Vázané třívlnové procesy
Třívlnové procesy v nelineárním prostředí s podmínkou 3 = 1 + 2
E -
1
c2
2
E
t2
= 0
2
P
t2
E =
1
2 m=1,2,3
Em ei(mt-kmz)
(-m = -m, k-m = -km)
PNL = 2dE2
=
d
2 m,n=1,2,3
EmEn ei [(m+n)t - (km+kn)z]
0
2
PNL
t2
= -
d
2
0
m,n=1,2,3
(m + n)2
EmEn ei [(m+n)t - (km+kn)z]
Nelineární část polarizace má 36 členů. Dosazením do vlnové rovnice se získá diferenciální
rovnice, kterou lze pro m = n = o = m rozdělit na soustavu tří diferenciálních rovnic
(a tří komplexně sdružených rovnic):
( + k2
1)
E1(z)
2
ei(1t - k1z)
= -d02
1 E
2E3 ei [1t - (k3-k2)z]
( + k2
2)
E2(z)
2
ei(2t - k2z)
= -d02
2 E
1E3 ei [2t - (k3-k1)z]
( + k2
3)
E3(z)
2
ei(3t - k3z)
= -d02
3 E1E2 ei [3t - (k1+k2)z]
kterou lze upravit na
E
1(z) = -i
0
1
d 1E
2E3 e-ikz
E
2(z) = -i
0
2
d 2E
1E3 e-ikz
(1)
E
3(z) = -i
0
3
d 3E1E2 eikz
kde k = k3 - k1 - k2.
V degenerovaném případě 1 = 2 = 3 (generování druhé harmonické) získáme soustavu
dvou rovnic
E
1(z) = -i
0
1
d 1E
1E3 e-ikz
(2)
E
3(z) = -i
0
3
d 1E2
1 eikz
(k = k3 -2k1). Tato soustava rovnic nevyplývá z předchozí soustavy dosazením 1 = 2
a E1 = E2, druhá rovnice se liší faktorem 1/2.
Ze soustavy (1) jednoduše vyplývají tzv. Manleyovy-Roweovy relace

1
1
d (E1E
1)
dz
=

2
2
d (E2E
2 )
dz
= -

3
3
d (E3E
3 )
dz
Pro intenzitu záření platí I = 1
2


|E|2
. Manleyovy-Roweovy relace tedy mají názorný
význam
1
1
dI1
dz
=
1
2
dI2
dz
= -
1
3
dI3
dz
­ mluví o změnách toků fotonů a vyplývá z nich zákon zachování energie při trojvlnovém
procesu.
Řešení soustav (1) a (2) ve vybraných případech za předpokladu k = 0
1. Generování druhé harmonické (1 = 2  , 3 = 21):
E1(z) = E1(0) sech 
0
1
d E1(0) z
E3(z) = -i E1(0) tgh 
0
1
d E1(0) z
kde sech x  1/cosh x = 2/(ex
+ e-x
), tgh x  (ex
- e-x
)/(ex
+ e-x
).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3
intenzita
Kshg z
I1
I3
Intenzita záření první a druhé harmonické frekvence za předpokladu dokonalé
fázové synchronizace. Kshg =  0/1 d E1(0).
2. Vzestupná frekvenční konverze (E3(0) = 0, předpokládáme E2  E1, E3
a E2  konst.):
E
1 = -iKaE3 Ka =
0
1
1E
2d
E
3 = -iKcE1 Kc =
0
3
3E2d
Tato soustava rovnic vede za podmínky E3(0) = 0 k řešení
E1(z) = E1(0) cos KaKc z
E3(z) = -iE1(0)
Kc
Ka
sin K1K2 z
3. Parametrické zesílení: Signál (1) zesilujeme energií z čerpací vlny (3). Zároveň
vzniká tzv. jalová vlna, idler (2). E2(0) = 0, E3  E1, E2. Předpokládáme E3 
konst.
E
1 = iK1E2 K1 =
0
1
1E3d
E
2 = -iK2E
1 K2 =
0
2
2E3d
Použitím podmínky E2(0) = 0 dostaneme
E2  e

K1K2z
- e-

K1K2z
a po spočítání E1 = -iE
2 /K2 a určení integrační konstanty dostaneme
E1 = E1(0) cosh K1K2z
E2 = -iE
1 (0)
K2
K1
sinh K1K2z
4. Parametrické oscilace: Uvažujme oscilace v rezonátoru s nelineárním prostředím,
kterým prochází silná čerpací vlna (3). Do soustavy rovnic (1) dodáme ztráty
rezonátoru a opět předpokládáme E3  konst.
E
1 = -1 - iK1E
2 K1 =
0
1
1E3d
E
2 = -2 - iK2E
1 K2 =
0
2
2E3d
Pro prahovou intenzitu čerpacího záření (za podmínek E
1 = 0, E
2 = 0) dostáváme
hodnotu
I3p =
1
2
0
0
3
2
n1n2n3 12
12 d2
Pro I3 > I3p amplitury E1 a E2 porostou a zařízení bude fungovat jako laser na
frekvenci 1 nebo 2.