie (kapitola 6). V kapitolách 7 a 8 budeme
studovat, jak pohyb dislokací závisí na poli napětí a na teplotě. Hustota
dislokací může růst (hovoříme o multiplikaci) nebo klesat (anihilace, ztráta
dislokací na povrchu, kapitola 9). Také zjistíme, že jádro dislokace je obecně
rozštěpené (kapitola 10). Experimentální metody používané pro pozorování
dislokací jsou popsány v poslední kapitole.
Nepodceňujte prosím cvičení, které neslouží jen k procvičování, nýbrž
jejich řešení obsahuje často nové a důležité poznatky, které se v hlavním
textu již neopakují. Pokud je nevyřešíte sami, podívejte alespoň se na jejich
řešení na konci skript.
Poznámka : Anglické ekvivalenty jsou psané italikou.
4
2. MECHANISMUS PLASTICKÉ DEFORMACE
Pozorování povrchu polykrystalického vzorku vyrobeného z plasticky
deformovatelného kovu jako je Cu nebo Al, pečlivě vyleštěného a následně
deformovaného zkouškou v tahu za pokojové teploty, přineslo tyto dva
zajímavé výsledky :
 deformace se uskutečňuje uvnitř zrn (intragranulárně);
 jeden nebo zřídka i více systémů rovnoběžných čar se objevuje uvnitř
zrn (obr. 2.1, 2.2). Čáry přitom často sahají od jedné hranice zrna ke
druhé (obr. 2.3).
Každá čára je ve skutečnosti ostrý stupeň o výšce jedné nebo více
meziatomových vzdáleností vytvořený na povrchu krystalu.
Krystalografickým studiem bylo zjištěno, že tyto skluzové čáry (slip bands)
jsou stopy kompaktních rovin (rovina {111} u fcc, {0001} u hcp, obr. 2.4)
nebo rovin hustě obsazených atomy (rovina {011} u bcc, {11 2 0} u hcp apod.).
To ukazuje, že plasticita se uskutečňuje smykovou deformací podél hustě
obsazených krystalografických rovin, které jsou nazývány skluzové roviny
(slip planes). K plastické deformaci dochází tehdy, pokud smykové napětí 
(shear stress) ve skluzové rovině a ve směru skluzu (slip direction) dosáhne
určité hodnoty nazývané kritické skluzové napětí (critical shear stress). c je
funkcí materiálu, jeho mikrostruktury a experimentálních podmínek (T,  ).
Obrázek 2.1 Skluzové čáry na povrchu monokrystalu Si, orientovaného pro
jednoduchý skluz (single slip), světelná mikroskopie (light microscopy, J.P.
Michel).
5
Obrázek 2.2 Skluzové čáry na povrchu monokrystalu Ni3Al (jednoduchý
skluz, mikroskopie atomárních sil (atomic force microscopy), C. Coupeau).
Obrázek 2.3 Skluzové čáry u bikrystalu křemíku. Oba systémy skluzových
čar se stýkají na hranici zrna (grain boundary) (světelná mikroskopie, J.P.
Michel).
6
Obrázek 2.4 Schéma monokrystalu plasticky zdeformovaného zkouškou v
tahu. Povrch krystalu, původně hladký, obsahuje několik skluzových čar
díky smykové deformaci podél hustě obsazených rovin (znázorněných šedou
barvou), ve směru vektoru b

, který také souvisí s krystalografií mřížky a
nezávisí na vnější geometrii vzorku.
2.1 Teoretické napětí nutné ke smyku monokrystalu
Zkusme odhadnout velikost c potřebného ke smykové deformaci
dokonalého krystalu. Uvažujme pro jednoduchost mřížku kubickou prostou
a smykovou rovinu {100} (obr. 2.5).
Obrázek 2.5 Smyková deformace o velikosti jednoho mřížkového parametru
dokonalého krystalu s kubickou prostou mřížkou.
7
Označme jako W(x) energii vztaženou na jednotku plochy, nutnou ke
smykové deformaci podél osy x. W(x) je minimální vždy, když přesunutí x
horní části krystalu vzhledem k dolní je násobek mřížkového parametru: x =
0, a, 2a …, tedy když atomy v mřížce jsou vzájemně v rovnovážné
konfiguraci. W(x) je tedy periodická funkce s periodou a. Výpočty s využitím
kvantové mechaniky jsou využívány pro výpočet W(x) a teoretické hodnoty
napětí nutného pro elementární smykovou deformaci th pro jednotlivé prvky.
Řádově správný odhad th můžeme získat jednoduchou úvahou.
Předpokládejme W(x) ve tvaru (viz také obr. 2.6):
a
x
cosWW)x(W


2
10
Smykové napětí nezbytné k deformaci x je rovno směrnici závislosti W(x):
 
a
x2
sinW
a
2
dx
dW
x 1

  (1)
Parametr W1 můžeme určit v okolí x = 0, kde můžeme funkci sin nahradit
jejím argumentem a použít Hookův zákon:
 
a
x
G
a
x
W
a
x 


22
0 1
odkud určíme W1:
21
4

a
GW (2)
Z rovnice 1 nebo obr. 2.6 vidíme, že (x) nabývá maximální hodnoty pro x =
a/4. Tato maximální hodnota se nazývá teoretické smykové napětí
(theoretical shear stress) th :
0.16
2
th
G
G

  (3)
Zpřesněné výpočty, uvažující nejlepší známé aproximace W (x) poskytují
th zhruba stejné hodnoty jako (3), stejně jako výpočty využívající aparát
kvantové mechaniky a nacházející th nejčastěji okolo hodnoty
     th  0.10 G (4)
8
Obrázek 2.6 Průběh konfigurační energie W mezi dvěma částmi krystalu
vzájemně posunutými o x.
V tabulce 1 jsou uvedeny vypočtené hodnoty th a hodnoty kritického
smykového napětí c naměřeného u čistých, vyžíhaných monokrystalů
některých prvků. Je zřejmé, že experimentálně zjištěná hodnota c je o
několik řádů menší než vypočtená hodnota th. Tento nesoulad dokazuje, že
smyková deformace reálných krystalů se neuskutečňuje mechanismem
uvažovaným na obr. 2.5.
Kov c z experimentu
[MPa]
G
[GPa]
zlomek th/c
th vypočtené z (4)
 Fe 28 84.7 300
Al 0.9 27.7 3 100
Ni 2.6 78.5 3 000
Cu 1.4 46.4 3 300
Zn 0.2 37.9 19 000
Ti 14 40.6 290
Mg 0.4 17.7 4 400
Be 1.4 150 11 000
Co 6.5 76.3 1 200
Ag 0.4 29.4 7 400
Au 0.5 28.2 5 600
whisker Fe 1.1 104 (lom) 84.7 0.77
Tabulka 1. Srovnání experimentálně změřených (za pokojové teploty) a
teoreticky vypočtených hodnot kritického skluzového napětí podle rovnice
(4).
9
Poznámky:
1. Teoretická hodnota kritického smykového napětí je horní hranicí pevnosti
materiálu a nemůže být nikdy překročena, protože je dána pevností atomové
vazby.
2. Skutečná hodnota napětí, při kterém se reálný krystal začíná plasticky
deformovat, závisí na mnoha faktorech (čistota prvku, predeformace, velikost
zrna ...) a může se měnit v rozsahu několika řádů (vždy ovšem musí být
menší než th).
3. Whiskery jsou tenká vlákna speciálně připravená tak, že neobsahují žádné
lineární poruchy krystalové mříže (eventuálně s výjimkou středové šroubové
dislokace, kolem které whisker roste). U whiskerů dochází k lomu při
napětích srovnatelných s th. V tabulce 1 je lomové napětí pro whisker Fe
dokonce vyšší než th. To můžeme vysvětlit dvěma způsoby: buď rovnice (4)
neplatí příliš dobře pro Fe, nebo experiment nebyl proveden správně.
4. Kromě th lze také vypočítat napětí, které je zapotřebí k přerušení vazeb
jednosměrným tahem. Tato veličina je nazývána ideální kohezní pevnost.
Zcela obdobný výpočet jako jsme provedli pro th vede k odhadu ideální
kohezní pevnosti ≈ 0.1 E (např. pro Fe jsou udávány hodnoty nad 20 GPa).
Je zajímavé, že napětí potřebné k přerušení vazeb ideálního krystalu je tedy
v obou případech rovno asi desetině příslušného modulu.
2.2 Dislokační skluz
Představme si krystal, který obsahuje defekt v podobě vložené
poloroviny atomů do jinak dokonalé mřížky (obr. 2.7). Okraj poloroviny může
být považován za lineární (čarovou) poruchu krystalu – dislokaci
(dislocation). Při působení smykového napětí se dislokace může krystalem
pohybovat. Když dislokace dosáhne povrchu krystalu, vytvoří na něm schod
o velikosti jednoho mřížkového parametru, stejně jako v případě obrázku 2.5.
Obrázek 2.7 Smyková deformace dokonalého krystalu s kubickou prostou
mřížkou pomocí skluzu jedné dislokace.
10
Energie, kterou je nutné vynaložit v daném okamžiku pro pohyb
dislokace, je taková, která je nutná k přerušení atomových vazeb podél
dislokace a jejich navázání na sousední řadu atomů. Je tedy výrazně nižší,
než v případě smykové deformace mechanismem z obr. 2.5, který
předpokládal současné přerušení vazeb podél celé skluzové roviny.
Předpoklad, že plastická deformace je způsobena skluzem dislokací,
přednesli v roce 1934 Taylor s Orowanem a nezávisle na nich i Polanyi.
2.3 Analogie
Je snazší přemístit koberec tak, že přesunujeme záhyb z jednoho konce
na druhý, než táhnout celý koberec současně po podlaze. Někteří živočichové
používají podobnou techniku při svém pohybu (obr. 2.8).
Obrázek 2.8 Analogie mechanismu plastické deformace dislokačním
skluzem: postupné přemísťování po částech je často snazší než současný
pohyb celého předmětu nebo živočicha.
3. GEOMETRICKÉ VLASTNOSTI DISLOKACÍ
Dislokaci v původně dokonalé krystalové mříži můžeme vytvořit
následujícím fiktivním postupem:
1) dokonalý krystal nařízneme podél roviny ABCD (obr. 3.1a).
2) Přesuneme horní část krystalu vzhledem k dolní části o vektor a

tak, jak je znázorněno na obr. 3.1b.
3) Atomové vazby jsou znovu navázány podél přímky AD, avšak v okolí
přímky BC vznikne defekt v pravidelném uspořádání atomů. Atomy
ležící na přímce BC například nemohou navázat jednu atomovou
11
vazbu. Rozměr tohoto defektu ve směru BC je mnohem větší než ve
směrech kolmých k BC; hovoříme proto o lineární nebo čarové
poruše. Defekt na obr. 3.1 se nazývá hranová dislokace (edge
dislocations). Název vznikl proto, že tuto dislokaci si můžeme
představit jako hranu vložené atomové poloroviny.
Pokud přemístění a

zvolíme jako rovnoběžné s AD (obr. 3.1c), vznikne
lineární defekt nazývaný šroubová dislokace (screw dislocation), protože v
okolí přímky BC vytvářejí atomové roviny šroubovici. Tento typ poruchy
předpověděl v r. 1939 Burgers.
Ve skutečnosti nemusí být linie BC přímková. Pokud je zakřivená tak,
jako na obr. 3.1d, na jednom okraji krystalu rozeznáme hranový dislokační
segment (E) a na druhém okraji šroubový segment (S). Zakřivená část
dislokace mezi (E) a (S) se nazývá smíšená dislokace (mixed dislocation).
Obrázek 3.1 Vytvoření dislokace v dokonalém krystalu (fiktivní
mechanismus); b) hranová dislokace; c) šroubová dislokace; d) smíšená
dislokace.
Poznámka:
Dislokace tedy není reálný objekt, nýbrž pouze lineární porucha
v pravidelném uspořádání atomů v krystalové mřížce.
12
3.1 Burgersův vektor a vektor dislokační čáry
Dislokaci v dané krystalické struktuře plně charakterizují dva vektory:
Burgersův vektor b

(Burgers vector) a vektor dislokační čáry d

(dislocation
line).
Vektor dislokační čáry d

je jednotkový a bezrozměrný vektor tečný
k dislokaci v daném bodě. Orientaci tohoto vektoru je nutné zvolit (neexistuje
pravidlo, podle kterého by bylo možno orientaci tohoto vektoru určit).
Burgersův vektor b

je vektor přemístění, jednotka [m]. Nejčastěji se určuje
pomocí konvence FS/RH (Finish – Start, Right Hand) tímto způsobem:
1) Zvolíme orientaci vektoru dislokační čáry d

.
2) Zvolíme libovolnou uzavřenou křivku, která spojuje jednotlivé atomy a
obchází jádro dislokace v kladném směru vzhledem k d

(palec pravé
ruky orientovaný ve směru d

, prsty ukazují kladný směr – odtud
"right hand"); tato křivka se nazývá Burgersův okruh (Burgers circuit).
3) Zrekonstruujeme zvolenou křivku z bodu 2 v dokonalém krystalu.
Počáteční bod označíme S (= "start"). Tento okruh nebude uzavřený a
jeho koncový bod označíme F (= "finish"). Vektor FS se nazývá
Burgersův vektor (obr. 3.2).
Orientace vektoru b

závisí na volbě orientace d

; na obrázcích 3.1b – 3.1d
bude vektor b

buďto identický s a

nebo opačný k a

.
Obrázek 3.2 Určení Burgersova vektoru podle konvence FS/RH. a) uzavřená
křivka kolem jádra dislokace, b) stejná křivka zrekonstruovaná v dokonalém
krystalu.
Charakter dislokace (dislocation character): nazývá se tak úhel mezi vektory
d

a b

(charakter nabývá hodnot jen mezi 0° a 90°). Jestliže úhel mezi d

a b

je např. 30° (nebo 150°), hovoříme o dislokaci s charakterem 30° nebo o "30°
dislokaci".
13
Skluzová rovina (slip plane, glide plane): je to rovina, ve které leží oba vektory
d

a b

.
Dislokační skluz (dislocation slip nebo glide): je pohyb dislokace, pro který
není nutná difuze atomů (viz obr. 2.7).
Cvičení 1.
1. Na obr. 3.2 ověřte, že orientace b

bude opačná, pokud zvolíme
opačnou orientaci vektoru d

.
2. Ověřte, že hranová dislokace (obr. 3.1b nebo obr. 3.2) má charakter
90° a že šroubová dislokace (obr. 3.1c) má charakter 0°.
3. Nakreslete dislokaci na obr. 3.1d při pohledu shora a najděte
dislokační segment s charakterem 60° (řešení obr. 3.3b).
4. Prostudujte obr. 3.3a. Ověřte, že :
- v každém sloupci je stejný počet atomů v horní i spodní vrstvě,
- přemístění atomů horní vrstvy je vždy rovnoběžné s vektorem a

,
- ve směru rovnoběžném s a

, horní vrstva je deformovaná v kompresi a
spodní vrstva v tahu (orientace d

libovolná),
- vektor dislokační čáry je kolmý na a

v případě hranové dislokace,
paralelní s a

pro šroubový segment a leží mezi těmito dvěma extrémy
pro smíšenou dislokaci.
Obrázek 3.3 a) Dislokace z obr. 3.1d při pohledu shora. o : atomy z atomové
roviny pod skluzovou rovinou, ve které leží dislokace,  : atomy z horní
vrstvy. b) Schématický náčrt dislokace.
14
3.2 Vlastnosti vektorů d

a b

a) dislokační čára
Dislokace nemůže mít počátek ani konec uprostřed krystalu. Dislokace může
končit (začínat) na:
 povrchu krystalu
 hranici zrna
 precipitátu, vměstku, kavitě apod.
 jiné dislokaci
 může vytvářet uzavřenou dislokační smyčku.
b) Burgersův vektor
 b

je stejné podél celé dislokace a nezávisí na zvoleném Burgersově
okruhu.
 Jestliže b

je vektor spojující dva uzlové body krystalové mřížky, mřížka
po průchodu dislokace zůstává nezměněná. Taková dislokace se
nazývá úplná dislokace (perfect dislocation).
 Jestliže b

není vektorem spojujícím dva uzlové body, atomy v
poloprostoru nad skluzovou rovinou nejsou na stejných místech před
a po průchodu dislokace (připomínáme, že b

je relativní přemístění
částí krystalu pod a nad skluzovou rovinou). Porucha v pravidelném
uspořádání atomů leží v rovině skluzu a je planární (rovinná); nazývá
se vrstevná chyba (stacking fault). Takové dislokace se nazývají
částečné nebo parciální (partial dislocations) a jejich pohyb je
energeticky náročnější než pohyb úplných dislokací, protože k
vytvoření vrstevné chyby vznikající při pohybu je třeba dodatečné
energie.
 Pokud se jedna dislokace rozštěpí na dvě (anebo z opačného pohledu,
když dvě dislokace zrekombinují na jedinou), Burgersův vektor se
zachovává (obr. 3.4).
 Pokud Burgersův okruh obchází více dislokací, jejichž vektor dislokační
čáry je orientovaný do stejného poloprostoru, výsledný vektor b

je
součtem ib

jednotlivých dislokací (obr. 3.4). Toto pravidlo je zvykem
definovat jiným způsobem: součet Burgersových vektorů dislokací
stýkajících se v jednom uzlu je nula, pokud všechny id

směřují
směrem do uzlu:
0bi 

15
Obrázek 3.4 Při dislokačních reakcích se Burgersův vektor zachovává.
3.3 Skluzová a prizmatická dislokační smyčka
Na obr. 3.5 je ještě jednou znázorněna dislokace, kterou jsme již viděli
na obr. 3.1d a 3.3, tentokrát jako uzavřená smyčka uprostřed krystalu. Z
vlastností b

a d

uvedených výše vyplývá, že:
- šroubový segment, u něhož jsou orientace b

a d

shodné, tvoří
pravotočivý závit (viz také obr. 3.1c), a segment s antiparalelními b

a
d

závit levotočivý,
- dislokace leží v rovině, ve které leží i b

a d

, každá část dislokace se tedy
může v této rovině pohybovat skluzem a celá dislokace se nazývá
skluzová dislokační smyčka (glide dislocation loop). Pokud na smyčku
působí smykové napětí, smyčka může ve skluzové rovině expandovat
(anebo se smršťovat, podle orientace smykového napětí).
- polorovina, která vytváří hranovou dislokací, je pro oba hranové
segmenty vložená z opačných stran. Je to díky tomu, že vektor d

je
pro oba segmenty orientován opačně. Pokud bychom zvolili pro oba
segmenty stejně orientovaná d

, měly by opačné vektory b

.
Jedna z možností, jak může dislokační smyčka vzniknout v dokonalém
krystalu, je uvedena na obr. 3.6. Taková dislokační smyčka se nazývá
vakantní (nebo intersticiální) prizmatická smyčka (prismatic loop). V každém
jejím bodě je b

kolmé k d

, smyčka má tedy po celém svém obvodu hranový
charakter. Může se pohybovat skluzovým pohybem ve směru b

po válcové
ploše a přemisťovat tedy vzájemně vnitřní atomy válce o b

vzhledem k
atomům vně válce. Pokud tato smyčka vyjde na dokonale vyleštěný povrch
krystalu, vznikne na něm kruhový stupeň o výšce b

.
16
Obrázek 3.5 Skluzová dislokační smyčka.
Obrázek 3.6. a) Vlivem tepelné energie (= kmitům mřížky) v každém krystalu
vznikají vakance a intersticiály. b) Tyto bodové poruchy mohou migrovat
pomocí difuze krystalem a mohou tvořit shluky. c) Pokud vznikne větší shluk
vakancí v jedné krystalografické rovině, takováto kavita se může zbortit a
vytvořit prizmatickou dislokační smyčku. d) Tato smyčka má po celém
obvodu hranový charakter.
17
Poznámka: Dislokační smyčka, která by měla po celém obvodu šroubový
charakter, nemůže existovat.
Cvičení 2:
Které konfigurace z obrázků 3.7a-i jsou možné a které ne? C je kavita (nebo
precipitát), d je dislokace, okraje obdélníků jsou okraji krystalů (nebo
hranice zrn). Žádná dislokace nepokračuje nad nebo pod rovinu papíru.
Pravidla uvedená výše nestačí k vyřešení všech obrázků. Je navíc potřeba se
zamyslet, jestli je možné vytvořit znázorněnou konfiguraci přerušením vazeb
ideálního krystalu a přesunutím částí krystalu, případně expanzí dislokace z
bodového zdroje.
Obrázek 3.7 Které konfigurace jsou možné?
18
4. POLE NAPĚTÍ VYTVOŘENÉ DISLOKACÍ
Z obrázku 3.3 je zřetelné, že atomy v okolí jádra dislokace jsou
přemístěny ze svých rovnovážných mřížkových poloh dokonalého krystalu, že
vrstva nad skluzovou rovinou je zdeformována v kompresi a vrstva pod
skluzovou rovinou v tahu. Dislokace tedy ve svém okolí způsobuje přesunutí
atomů, deformaci materiálu a vznik pole napětí.
V klasickém přístupu (např. "bible dislokací", kniha Theory of
dislocations, autoři Hirth & Lothe), se používají rovnice odvozené pomocí
elasticity kontinua, tj. stejný přístup jaký je používán u typických úloh teorie
pružnosti. Bezpochyby je tento přístup dosti odvážnou aproximací
skutečnosti, protože zanedbáváme existenci jednotlivých atomů a
považujeme materiál za homogenní (a ještě hůře, často i izotropní)
kontinuum. Tento přístup také předpokládá, že deformace jsou malé, což je
pravda jen v dostatečné vzdálenosti od dislokace. Je proto zřejmé, že v
blízkém okolí dislokace tento přístup nelze použít. Srovnání výpočtů pozic
atomů pomocí elasticity kontinua a experimentálního pozorování jejich
skutečných poloh metodou HR TEM (high resolution transmission electron
microscopy) ukazuje, že přesnost výpočtů je (možná až překvapivě) dobrá až
do blízkosti 2-3 meziatomových vzdáleností od dislokace. Pomyslný válec
okolo dislokace, uvnitř něhož elasticita kontinua nelze použít, se nazývá
jádro dislokace (dislocation core) a jeho poloměr je často volen jako 3 b

nebo
dokonce jen b

.
Je možné použít komplikovanější přístupy, které se fyzikálně lépe blíží
popisované realitě. Tzv. molekulární dynamika (molecular dynamics)
považuje atomy za pevné koule (zanedbává tedy strukturu atomu – jádro a
obal) a počítá interakce mezi atomy na základě meziatomového potenciálu a
Newtonovské mechaniky (síla = –grad potenciálu). Výsledky jsou silně závislé
na volbě potenciálu, který je a priori neznámý.
Je také možné použít kvantovou mechaniku a počítat vlnové funkce a
pravděpodobnosti výskytu jednotlivých elektronů a jader pomocí
Schrödingerovy rovnice; tento přístup je nazýván "ab initio" nebo "výpočty z
prvních principů". Je nutné řešit soustavu diferenciálních rovnic pomocí
výkonných počítačů (stejně jako v případě molekulární dynamiky).
V těchto skriptech budeme pochopitelně používat pouze přístup
elasticity kontinua.
4.1 Šroubová dislokace
Uvažujme přímkovou šroubovou dislokaci a zvolme si osu z rovnoběžně
s dislokací, tedy  001d 

a  b00b 

(obr. 4.1). Složky vektoru přemístění
u

, tenzoru deformace  a tenzoru napětí  jsou uvedeny v příloze 1.
19
Obrázek 4.1 Šroubová dislokace; souřadnice ve shodě s přílohou 1.
Na údajích z přílohy 1 si povšimněte, že:
 relativní změna objemu 

 3
1i
ii
V
V
je v každém bodě nulová,
 ve válcových souřadnicích, pouze složka napětí 3 není nulová,
 napětí klesá s 1/r. Tento pomalý pokles napětí se vzdáleností
způsobuje, že pole napětí dislokace jsou "dlouhého dosahu".
 Pokud připustíme, že hranice použitelnosti elasticity kontinua je pro
deformace menší než 5 %, můžeme odhadnout poloměr jádra dislokace
r0:
050
4
3 .
r
b


   r0 = 1.7 b
4.2 Hranová dislokace
Prohlédněte si část přílohy 1, která se týká hranové dislokace
rovnoběžné s osou z a b

rovnoběžným s x (  001d 

a  00bb 

, obr. 4.2):
 relativní změna objemu 

 3
1i
ii
V
V
není nulová v každém bodě, ale
nulová je její střední hodnota,
 pole napětí je složitější než v případě šroubové dislokace (viz obr. 4.3);
znovu si povšimněte, že krystal je deformovaný v kompresi nad
skluzovou rovinou xz (tedy pro y > 0) a v tahu pod skluzovou rovinou
(oblast pod skluzovou rovinou a pod jádrem dislokace je ideální místo,
kde může být umístěn intersticiální atom).
20
Obrázek 4.2 Hranová dislokace; osy jsou zvoleny stejně jako v příloze 1.
Obrázek 4.3 Pole napětí v okolí hranové dislokace (b

rovnoběžné s x).
21
5. ENERGIE DISLOKACE
Dislokace je obklopena elasticky zdeformovaným objemem. Ve srovnání
s dokonalým krystalem je energie krystalu obsahujícím dislokace zvýšená o
energii spojenou s touto elastickou deformací.
Energii dislokace Wd můžeme rozdělit na energii jádra Wc a na energii
vně jádra, počítanou pomocí elasticity kontinua W:
Wd = Wc + W
Wc může být vypočítána pomocí molekulární dynamiky nebo výpočtů ab
initio; výsledkem je, že Wc tvoří 10 až 30% celkové energie dislokace.
Vypočtěme nejdříve elastickou část energie šroubové dislokace WS.
Jedná se o nejjednodušší případ, protože tenzor napětí  v okolí dislokace
obsahuje pouze jednu nenulovou složku,
r
Gb

 
2
3 (příloha 1). Energie W je
rovná práci nutné k vzájemnému přemístění dvou částí materiálu od 0 po b
ve směru b

podél roviny řezu, viz obr. 5.1. Pokud je toto přemístění rovno ℓ,
složka tenzoru napětí 3 má velikost:
r2
G
3

 

a tomu odpovídá síla
  drLF
R
r
 
0
3
kde r0 a R jsou vnitřní a vnější poloměr uvažovaného válce, L je jeho výška.
Energie dislokace se vztahuje na jednotku délky dislokace, tj. pro L = 1m.
Obrázek 5.1 Výpočet energie šroubové dislokace.
22
Práce A potřebná k přemístění o velikosti dℓ je  d)(FA  odkud získáme
celkovou práci integrací:
  

b R
r
ddr
r
G
WA
0 0
2










0
2
4 r
R
ln
Gb
WS (5)
Podobným způsobem lze vypočítat elastickou energii v okolí hranové a
smíšené dislokace:
dislokace hranová: 







0
2
41
1
r
R
ln
Gb
WE (6)
dislokace smíšená, charakter  














0
22
2
41 r
R
ln
Gbsin
cosWM (7)
Někdy se uvádí obecná rovnice, kde parametr K závisí na charakteru
dislokace a je zřejmý z rovnic 5-7:








0
2
4
1
r
R
ln
Gb
K
W (8)
V rovnicích 5 – 8 se skrývá problém, který trápí matematické puristy:
neexistuje jasná definice ani vnitřního poloměru r0 uvažovaného válce, ani
vnějšího poloměru R. Navíc, pro r0 jdoucí k nule nebo R jdoucí k nekonečnu
energie dislokace diverguje k nekonečnu. Abychom dostali konečnou a
vypovídající hodnotu W, je třeba r0 a R vhodně zvolit. Obvykle se používá i) r0
rovno b

nebo 3 b

a ii) R rovno poloviční střední vzdálenosti 2/x mezi
dislokacemi přítomnými v krystalu. Skutečně, pokud si představíme dvě
blízké dislokace s opačnými Burgersovými vektory (obr. 5.2), atomy v
polovině vzdálenosti mezi dislokacemi se nacházejí ve svých rovnovážných
polohách a uvedená volba R se zdá být správná. Hodnota střední vzdálenosti
mezi dislokacemi není za normálních okolností přesně známá, avšak W se s
R mění jen pomalu (r. 8). Proto se rovnice 5-8 uvádějí ve tvaru:
2
GbW  0.5 <  < 1 (9)
a je možné snadno ukázat, že pro běžné dislokační hustoty leží hodnoty
parametru  typicky mezi 0.5 a 1 (pro šroubovou i hranovou dislokaci).
23
Obrázek 5.2 Možný odhad hodnoty R z rovnice (8) a obrázku 5.1 je poloviční
střední vzdálenost mezi dislokacemi.
Poznámky:
1. Energie W v rovnicích (5) – (9) je energie dislokace jednotkové délky;
její jednotka je tudíž J/m, stejně jako pro jednotku síly Newton.
2. W v rovnici (9) je energie dislokace vně jádra dislokace. Pokud ovšem
uvážíme, že energie jádra je typicky 15% z Wd a že hodnota W je
zatížena značnou nejistotou (např. 2/x je často znám jen řádový
odhad), hodnota Gb2 se často používá pro celkovou energii dislokace.
3. W lze počítat také přímo ze znalosti  a  v okolí dislokace, podle
rovnice známé z teorie elasticity   ijijdU .
Cvičení 3:
Najděte nejvýhodnější Burgersovy vektory struktur fcc, bcc a hcp, z hlediska
jejich energie.
6. TAH V DISLOKAČNÍ ČÁŘE
V předchozí kapitole jsme odhadli velikost energie dislokace o
jednotkové délce. Samozřejmě, pokud dislokace zvětší svoji délku (např.
skluzová smyčka při expanzi), celková její energie vzrůstá přímo úměrně.
Tendence přírody k dosažení stavu o minimální energií se v případě krystalů
projevuje snahou o zkracování celkové délky dislokací. Tento efekt se odráží
v myšlenkové konstrukci nazývané "tah v dislokační čáře" (line tension),
která je výhodná při řešení problémů spojených s dislokačními reakcemi, jak
uvidíme ve cvičeních.
24
Tah v dislokační čáře (nebo též napětí v dislokační čáře) T

je vektor
tečný k dislokaci, tedy rovnoběžný s vektorem dislokační čáry d

. Jeho
velikost je rovna energii dislokace jednotkové délky Wd, její jednotka je
Newton (J/m):
d
d
GbT 2



 (10)
V literatuře se užívají dvě analogie, které mají ilustrovat podstatu tohoto
konceptu.
V prvním případě se předpokládá, že v dislokaci je skutečně tahové
napětí, podobně jako v napjaté gumičce. Tah v dislokační čáře je tedy síla,
kterou je nutno vynaložit, aby se dislokace udržela ve stejné konfiguraci po
jejím imaginárním přestřihnutí (obr. 6.1). Akceptujeme-li takovou představu,
je ihned jasné, že tah v dislokační čáře má tendenci udržovat dislokaci
přímkovou a vyrovnávat její případná zvlnění (předpokládáme izotropní
kontinuum), a také způsobuje smrštění a zánik skluzových dislokačních
smyček. Důležitý rozdíl mezi gumičkou a dislokací je v tom, že tah v
dislokační čáře nevzrůstá, pokud se dislokace prodlužuje.
Obrázek 6.1 Tah v dislokační čáře, jako síla nutná k udržení dislokace po
jejím myšleném přestřižení.
Druhá analogie přirovnává tah v dislokační čáře k povrchovému napětí
. Kapka vody, kapka rtuti na podložce nebo mýdlová bublina se snaží
zmenšit svůj povrch a minimalizovat tak svoji energii; okamžitě mění svůj
tvar na kouli. Setkáváme se zde se stejnou terminologickou obtíží jako
v případě tahu v dislokační čáře: hnacím principem je minimalizace energie,
avšak mluvíme o povrchovém napětí, i když jednotka  (J/m2) není ani
jednotkou energie, ani napětí.
25
7. SÍLY PŮSOBÍCÍ NA DISLOKACE
Je možné ukázat, že síla působící na dislokaci o jednotkové délce,
umístěné do pole napětí  , které vzniklo mimo danou dislokaci, je daná
rovnicí Peache & Koehlera (odvození viz příloha 2):
  dbF

 (11)
Síla F

je v každém bodě dislokace kolmá na dislokační čáru. Může být
rozložena na skluzovou složku (v rovině skluzu) a na složku, která způsobuje
šplh dislokace (kolmou k rovině skluzu).
Pole napětí může být způsobeno vnějšími silami působícími na krystal
nebo vnitřními defekty (dislokace, precipitáty, intersticiální atomy …).
Často se zajímáme jen o složku síly, která způsobuje skluz dislokace:
Fg = b (12)
kde  je smykové napětí v rovině skluzu a ve směru Burgersova vektoru
(tomuto směru se také říká směr skluzu). Fg je v každém bodě dislokace
kolmá na vektor dislokační čáry, ať je charakter daného dislokačního
segmentu jakýkoli. Protože podél celé dislokační smyčky je její Burgersův
vektor stejný, na všechny dislokační segmenty působí stejně velké síla (což je
možná na první pohled překvapující, obr. 7.1).
Obrázek 7.1 Vlivem smykového napětí 

skluzová smyčka expanduje (nebo
se smršťuje, v závislosti na orientaci b

a 

 ve všech směrech se stejnou
rychlostí (pokud použijeme předpoklad, že materiál je izotropní). Uvnitř
smyčky jsou atomy nad a pod skluzovou rovinou vzájemně přemístěny
smykem o vektor b

.
26
Cvičení 4: Dislokace je fixována v bodech A a B, obr, 7.2 (protože žádná
dislokace nemůže končit nebo začínat uprostřed krystalu, můžeme
předpokládat, že dislokace pokračuje mimo rovinu papíru). Nakreslete
rovnovážnou geometrii dislokace
a) bez napětí,
b) za působícího smykového napětí v rovině skluzu a ve směru skluzu b

.
Obrázek 7.2 Dislokace, která je fixována v bodech A a B.
Poznámky:
1) Je třeba si uvědomit jednotku Peach & Koehlerovy síly (N/m).
2) Rozpínání smyčky můžeme opět přirovnat k mýdlové bublině, rozpínané
všemi směry díky vnitřnímu tlaku.
3) Protože každý krystal je anizotropní, podmínka minimální energie
nekoresponduje nutně s minimální délkou dislokace bez napětí nebo s
tvarem části kružnice při působícím smykovém napětí. Často jsou
pozorovány dislokace ve tvaru několika přímých segmentů, místo tvaru části
kružnice (viz obrázky 11.4, 11.11).
8. POHYB DISLOKACÍ
Plastická deformace většiny pevných látek se uskutečňuje pohybem
dislokací. Dislokace se může pohybovat skluzem (slip, glide) nebo šplhem
(climb).
8.1 Skluz dislokací
Mechanismus popsaný na obr. 2.7 se jmenuje skluz. Skluz se může
uskutečňovat jen v rovině, která obsahuje vektory b

a d

. Takový pohyb
vyžaduje pouze přerušení a rekombinaci atomových vazeb se sousedními
atomy. Přemístění jednotlivých atomů je malé, menší, než mřížkový
parametr, a atomy jsou stále obklopeny stejnými sousedy. Objem materiálu
zůstává konstantní a tento pohyb se proto nazývá konzervativní.
Rychlost dislokací při skluzovém pohybu záleží silně na teplotě a
působícím smykovém napětí . Často se používá empirická rovnice
m
Bv  (13)
27
Exponent napětí m může nabývat pro různé materiály hodnot od 1 až po
zhruba 25; B roste exponenciálně s teplotou.
8.1.1. Skluzové roviny u struktur fcc, bcc a hcp
Energetické důvody determinují typy Burgersových vektorů u těchto tří
krystalových struktur (viz cvičení 3 na konci kapitoly 5). Uvažujme nyní
dislokaci v fcc mřížce s  011
2
a
b 

. Tato dislokace se může pohybovat
skluzem ve všech rovinách, které obsahují tento směr (roviny zóny  011 ):
např. (010), (111),  111 , (121), (313)…. Ve které z těchto krystalografických
rovin se bude dislokace pohybovat? Experimentální pozorování ukazuje, že
dislokační skluz probíhá po nejhustěji obsazených rovinách (počet atomů na
jednotku plochy je maximální v dané krystalografické soustavě), i když toto
pravidlo neplatí bez výjimek. Ve skriptech "Krystalová struktura pevných
látek" jsme uvedli, že rovina ideálně obsazená atomy je kompaktní rovina
{111} u fcc a {0001} u hcp; tyto roviny jsou skutečně nejčastějšími
skluzovými rovinami u těchto materiálů. Naopak, v případě mřížky bcc
neexistuje jedna krystalografická rovina, která by byla výrazně hustěji
obsazená atomy, než roviny ostatní; dislokace se pohybují po více typech
krystalografických rovin (tabulka 2).
Dvojice Burgersův vektor a skluzová rovina se nazývá skluzový systém
(slip system), krystalografický směr rovnoběžný s b

se nazývá směr skluzu
(slip direction).
mřížka Burgersův vektor rovina skluzu
fcc a/2 <110> {111}
hcp a/3 < 0211 > {0001}
často i  0011 nebo  0111
bcc a/2 <111> {110}, {112}, {123}
Tabulka 2. Nejčastěji pozorované skluzové systémy.
8.1.2. Příčný skluz
Představme si dislokační smyčku v fcc materiálu s  0112/ab 

,
pohybující se po skluzové rovině (111). Hranové a smíšené dislokační
segmenty mohou klouzat jen v rovině (111). Avšak šroubové segmenty mají
vektory b

a d

rovnoběžné, mohou tedy jako skluzovou rovinu použít
jakoukoliv rovinu z osy zóny b

. Protože dislokace v fcc se pohybují skluzem
téměř bez výjimky v rovinách {111}, studovaný šroubový segment může
klouzat také v rovině  111 (obr. 8.1). Změně skluzové roviny během skluzu
se říká příčný skluz (cross-slip) a je možný jen v případě šroubových
dislokací.
28
Obrázek 8.1 Příčný skluz u fcc mřížky
Cvičení 5:
Po průchodu jedné dislokace změnil krystal tvar z dokonalého kvádru tak,
jak je znázorněno na obr. 8.2. Co lze říci o b

a d

této dislokace?
Obrázek 8.2 Vzorek po průchodu jedné dislokace.
8.2 Šplh dislokací
Za zvýšených teplot (T > 0.5 TT, TT je teplota tání v absolutní stupnici) se
dislokace mohou pohybovat i mimo svojí skluzovou rovinu tzv. šplhem. Jde o
pomalý proces, ve kterém hraje roli přemísťování atomů mřížkovou difuzí.
Na obr. 8.3 vidíme dislokaci, která se nachází v takovém poli napětí, kde
xx je kladné (deformace v tahu podél osy x). Za této podmínky má dislokace
tendenci se přesunovat směrem dolů, ve směru -z

. Tento pohyb vyžaduje
difuzi atomů směrem od povrchu vzorku nebo od hranic zrn směrem k
29
dislokacím. Dislokace není přímková, tvoří se na ní stupně kolmé k rovině
skluzu, které se nazývají (jogs).
Pokud je xx záporné (komprese), dislokace je hnána pryč z krystalu
směrem vzhůru. Tento pohyb může být popsán jako proud vakancí
(vacancies) směrem k jádru dislokace, což je totéž jako difuze atomů od
hrany dislokace do krystalové mřížky.
Obrázek 8.3 Šplh hranové dislokace. j = jog.
Poznámka: pokud se na přímkové dislokaci vytvoří stupeň kolmý na
skluzovou rovinu, nazývá se anglicky jog. Pokud tento stupeň leží ve
skluzové rovině, nazývá se kink. V češtině se někdy používají výrazy stupeň a
ohyb.
9. MULTIPLIKACE, INTERAKCE A ANIHILACE
DISLOKACÍ
9.1 Dislokační hustota
Množství dislokací v krystalu je nejlépe charakterizováno nikoliv jejich
počtem, nýbrž jejich celkovou délkou v jednotkovém objemu. Tato veličina se
nazývá dislokační hustota  (dislocation density), definována podle vzorce :
30
V
N
1i
i


 (14)
Až na velmi vzácné výjimky, (whiskery, monokrystaly Si), všechny
krystalické látky obsahují značné množství dislokací. V případě kovů po
intenzivním tváření,  může dosahovat řádu 1017 m-2 (~ 106 krát vzdálenost
Země – Slunce v 1m3). Po dlouhém žíhání (annealing), dislokační hustota
může klesnout až někam k hodnotě řádově 108 m-2.
Dislokační hustota hraje velkou roli pro mechanické vlastnosti daného
materiálu a je tedy důležitou informací. Existuje několik metod pro její
měření, žádná ale není snadná ani přesná. Protože se dislokační hustota
může v reálném materiálu měnit o mnoho řádů, i méně přesná hodnota
může být cenná. Nejčastěji se dislokační hustota měří na snímcích
z transmisní elektronové mikroskopie. Na snímek se narýsuje systém
náhodně orientovaných přímek o celkové délce Lp. Spočítá se počet
průsečíků přímek a dislokací N. Dislokační hustota se pak vypočte
z přibližného vzorce 𝜌 =
2𝑁
𝐿 𝑝 𝑡
, kde t je tloušťka vzorku.
9.2 Multiplikace
Během plastické deformace, dislokace se přemisťují a množí
(multiplikují, multuplicate). Na obrázku 9.1 je znázorněn dislokační zdroj
podle Franka a Reada (Frank & Read source]. Existuje více možností, jak
dislokační hustota ve vzorku může narůstat, například expandující
dislokační smyčka prodlužuje svoji délku a tím i .
9.3 Interakce a reakce dislokací
V kapitole 4 jsme viděli, že dislokace kolem sebe vytváří pole napětí.
Jiné dislokace v jejím okolí jsou tímto napětím buďto přitahovány, nebo
odpuzovány silou Peach & Koehlera (r. 11); říkáme, že existuje silová
interakce (interaction) mezi dislokacemi.
Lze také argumentovat pomocí energie dislokací. Představme si, že dvě
dislokace 2b

a 3b

na obr. 3.4 se spojí v jednu a vytvoří dislokaci 1b

. Taková
reakce je možná a v deformovaných krystalech často probíhá. Víme, že musí
platit rovnost:
321 bbb


Srovnejme nyní energii oddělených dislokací : 2
3
2
232 GbGbW , 
s energií dislokace 1b

:
  32
2
3
2
2
2
32
2
11 bbG2bGbGbbGGbW


31
Obrázek 9.1 Dislokační zdroj Franka & Reada. Dislokace je uchycena ve
dvou bodech. Protože dislokace nemůže mít volné konce v krystalu, dislokace
musí pokračovat z těchto dvou bodů mimo rovinu papíru. Napětí  nutné k
jeho funkci je to, které je nutné k prohnutí dislokace v etapě 3, kdy poloměr
křivosti dislokace je minimální, rovný poloviční vzdálenosti mezi pevnými
okraji dislokace. Přemístění o b

proběhlo v šedě vybarvené zóně.
Znaménko u součinu 32bb

rozhoduje, zda je W1 větší či menší než W2,3 a tedy
o tom, zda je tato reakce (reaction) energeticky výhodná.
Dvě dislokace 2b

a 3b

, které se pohybují ve stejné skluzové rovině, se
přitahují, pokud W1 < W2,3 a odpuzují v opačném případě. Toto tvrzení však
neplatí bez výjimky pro dislokace, které se pohybují na různých skluzových
rovinách.
Je možné ukázat, že:
 dvě rovnoběžné dislokace se stejně orientovaným b

, pohybující se po
stejné skluzové rovině, se odpuzují a s opačně orientovaným b

se
přitahují (platí pro hranové i šroubové dislokace);
 dislokace jsou přitahovány k volnému povrchu krystalu;
 dislokace jsou přitahovány k rozhraní, pokud sousední materiál má
menší G než ten, ve kterém se dislokace nachází, a odpuzovány, pokud
sousední materiál má vyšší elastický modul ve smyku.
32
9.4 Anihilace
Anihilace (annihilation) je speciální případ interakce dvou dislokací,
které mají stejně velké a opačné Burgersovy vektory. V tom případě obě
dislokace zmizí, aniž by byla vytvořena třetí dislokace, což je evidentní ze
schématu na obr. 9.2:
b

+ (-b

) = 0
Obrázek 9.2 Anihilace dvou opačných hranových dislokací.
Cvičení 6:
Podívejte se znovu na obr. 9.1. Jak je možné, že dva segmenty stejné
dislokace vzájemně anihilují (fáze 6), když jsme v kapitole 3.2 uvedli, že
stejná dislokace musí mít po celé své délce stejný b

?
10. PARCIÁLNÍ DISLOKACE
Příklad na obr. 2.7 ukazuje hranovou dislokaci v kubické prosté mřížce,
která se v přírodě vyskytuje jen zřídka (jediný prvek krystalující v této mřížce
je polonium).
Situace v případě mřížky fcc je složitější (obr. 10.1). Vidíme, že roviny
kolmé na b

, tedy roviny  011 jsou tvořeny střídáním dvou vrstev:  a .
Protože b

dislokace na obrázku je roven translačnímu vektoru mřížky,
průchod dislokace nezmění nijak mřížku a nezavede do ní žádnou poruchu
(vrstevnou chybu); b

je tedy úplná dislokace. Všimněte si, že obě poloroviny
 i  musí být odstraněny a prostudujte tutéž konfiguraci na obr. 10.2.
33
Obrázek 10.1 Hranová dislokace v fcc mřížce, pohled shora. Skluzová rovina
(111) je rovnoběžná s rovinou papíru,  0112/ab 

,  1216/1d 

(d

je
jednotkový vektor).
Obrázek 10.2 Úplná hranová dislokace z obr. 10.1, pohled z boku. Skluzová
rovina je nyní kolmá k rovině papíru.
Z obrázků 10.1 a 10.2 intuitivně cítíme, že deformace a napětí v okolí
jádra dislokace jsou značné. Toto napětí může být sníženo, pokud se vložené
poloroviny  a  od sebe vzdálí o několik meziatomových vzdáleností (obr.
10.3, 10.4). Avšak u takto rozštěpené dislokace se objevuje nový mřížkový
defekt – mezi dvěma dislokacemi je pravidelné vrstvení kompaktních rovin
narušeno a vzniká tzv. vrstevná chyba (stacking fault, šedá zóna na obr.
34
10.4). Burgersovy vektory dvou dislokací nejsou translačními vektory mřížky
(nespojují sousední uzlové body); takovým dislokacím se říká parciální nebo
částečné (partial dislocations).
Obrázek 10.3 Hranová dislokace v fcc mřížce, rozštěpená na dvě
Schockleyho parciální dislokace, mezi kterými leží vrstevná chyba. Pohled
shora.
Obrázek 10.4 Rozštěpení úplné dislokace na dvě parciální Schockleyho
dislokace, oddělené vrstevnou chybou. Schématický pohled z boku.
Je pozorováno, že většina dislokací (mluvíme nyní o všech možných
mřížkách a dislokacích libovolného charakteru) jsou rozštěpené na dvě i více
částečných dislokací. Rovnovážná velikost rozštěpení d, tj. šířka pásu
35
vrstevné chyby v příkladě fcc mřížky a konfigurace na obr. 10.3 a 10.4 je
určena energií vrstevné chyby  (stacking fault energy):
d = Gb2 / 4
Pokud  je velké (př. Al,  = 170 mJ/m2, nejčastěji používaná jednotka je
miliJoule/metr čtvereční), rozštěpení je srovnatelné s b

. Pokud je  malá (př.
Ag,  = 22 mJ/m2, austenitická ocel,  = 10 - 15 mJ/m2), parciální dislokace
jsou vzdáleny desítky nm.
Parciální dislokace na obr. 10.3 se nazývají podle Shockleyho, jejich
Burgersův vektor je typu a/6 <112>.
Cvičení 7:
Dokažte, že rozštěpení úplné dislokace v fcc mřížce na dvě Schockleyho
dislokace je energeticky výhodné.
11. POZOROVÁNÍ DISLOKACÍ
Stručně se zde zmíníme o 3 metodách používaných k pozorování
dislokací.
11.1 Leptové důlky (etch pits)
Vhodně zvoleným leptadlem lze naleptat místa, kde dislokace vystupují
na povrch krystalu. Kolem dislokačního jádra jsou atomové vazby
deformované a oslabené a proto v těchto místech může leptadlo účinněji
rozrušovat atomové vazby a rozpouštět materiál. Na povrchu vyleštěného
krystalu tak vznikají malé krátery, kterým říkáme leptové důlky.
Postup:
 Co nejdokonaleji vyleštíme povrch vzorku.
 Ponoříme vzorek do chemického roztoku, který pomalu rozpouští daný
materiál. Některá leptadla narušují materiál přednostně v místech, kde
dislokace vystupují na povrch; je ovšem nutno se ujistit, že pro použité
leptadlo skutečně existuje jednoznačná korelace mezi leptovými důlky
a dislokacemi.
 Leptové důlky pozorujeme světelným mikroskopem, případně SEM či
AFM.
Výhody a omezení:
 Poměrně snadný experiment;
 Vhodné pro měření dislokační hustoty, zjištění typu skluzových rovin a
měření rychlosti dislokací;
 Použitelné jen pro nízké hodnoty   max ~ 1012 m-2;
 Není možné získat údaje ani o d

, ani o b

;
36
 Leptadla někdy fungují dobře jen pro určité krystalografické orientace
povrchu krystalu.
11.2 Rentgenová topografie (X-ray topography)
Rentgenové záření je schopné prozářit i poměrně tlustý vzorek (několik
mm). Dislokace jsou nejlépe viditelné v některém difraktovaném svazku; tj. v
zobrazení v tmavém poli. Kontrast dislokací záleží na kombinaci difrakčního
vektoru g

a vektoru b

. Zvláštní případ nastává, pokud jsou tyto dva vektory
navzájem kolmé; šroubové dislokace jsou v tomto případě neviditelné a
hranové dislokace jsou viditelné jen slabě, v tzv. zbytkovém kontrastu
0gb 

(15)
Postup:
 Pečlivě vyleštíme oba povrchy vzorku, kterými bude vstupovat a
vystupovat rtg. záření.
 Umístíme krystal do Braggovy polohy vzhledem ke svazku
monochromatického rtg. záření. Zdroje rtg. záření: rentgenka (Cu, W
anoda bombardovaná rychlými elektrony) nebo synchrotron.
 Obraz zachycujeme na CCD kameru nebo film.
Výhody a omezení:
 Jediná metoda umožňující pozorovat dislokace uvnitř relativně tlustého
vzorku;
 Lze pracovat jen se vzorky s velmi nízkou dislokační hustotou:  max ~
1010 m-2;
 Neexistují čočky pro rtg. záření – obraz není zvětšený (nebo je zvětšení
jen velmi slabé);
 Pro pokusy s laboratorními zdroji rtg. záření je doba expozice filmu
dlouhá;
 Pro zkrácení doby osvitu CCD nebo filmu na několik sekund je nezbytné
využít náročné techniky synchrotronu.
11.3 Transmisní elektronová mikroskopie – TEM
(transmission electron microscopy)
Nejčastěji používaná metoda. Rychlé elektrony procházejí vzorkem;
protože elektrony pronikají hmotou obtížněji než rtg. záření, vzorek musí být
velmi tenký. Podmínka neviditelnosti dislokací (15) platí i v případě TEM.
Postup:
 Připravíme vzorek, který je ztenčen až na tloušťku ~ 100 nm.
 Osvětlíme vzorek elektrony urychlené vysokým napětím, typicky 200-
300kV).
37
 Pozorování obrazu buď v elektronech prošlých (světlé pole) nebo v
elektronech difraktovaných (tmavé pole).
Výhody a omezení:
 Komerčně vyráběné přístroje vynikající kvality, bodové rozlišení až 0.1
nm; rozsah zvětšení od 30x do ~ 2 000 000x (cena 20-70 MKč);
 Není omezení pro materiál nebo dislokační hustotu;
 Existují mikro zařízení pro mechanické testy přímo v mikroskopu (tzv.
zkoušky in-situ, pozorování vzorků předem deformovaných se někdy
říká post-mortem);
 Musí být zvládnuta příprava velmi tenkých vzorků, při které navíc nesmí
být poškozena vnitřní struktura materiálu;
 Dislokace jsou přitahovány povrchem;
 Doba expozice při snímku krátká (1 s).
11.4 Ukázky snímků dislokací
11.4.1 Leptové důlky
Obrázek 11.1
a) Monokrystal germania, povrch rovnoběžný s rovinou {145}. Tvar leptového
důlku v místě, kde dislokace vystupuje na povrch, po naleptání v HF.
Leptový důlek má tvar troj- nebo čtyřbokého jehlanu, jehož stěny mají
orientaci {111}.
AFM mikroskopie (atomic force microscopy), C. Dupas.
b) Monokrystal Si, rovina {111}
Obraz dislokačního zdroje, který produkoval dislokace ve 3 rovinách typu
{111}. Napětí potřebné k fungování zdroje bylo vyvoláno blízkostí špice
trhliny (na snímku není vidět). Rastrovací elektronový mikroskop SEM
(scanning electron microscope), G. Michot.
38
Obrázek 11.2 Monokrystal Si, rovina {111}
a) Přehledový snímek oblasti s naleptanými dislokacemi vytvořenými
deformací za vysoké teploty (1200° C) na dvou rovinách typu {111}.
b) Zvětšený výřez ze snímku a) v místě obdélníka. Lze rozeznat jednotlivé
leptové důlky. Světelná mikroskopie, F. Bigorgne, J.P. Michel.
39
Obrázek 11.3 Monokrystal Zn, rovina { 0110 }.
Dislokace vytvořené smykovou deformací, pohybující se skluzem po bazální
rovině (0001). Bazální rovina je vodorovná a kolmá na rovinu papíru. Jsou
také vidět naleptané hranice subzrn, vzniklých při růstu krystalu z taveniny.
Interakce mezi subhranicí a dislokacemi je slabá, s výjimkou části hranice
kolmé na skluzovou rovinu, kde lze identifikovat dislokační nakupení (pileup).
Světelná mikroskopie, J.P. Michel.
40
11.4.2 Rentgenová topografie
Obrázek 11.4 Monokrystal Si. Vlivem zvýšené teploty a působícího napětí
bylo aktivováno několik dislokačních zdrojů.
a) Zdroj se středem v A emitoval 12 dislokačních smyček, G. Michot.
b) Dislokační zdroje produkující dislokace ve dvou různých rovinách, A.
George.
Rentgenová topografie (X-ray topography).
41
Obrázek 11.5 Monokrystal kadmia.
Černé čáry jsou dislokační dipóly (dvě dislokace blízko sebe, rovnoběžné s
opačnými b

), vytvořené dislokačním šplhem, 02113/1b 

. Lze také
pozorovat menší prizmatické dislokační smyčky s  0001b 

. J.P. Feireisen,
C. G'Sell. Rentgenová topografie.
Obrázek 11.6 Zn, rentgenová topografie.
Dislokace ve tvaru spirály, vzniklá díky šplhu, cab

 (Burgersův vektor =
součet translačních vektorů hexagonální mřížky), C. G'Sell.
42
Obrázek 11.7 Al, rentgenová topografie.
Další příklad spirálové dislokace vzniklé šplhem, která se může rozložit na
sérii malých smyček, C. G'Sell.
11.4.2 Transmisní elektronová mikroskopie
Obrázek 11.8 Si, TEM světlé pole (bright field).
Dislokace vzniklé deformací za vysoké teploty. Všech 6 možných variant
Burgersova vektoru typu a/2<110> je přítomno. Všimněte si také množství
dislokačních reakcí. F. Bigorgne, J.P. Michel.
43
Obrázek 11.9 Bainitická ocel po kuličkování, fólie vyrobená z těsné blízkosti
povrchu, TEM světlé pole.
Kuličkováním je dislokační hustota extrémně zvýšená (dislokační hustota na
snímku řádově 1016 m-2, srovnejte s obr. 11.8 a všimněte si také rozdílu ve
zvětšení), T. Kruml.
Obrázek 11.10 Nitrid hliníku (keramika), TEM tmavé pole (dark field).
Dislokace v keramikách se pohybují jen za vysokých teplot, zde deformace
proběhla za 1600° C, I. Masson.
44
Obrázek 11.11 Křemík, TEM tmavé pole.
Dislokace s  011
2
a
b 

. Hranové dislokace byly vytvořeny při deformaci za
vysoké teploty. Jedna z nich vytvořila Frank & Readův zdroj, který (za nižší
teploty) právě produkuje dislokační smyčku s jedním šroubovým a dvěma
60° segmenty. Rozštěpení dislokací na dvě částečné dislokace je na hranici
rozlišitelnosti, R. Allem, J.P. Michel.
Obrázek 11.12 Ferritická ocel, TEM světlé pole.
Pravidelné uspořádání dislokací ve feritické oceli zatěžované cyklickou
plastickou deformací.
a) Černé skvrny (tzv. žíly, veins) a linie (tzv. stěny, walls) jsou hustá
seskupení dislokací. Ve stěnách jsou dislokace vzájemně v lokálně
rovnovážných pozicích – dipólech.
b) V kanálech mezi stěnami jsou vidět šroubové dislokace, T. Kruml.
45
Obrázek 11.13 Monokrystal Ni3(Al,3%at.Hf), TEM, technika slabého svazku
ve tmavém poli (weak – beam dark field).
Úplná dislokace rozštěpená na 2 parciální, srovnání skutečného a teoreticky
vypočteného obrazu, T. Kruml.
Obrázek 11.14 Monokrystal Ni3(Al,1%at.Ta), TEM slabý svazek.
Dislokace rozštěpená na 4 parciální dislokace, N. Baluc.
46
Obrázek 11.15 Monokrystal Ni3(Al,1%at.Ta), TEM v módu vysokého rozlišení
(HRTEM, high resolution transmission electron microscopy).
Moderní TEM přístroje mají lepší rozlišení, než je mřížkový parametr
krystalů. V režimu vysokého rozlišení je možné zviditelnit sloupce atomů
(bílé skvrny) a přímo pozorovat rozmístění atomů v okolí jádra dislokace.
a) Orientace krystalu vzhledem k elektronovému svazku je [110]. Hranová
dislokace s d

kolmý na rovinu snímku, rozštěpená na 4 parciální dislokace
se nachází uprostřed snímku. Dobře jsou vidět zejména vrstevné chyby
spojující dislokace.
b) Šroubová dislokace rozštěpená na 4 parciální, označené jako P1, P2, P3 a
P4, d

je kolmé k rovině snímku. Tentokrát jsou dislokace velmi špatně
pozorovatelné, protože přemístění atomů jsou (téměř) rovnoběžná s
dislokační čarou, tedy také kolmá na snímek, N. Baluc.
47
Obrázek 11.16 Austenitická ocel 301LN. Austenitické oceli mají velmi
nízkou energii vrstevné chyby, parciální dislokace jsou od sebe vzdálené a
pásy vrstevných chyb jsou zobrazeny jako „proužkované“ pásy. Tmavé a
světlé proužky se periodicky střídají díky měnící se poloze poruchy ve fólii
jako efekt při pozorování využívajícím difrakční kontrast.
48
S H R N U T Í
Dislokace jsou čarové poruchy krystalové mříže, jejichž pohyb způsobuje
plastickou deformaci krystalu.
Dislokace je zcela popsána krystalovou mřížkou a dvěma vektory:
 Burgersův vektor b

je roven vektoru přemístění atomů způsobených
průchodem dislokace. Musí být stejný podél celé dislokační čáry.
 Vektor dislokační čáry d

je jednotkový vektor tečný k dislokaci.
Úhel mezi b

a d

se nazývá charakter dislokace. U hranové dislokace je b

kolmé na d

, u šroubové dislokace jsou b

a d

rovnoběžné.
Dislokace nemůže mít volné konce uprostřed krystalu.
Pole napětí v okolí dislokace (v přiblížení izotropické elasticity) klesá se
vzdáleností jako 1/r. Hovoříme proto o interakci na dlouhou vzdálenost.
Energie dislokace jednotkové délky je:
 W = Gb2 [J/m], 0.5 <  

Tah v dislokační čáře je imaginární síla působící ve směru dislokační čáry.
Tento koncept je užitečný při hledání rovnovážné konfigurace dislokací.
Pohyb dislokací vzniká v důsledku působení smykového napětí, které může
mít externí původ nebo může vzniknout díky vnitřním poruchám v krystalu.
Síla působící na dislokaci o jednotkové délce je daná vztahem Peach &
Koehlera:
  dbF


Na celou dislokaci, nezávisle na charakteru segmentu, působí složka PK síly,
která je kolmá k d

a má konstantní velikost b kde  je složka tenzoru
napětí v rovině a směru skluzu.
Dislokace se může pohybovat skluzem; za zvýšených teplot pomocí difúze
také šplhem. Skluzová rovina je rovina, ve které leží oba vektory b

a d

.
Dislokační hustota (celková délka dislokací v jednotkovém objemu) se během
plastické deformace mění, protože dislokace mohou multiplikovat, reagovat,
anihilovat a zanikat (povrch, hranice, rozhraní).
TEM je nejběžnější metodou používanou ke studiu dislokací.
Jádro úplné dislokace je obecně rozštěpené na dvě nebo více parciálních
dislokací, oddělených pásem vrstevné chyby.
49
LITERATURA
1. Detailní knihy:
J.P. Hirth, J. Lothe: Theory of dislocations, John Wiley, 2nd ed. (1992)
J. Friedel: Dislocations, Pergamon Press (1967)
F.R. Nabarro: Theory of crystal dislocations, Dover (1987)
Dislocations in solids, editeurs F.R. Nabarro, J.P. Hirth, North Holland;
první díl vyšel v r. 1979, dnes série má 13 dílů.
2. Stručnější shrnutí:
J.-L. Martin: Dislocations et plasticité des cristaux, Presses polytechniques
et universitaires romandes (2000)
D. Hull, D.J. Bacon: Introduction to dislocations, Pergamon Press, 3rd ed.
(1995)
J. Kovacs, L. Zsoldos: Dislocations and plastic deformation, Pergamon
Press (1973)
W.T. Read: Les dislocations dans les cristaux, Dunod (1957)
J. Weertman, J. Weertman: Théorie élémentaire des dislocations, Masson
(1970)
50
PŘÍLOHY
A1. Přemístění, deformace a napětí v okolí přímkové dislokace
(izotropní elasticita).
a) Šroubová dislokace
Souřadné osy jsou zvoleny tak, že dislokace leží v ose x3:  001d 

,  b00b 

.
Kartézské souřadnice Válcové souřadnice
u
 u1 = 0
u2 = 0
1
2
3
x
x
arctg
2
b
u


ur = 0
u = 0

2
b
u3 

011 
022 
033 
2
2
2
1
1
3223
xx
x
4
b




2
2
2
1
2
3113
xx
x
4
b




02112  
0rr 
0
033 
r4
b
33

  
0r33r  
0rr   
ii
0 0
 011 
022 
033 
2
2
2
1
1
3223
2 xx
xGb


2
2
2
1
2
3113
2 xx
xGb


02112  
0rr 
0
033 
r
Gb

 
2
33
0r33r  
0rr   
51
b) Hranová dislokace
 001d 

a  00bb 

.
Kartézské souřadnice, kartézské složky
u








 2
2
2
1
21
1
2
1
xx
xx
)1(2
1
x
x
arctg
2
b
u

  









 2
2
2
1
2
2
2
12
2
2
12
xx
xx
xxln)21(
)v1(8
b
u
0u3 

 
  












 22
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
1
2
11
xx
xxx
)1(2
1
xx
x
2
b


  












 22
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
22
xx
xx2
xx
x
)21(
)v1(4
b



012132333  
ii
2
2
2
1
2
ii
xx
x
1
21
2
b






 ; 0 stredni,ii

 
 
 22
2
2
1
2
2
2
12
11
3
12 xx
xxxGb




 
 22
2
2
1
2
2
2
12
12 xx
xxx
)v(
Gb
22




 221133  
 
 22
2
2
1
2
2
2
11
12 xx
xxx
)v(
Gb
12




01323  
 - Poissonovo číslo
52
Válcové souřadnice, kartézské složky
u









)1(4
2sin
2
b
u1




  






2
2cos
rlogv21
)v1(4
b
u2


0u3 









)1(2
cos
1
r
sin
2
b
11




 


 2cos2
r
sin
)v1(4
b
22 


012132333  
ii
r
sin
1
21
2
b
ii







 ; 0 stredni,ii

 
 


 22
12
11 cos
r
sinGb
r
cossin
)v(
Gb
22



2
12
 221133  
r
coscos
)v(
Gb
12



2
12
01323  
Souřadnice i složky válcové

  r
sinGb
rr


 
12
  r
sinGb 



1
33
r
cos
)v(
Gb
r


 
12
033r  
53
A.2 Rovnice Peache a Koehlera
A.2.1 Demonstrace
Uvažujme nekonečný krystal obsahující přímkovou dislokaci,
rovnoběžnou s osou 

(jednotkový vektor). Burgersův vektor dislokace b

,
leží v rovině, jejíž normála je n

a která je tedy skluzovou rovinou uvažované
dislokace (obr. A.5). Vlivem homogenního aplikovaného pole napětí  se
dislokace posune o vzdálenost r

 , rovnoběžně s vektorem m

( r

 má velikost
několik meziatomových vzdáleností).
Obrázek A.1 Pohyb přímkové smíšené dislokace.
Spočítejme práci nutnou k tomuto přemístění dislokace a omezme délku
krystalu podél osy 

na jednotku. Nejprve vyjádříme napětí, kterým působí
část krystalu pod skluzovou rovinou na horní část krystalu (tj. na rovinu o
normále -n

) :
 nT

 
T

je vektor, jehož složky tvoří napětí působící ve skluzové rovině (1
normálová a 2 smykové složky). Toto napětí můžeme přepočíst na sílu f

,
působící na plochu 1 x r:
rTf 


Atomy nad a pod touto plochou byly přemístěny o b

; práce W vykonaná
proti síle f

je:
54
   brnbfW

 
Poznámka : Předpokládáme, že elastická energie zakřivující atomové roviny
před a za dislokací je stejná před i po smykové deformaci.
Práce W může být vyjádřena také jiným způsobem: představme si, že na
dislokaci působí fiktivní síla F

(na jednotku její délky). Při smykové
deformaci bude práce této síly W:
rFW


Srovnáním obou výrazů pro práci W dostáváme:
  rbnrF 


Protože
r
r
n






platí          rbrbbrrF








Neboť d



 , odvodili jsme rovnici Peache & Koehlera :
  dbF


A.2.2 Důsledky
a) Síla F

je kolmá na dislokační čáru
Z vlastností vektorového součinu okamžitě vidíme, že dF

 = 0.
b) Složka této síly v rovině skluzu, Fg, je rovna b
Složku P&K síly v rovině skluzu Fg, tedy rovnoběžnou s m

, vyjádříme jako:
     dndbmFFg

       nbdndb


Skluzovým napětím  (resolved shear stress) budeme nazývat složku tenzoru
napětí v rovině deformace a ve směru Burgersova vektoru; vypočteme ji jako:
55
  b
b
n


 
Srovnáním obou rovnic : Fg = b
Závěr: Síla způsobující pohyb dislokace jednotkové délky ve skluzové rovině
je vždy kolmá na dislokaci a podél dislokace je konstantní, rovna b.
56
Řešení cvičení
Cvičení 1: řešení vyplývá z obrázků
Cvičení 2: a, d, h nejsou možné.
Cvičení 3: Hledáme vektor, který i) spojuje dva sousední atomy a ii) jeho
velikost je co nejmenší, aby energie dislokace byla minimální; hledáme tedy
nejbližší sousedy.
Podle obrázku C3 (viz také kap. 4 ze skript Krystalová struktura
pevných látek) je zřejmé, že ideální Burgersovy vektory tří zmíněných
krystalových mřížek jsou :
 fcc : a/2<110>
 bcc : a/2<111>
 hcp : a/3< 0211 > nebo a/3< 3211 > (záleží na poměru a/c)
Tyto b

jsou skutečně pozorovány u reálných krystalů.
Obrázek C3. Burgersovy vektory ve třech nejčastějších krystalových
mřížkách.
Cvičení 4:
Řešení pro izotropní kontinuum:
a) bez působícího napětí a za předpokladu, že se dislokace může snadno
pohybovat ve skluzové rovině, dislokace se stane přímkovou, aby se co
nejvíce zmenšila její energie (obr. C4a).
b) pro malé , dislokace vytvoří část kružnice (obr. 7.3 b). Jednoduchý
výpočet ukazuje, poloměr křivosti r je svázán s  rovnicí:

Gb
r 
kde  je koeficient z rovnice (9).
57
Obrázek C4 Rovnovážná konfigurace dislokace bez (a) a s aplikovaným
smykovým napětím (b).
Cvičení 5:
Burgersův vektor dislokace byl rovnoběžný s a

a měl stejnou velikost jako a

. Jeho orientace záleží na volbě orientace d

.
Naopak, o vektoru d

dislokace se nemůžeme dozvědět nic. Smyková
deformace krystalu mohla být způsobena dislokací:
 hranovou, která prošla krystalem od AD k BC
 hranovou s opačně orientovaným b

než v předchozím případě,
pohybující se od BC k AD
 šroubovou, klouzající od AB k CD
 šroubovou, klouzající od CD k AB
 45°, pohybující se od jedné hrany vzorku ve směru diagonály,
 skluzovou smyčkou, která vznikla uprostřed krystalu a rozšířila se až k
okrajům vzorku, apod.
Smyková deformace vzorku záleží pouze na b

pohybující se dislokace; d

nemá pro deformaci žádný význam.
Cvičení 6:
Je potřeba si uvědomit, že vektor d

pro oba zmíněné segmenty je opačný.
Pokud d

jednoho ze segmentů otočíme tak, aby oba segmenty byly stejně
orientované, vektory b

budou mít opačnou orientaci, z čehož plyne jejich
anihilace (obr. C6).
Obrázek C6 Anihilace během fungování Frank & Readova zdroje.
58
Cvičení 7:
Nejprve nalezneme možnou kombinací 1b

, 2b

a 3b

pro tři studované
dislokace. Jedna možnost je:
     112
6
a
211
6
a
011
2
a

(Ověřte, že vektorový součet vektorů na pravé straně rovnice odpovídá
vektoru na levé straně).
Energie dislokací:
W (úplná dislokace) = Gb2 = G
a

2
2
W (parciální dislokace) = G
a

6
2
G
a
G
a
G
a

662
222
Elastická energie dvou parciálních dislokací je tedy nižší než jedné dislokace
úplné. Prostudujte také obrázek 10.4.
Obrázek C.7 Stejné rozštěpení jako na obr. 10.3. Všimněte si, že atomy mezi
parciálními dislokacemi jsou v pozici hexagonální mřížky a ne mřížky fcc.