Generování druhé harmonické v nelineárním prostředí
E -
1
c2
2
E
t2
= 0
2
P
t2
E  E1 Re ei(t-k1z)
+ E2(z) Re ei(2t-k2z)
P  0(r1 - 1)E1 Re ei(t-k1z)
+ 0(r2 - 1)E2 Re ei(2t-k2z)
+
+2d E1 Re ei(t-k1z) 2
Uvedené rovnice předpokládají E1  E2, tedy nedošlo ještě k útlumu základní vlny
a nelineární člen polarizace způsobený druhou harmonickou je zanedbatelný.
Nelineární člen polarizace můžeme upravit
2d E1 Re ei(t-k1z) 2
=
E2
1d
2
ei(t-k1z)
+ e-i(t-k1z) 2
=
E2
1d
2
ei 2(t-k1z)
+ e-i 2(t-k1z)
+ 2
(Polarizace obsahuje jak stejnosměrnou složku, tak i složku s druhou harmonickou frek-
vencí.)
Dále spočítáme prostorovou derivaci složky el. pole popisujícího druhou harmonickou:

z
E2(z)
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
=
E
2
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
-
-ik2
E2
2
ei(2t-k2z)
- e-i(2t-k2z)
2
z2
E2(z)
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
 -ik2E
2 ei(2t-k2z)
- e-i(2t-k2z)
-
-k2
2
E2
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
Zde jsme předpokládali, že změny E2 jsou mnohem pomalejší, než změny fáze druhé
harmonické, tj. že člen s druhou derivací E2 je možné zanedbat.
Dosazením do vlnové rovnice dostaneme pro složku s frekvencí 2
-ik2E
2 ei(2t-k2z)
- e-i(2t-k2z)
- k2
2
E2
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
+
+
n2
2
c2
(2)2 E2
2
ei(2t-k2z)
+ e-i(2t-k2z)
= -022
E2
1 d ei 2(t-k1z)
+ e-i 2(t-k1z)
-ik2E
2 ei(2t-k2z)
- e-i(2t-k2z)
= -022
E2
1d ei 2(t-k1z)
+ e-i 2(t-k1z)
(využilo se 2/k2 = c/n2) a získáme dvě komplexně sdružené rovnice
-ik2E
2 = 202
E2
1 d e-ikz
ik2E
2 = 202
E2
1 d eikz
kde k = k2 - 2k1. Integrací druhé rovnice, využitím okrajové podmínky E2(0) = 0
a vztahu 2/k2 = (r200)-1/2
získáme
E2 = -
0
r20
E2
1d
eikz
- 1
k
|E2|2
=
0
r20
2
d2
E4
1
sin2 k
2
z
k
2
2