Leonhard_Euler_2.jpg Historie V. Vývoj fyziky v rámci mechanického obrazu světa Dynamika Vladimír Štefl Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Rozvoj mechaniky Newton stanovil základní pojmy a zákony mechaniky, následně se začala rozvíjet v několika směrech I. Princip urychlujících sil (Lagrange), spočíval v rozpracování analytického aparátu při použití II. Newtonova pohybového zákona pro určení pohybu hmotného bodu, soustavy hmotných bodů nebo tuhého tělesa ze zadaných sil nebo naopak určení sil ze zadaného pohybu. Zásadní role patřila Eulerovi, publikoval podstatnou část svých výzkumů v řadě spisů. Leonhard Euler 1707-1783 životopis – velký počet prací (850!) z matematiky, fyziky, astronomie, 40 knih, Petrohrad 1727 - 1741, Berlín, Petrohrad 1766 - do smrti, Eulerovy věty, rovnice, integrály, funkce, konstanty… Mechanika neboli nauka o pohybu vyložená analyticky 1736 Nová teorie světla 1746 Teorie pohybu Měsíce 1753 Teorie pohybu tuhých těles 1765 Nová teorie pohybu Měsíce 1772 Rozvoj mechaniky Euler analytický aparát mechaniky hmotného bodu, částice hmoty mající velmi malé rozměry, pohyb ve vakuu nebo v odporujícím prostředí, zkoumal problematiku přímočarého pohybu hmotného bodu pomocí řešení diferenciálních rovnic II. N. pohybového zákona. Při znalosti síly jako funkce souřadnice pak integrací při zadaných počátečních podmínkách lze rovnici řešit. Obecnější případy řešil různými rozklady pohybu na složky. Pomocí rozkladu sil do tří vzájemně kolmých souřadnicových os (kartézské soustavy souřadnic) zakladatel mechaniky tuhého tělesa, zavedl rovnice jeho pohybu, rozpracoval způsoby určení polohy tělesa (Eulerovy úhly), setrvačníky… Euler.png Rozvoj mechaniky Euler Zavedl základní pojmy dynamiky tuhého tělesa (moment setrvačnosti, volná osa), pohybu tuhého tělesa zkoumal jako složený ze dvou a) z postupného pohybu těžiště b) z rotačního pohybu kolem těžiště získal tak šest rovnic, tři pro pohyb těžiště, tři pro rotační pohyb kolem těžiště použitelný pro nebeskou mechaniku, balistiku (dělové koule), pohybu lodí… Analytický aparát, vycházející z principu urychlujících sil nevyhovovalo všem požadavkům vědy a praxe. Neřešil rovnováhu soustavy těles, podléhající vazbám či vzájemně interagujících, technické problémy manufakturní výroby… Mechanika Euler Teorie pohybu Měsíce - Euler Teorie pohybu Měsíce 1753 teoretické výsledky z mechaniky aplikoval na komplikovaný pohyb Měsíce (problém tří těles), výklad nerovností pohybu Měsíce, analytická teorie maximálně využívala pozorovací údaje, srovnávané s matematickými výpočty, započítání poruchových vlivů Nová teorie pohybu Měsíce 1772 zdokonalená verze propočtů tří těles, tělesa - hmotné body, barycentrum soustavy Země - Měsíc se pohybuje kolem Slunce po eliptické dráze, metodologický význam sestavení tabulek poloh Měsíce, určování zeměpisné délky na moři, cena 300 liber od britské vlády Teorie pohybu Měsíce Euler Teorie pohybu Měsíce 1753 Euler neuznával okamžité působení gravitace Rozvoj mechaniky II. Zákony zachování v mechanice a) Zákon zachování hybnosti (R. Descartes 1596-1650), slovně, nikoliv ve vektorovém tvaru b) Zákon zachování živé síly, v současném chápání zákon zachování energie, ve speciálních případech formulovali Galilei, Huygens, v obecnější podobě W. G. Leibniz (1646- 1716) Descartes i Leibniz vycházeli z obecného předpokladu o pohybu v přírodě, který nemůže vznikat a zanikat, míra pohybu byla u každého jiná. Descartes za ni považoval hybnost zatímco Leibniz kinetickou energii. Zákon použili J. Bernoulli (1667-1748) a D. Bernoulli (1700-1782) v hydrodynamice. Joseph Luis Lagrange 1736 - 1813 životopis, žák Eulerův, d´Alembertův Teorie pohybu tuhých těles 1765 Úvahy o řešení rovnic 1770 - 71 Traktát o analytické mechanice 1788 Лагранж.jpg Joseph Luis Lagrange V úvodu Traktátu o analytické mechanice Lagrange uvedl: ,,Existuje již několik učebnic mechaniky, ale plán tohoto spisu je skutečně nový. Dal jsem si za cíl převést teorii mechaniky na umění řešit její úlohy pomocí obecných vzorců, jejichž jednoduché modifikace by daly všechny rovnice potřebné k řešení každé konkrétní úlohy. Doufám, že způsob, kterým jsem se toho snažil dosáhnout, je uspokojivý“…,,Toto dílo bude užitečné i z jiného hlediska: sjednotí a ukáže z jednotného obecného pohledu různé principy, dosud používané k řešení úloh mechaniky, ukáže jejich vzájemné souvislosti a oblasti jejich použitelnosti.“ …Milovníci analýzy s uspokojením zjistí, jak se mechanika stává její novou součástí a budou mi vděčni za toto rozšíření její oblasti působení.“ Lagrange pečlivě rozebral a vyložil na stránkách traktátu dřívější práce z oboru. Zařadil tam i definice základních mechanických pojmů (síla, hmota), které dostatečně nepropracoval. Vedle základních zákonů statiky - zákonu páky a skládání pohybů přiřadil princip virtuálních posunutí respektive virtuální práce, rozpracovaný bratry Bernoulliovými a d´Alembertem . Joseph Luis Lagrange Princip virtuálních posunutí zkoumal situaci malých posunutí, která jsou slučitelná s vazbami, jimiž je daný mechanický systém podroben. Lagrange zapsal podmínku ve tvaru analytické rovnice a snaží se pak ukázat nejen efektivnost principu, ale především jeho univerzálnost, použitelnost pro celou statiku. Z obecného vzorce odvodil základní vlastnosti rovnovážného stavu a řešil nejdůležitější úkoly statiky. V dynamice využil d´Alembertovu ideu o převedení dynamiky na statiku. Dostal ze základních rovnic statiky základní rovnici dynamiky, z nichž plyne celé mechanika. Odvodil všechny ,,principy mechaniky“ - zákon zachování energie, zákon pohybu těžiště, zákon ploch . Vyložil jak s rovnicí pracovat, uvážit vazby, kterým je soustava podrobena. Vhodně přešel od kartézských souřadnic k jakýmsi zobecněným souřadnicím, které se mohou měnit nezávisle, např. úhel vychýlení kyvadla, zeměpisná šířka a délka bodu pohybujícího se po kulové ploše apod. Joseph Luis Lagrange Pro libovolné nezávislé souřadnice se dá pohybová rovnice zapsat pomocí kinetické energie T a potenciální energie V a jejich rozdílu L = T – V, Lagrangeovy funkce. Příslušné rovnice nazýváme Lagrangeovými rovnicemi II. druhu. Rovnice I. druhu se týkají případů, kdy vazby není možné nebo žádoucí explicitně vyjádřit, tj. kdy zůstává několik rovnic svazujících souřadnice. Shrnuto vytvořil aparát obecných souřadnic, nahrazujících původní Newtonovy pohybové rovnice, umožňující převedení libovolné mechanické úlohy k řešení diferenciálních rovnic, Lagrangeovy souřadnice I. a II. druhu. Mécanique_analytique.jpg Problém tří těles roku 1772 - Lagrange speciální řešení problému tří těles za podmínky, že dvě tělesa mají výrazně větší hmotnost než tělesa třetí a platí a) všechna tři tělesa leží na přímce, třetí těleso se nachází v bodě L1, L2, L3 b) všechna tři tělesa vytváří rovnostranný trojúhelník, třetí tělesa je v bodech L4, L5 Pierre Simon de Laplace 1749 – 1827 Výklad světové soustavy 1796 - 1835 Nebeská mechanika 1799 - 1825 Analytická teorie pravděpodobnosti 1812 Pierre-Simon_Laplace.jpg Pierre Simon de Laplace Výklad světové soustavy 1796 - 1836 vyšel celkem 6krát, byl přepracováván postupně s vývojem astronomických poznatků, nesprávné hypotézy Laplace vylučoval, např. hypotézy o původu komet, v prvních třech vydáních předpokládal, že komety jsou relikty z doby vzniku Sluneční soustavy, ve čtvrtém vydání se domníval, že jde o mlhoviny, zachycené ve Sluneční soustavě, v dalších vydáních již tuto hypotézu opustil, obsah je rozdělen do šesti kapitol: 1. O zdánlivých pohybech nebeských těles 2. O reálných pohybech nebeských těles 3. O zákonech pohybu 4. O teorii všeobecné gravitace 5. Krátký přehled historie astronomie 6. Úvaha o světové soustavě a budoucích úspěších astronomie V posledně uvedené je Laplaceova kosmogonická hypotéza o vzniku Sluneční soustavy z rotujícího plynu a prachu Pierre Simon de Laplace Nebeská mechanika 1799 – 1805 4. díly , 5. díl 1852 O obecných zákonech rovnováhy a pohybu O zákon všeobecné gravitace a pohybech těžišť nebeských těles O tvarech nebeských těles O oscilacích moře a atmosféry O pohybech nebeských těles kolem jejich vlastních těžišť Teorie pohybu planet Teorie Měsíce. Dodatek prezentovaný autorem u Komise pro délky 17.8.1808 Teorie měsíců Jupiteru, Saturnu a Uranu Teorie komet O několika tématech v systému světa. Doplněk: O kapilárních jevech a doplněk k teorii kapilárních jevů Stabilita Sluneční soustavy Lagrange - Laplace Nerovnosti pohybu Saturnu - historie Výklad nerovností pohybu Jupiteru a Saturnu, stabilita sluneční soustavy – důležitý problém nebeské mechaniky ☼ v historii → hodnota v dnešní terminologii pěti siderických oběžných dob Jupiteru blízká hodnotě dvou siderických oběžných dob Saturnu Antika: Písemně zachycené pozorovací údaje, včetně opravy na precesi –Almagest: střední denní hodnota pohybu Jupiteru na nJ = 299,104581“ a Saturnu nS = 120,422528“. Novověká astronomická pozorování především v 18. století - upřesnění hodnot středních denních pohybů, pro Jupiter nJ = 299,128361“ a Saturn nS = 120,454645“. Rozdíl novověkých a antických údajů je u Jupiteru ΔnJ = 0,02378“ a Saturnu ΔnS = 0,03212“. Pro současné hodnoty platí nJ : nS ≈ 2,483328 ≈ 5 : 2. Nerovnosti pohybu Saturnu - Kepler roku 1625 Johannes Kepler 1571 - 1630 zpracoval pozorování planet Johanna Regiomontanuse 1436 - 1476 Bernarda Walthera 1430 - 1504 Pozorovaný pohyb Jupiteru a Saturnu neodpovídá úplně teorii pohybu po eliptické dráze, podrobná analýza jevu *. Pozorované odchylky poloh planet dosahují až 28´ u Jupiteru a 48´ u Saturnu. Poruchy výraznější u Saturnu, má přibližně 3krát menší hmotnost než Jupiter. *Giorgilli, A.: A Kepler´s note on secular inequalities. Milano 2011. Johannes_Kepler_1610 Nerovnosti pohybu Saturnu - Kepler Rozdíl ekliptikálních délek Jupiteru a Saturnu: Kepler - Rudolfinské tabulky 1627 x polohy stanovené Regiomontanusem a Waltherem. Graf: zrychlování pohybu Jupiteru, zpomalování Saturnu. Nerovnosti pohybu Saturnu - Halley Edmond Halley 1656 - 1742 roku 1695: potvrzení Keplerových závěrů, výpočet zrychlení středního pohybu Jupiteru a zpomalení středního pohybu Saturnu. Poloměr dráhy Jupiteru se zmenšuje, poloměr dráhy Saturnu zvětšuje. - narůstání těchto jevů → narušení stability Sluneční soustavy. Halley na základě svých pozorování → planetární tabulky, vyšly souhrnně až posmrtně roku 1749. Edmund_Halley Nerovnosti pohybu Saturnu - Newton Gravitační působení Jupiteru a Saturnu - Isaac Newton 1643-1727 promýšlel přibližně od roku 1684, kdy v prosinci v dopisu Flamsteedovi doplnil popis pohybu Saturnu po eliptické dráze: ,,ohnisko jeho dráhy se nenachází ve středu Slunce nýbrž v hmotném středu soustavy Slunce - Jupiter“, viz Principie*, věta XIII. poučky XIII. Výpočet gravitační interakce poruchového působení planet - nutná znalost poměru hmotností planet a Slunce. U Země, Jupiteru a Saturnu Newton tento poměr propočítal z velikostí oběžných dob a vzdáleností tehdy známých měsíců od planet, III. Keplerův zákon v přesném tvaru, viz Principie *. * Cohen, I. B.: The Principia - Mathematical Principles of Natural Philosophy. University of California Press, Berkeley, Los Angeles, London 1989 Principia Nerovnosti pohybu Saturnu - Newton V srpnu 1691 Newton dopis Flamsteedovi - žádost o pozorovací údaje o polohách Jupiteru a Saturnu v následujících čtyřech až pěti rocích. Zřejmě k ověřování výpočtů vzájemných poruch obou planet. Flamsteed v prosinci roku 1694 poslal Newtonovi pozorované polohy Saturnu z let 1691 - 1694, včetně jejich rozdílů od poloh v Rudolfínských tabulkách. Vzájemné gravitační působení planet v Principiích v I. knize, ve větě LXVI: ,, působení planet jedné na druhou ačkoliv je velmi malé a může být zanedbáváno, ruší pohyb planet po elipsách…,,působení Jupiteru na Saturn nemůže být zanedbáváno“… Zřetelná myšlenka, že obě planety se ve svém pohybu ovlivňují. Podrobněji v Principiích v III. knize, větě XIII., poučce XIII.: ,,Planety se pohybují po elipsách, majících svoje ohnisko ve středu Slunce, rádius vektory vztahující se k tomuto středu opisují plochy úměrné času“ Pohyb Saturnu v Principiích Avšak působení Jupiteru na Saturn nesmíme zanedbávat, protože přitažlivost k Jupiteru se má (při stejných vzdálenostech) k přitažlivosti Slunce jako 1 : 1 067, tudíž při konjunkcích Jupiteru a Saturnu, když je jeho vzdálenost k Jupiteru vzhledem ke vzdálenosti k Slunci jako 4 : 9, přitažlivost Saturnu k Jupiteru bude k jeho přitažlivosti ke Slunci jako 81 ku 16 x 1067 nebo zaokrouhleně jako 1 ku 211#. Porucha dráhy Saturnu při každé jeho konjunkci s Jupiterem je tak znatelná, že vyvolává bezradnost astronomů.* Při přihlédnutí k poloze planety při těchto konjunkcích, její výstřednost se jednou zvyšuje, podruhé zmenšuje, afélium se jednou přesouvá vpřed, podruhé ustupuje vzad, ¤ střední pohyb jeden za druhým se jednou zrychluje podruhé zpomaluje. # Štefl,V.: K Newtonově a Eulerově interpretaci nerovností pohybu Jupiteru a Saturnu. Čs. čas. fyz. 63, (2013), č. 3, p. 168 - 174. * pozorovatelé zjistili rozdílné polohy od tabulkových odvozených z Keplerovy teorie. ¤ naznačení periodických změn výstřednosti respektive přímky apsid. Pohyb Saturnu - Optika Newton - pochybnosti o stabilitě Sluneční soustavy, interakce planet a také komet, v jeho čase neznámých hmotností, odpor éteru... Newton, I.: Opticks: or, a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light. London, 1730. Kniha III., p. 325, 327. → → Výměna energií Jupiter ↔ Saturn konjunkce Před konjunkcí: Jupiter ,,dohání“ Saturn, zpomaluje ho → úbytek kinetické energie jeho planetárního pohybu → přechod na nižší oběžnou dráhu → zvýšení rychlosti středního pohybu Saturnu. Po konjunkci: jev opačný → přechod na vyšší oběžnou dráhu → zpomalení rychlosti středního pohybu Saturnu. Při stejné velikosti gravitační interakce obou planet před a po konjunkci - výsledný efekt nulový. Úplně přesně nikoliv, dráhy planet nejsou soustředné. Pokud ke konjunkci dochází v poloze v prostoru, kde dráhy obou planet k sobě konvergují, v perihéliu Saturnovy dráhy a v aféliu Jupiterovy dráhy, je jev po konjunkci větší než před ní. Výsledek - zvětšování poloměru Saturnovy dráhy a zmenšování velikosti jeho středního pohybu. Při konjunkci v prostoru, kdy dráhy obou planet k sobě divergují, je výsledkem pokles poloměru Saturnovy dráhy a zvýšení rychlosti jeho středního pohybu. Důsledkem jsou celková nepatrná zpomalování nebo zrychlování pohybu Saturnu, rozeznatelná za větší časové intervaly. Stabilita Sluneční soustavy astronomové objevili v pohybu Jupiteru a Saturnu poruchy, velmi pomalé změny jejich střední rychlosti, příčina - oběžné doby Jupiteru a Saturnu kolem Slunce jsou přibližně 12 roků a 30 roků, každých zhruba 20 roků dochází ke konjunkci, při níž se zesiluje gravitační interakce, v průběhu konjunkce dochází k výměně kinetických energií planet, před ní Jupiter ,,dohání“ Saturn, zpomaluje ho, nastává úbytek jeho kinetické energie – přechází na nižší oběžnou dráhu jupiter-and-saturn.jpg Pohyb Saturnu - Euler Leonhard Euler 1703 - 1783 geometrická metoda → analytická. ≈ do r. 1750 - pochybnosti o gravitačním zákonu, domněnka - síly mají původ v neprostupnosti hmoty, síly kontaktní. Alexis Claud Clairaut 1713 - 1765 r. 1752 souhlas teoreticky vypočítané a pozorované hodnoty posuvu perigea dráhy Měsíce. V * Euler vycházel z gravitačního zákona, odvodil poruchy Saturnu způsobené Jupiterem, soutěž → ¤ cena: za inovativní přístup k výpočtu planetárních poruch, nikoliv za úplný výklad zpomalování Saturnu a zrychlování Jupiteru . decelerace Saturnu /akceleraci Jupiteru = 7/3 → Laplace 1784! Leonhard_Euler Pařížská akademie vypsala cenu ¤ r. 1748 na ...,,teorii Jupiteru a Saturnu vysvětlující nerovnosti těchto planet, majících příčinu v jejich pohybech, specielně v době konjunkce“... Euler - poruchové síly mSa je hmotnost rušené planety - Saturnu, X, Y, Z jsou složky síly působící na Saturn ve směru souřadných os. Koeficient 2 - Eulerova volba jednotek (zrychlení volného pádu na zemském povrchu položil za jednotkové pro vyjádření urychlujících sil, místo používal ). Na soustavu Slunce – Jupiter – Saturn, Euler aplikoval II. Newtonův pohybový zákon v pravoúhlých souřadnicích Souběžně Euler zkoumal, zda střední pohyby planet se podrobují sekulárním změnám,(v jeho době chápáno neperiodickým či s dlouhodobou periodou). #Euler, L.: Recherches sur le mouvement des corps céléstes en générale. Mémoires de l´Académie des Science de Berlin 3 (1747), p. 93 - 143. Eulerovy výsledky Metoda variace dráhových elementů - propočet jejich změn, nikoliv odchylek v poloze planet. - rovnice pro malé šířkové odchylky Saturnu od dráhové roviny Jupiteru ve směru ,délku výstupného uzlu Ω, sklon dráhy i. - při bezporuchové eliptické dráze Ω a i konstantní, proměnnost vyvolána poruchami. - velmi pozvolné změny Ω a i, → matematické zjednodušení řešení. - vypočítané výsledky neodpovídaly úplně polohám Saturnu, nepřesnosti 8´ - 9´. - - První analytické určení změn dráhových elementů: při omezení propočtu na několik prvních členů řad vyjadřujících změny dráhových elementů –, délky výstupného uzlu Ω, sklonu dráhy i. Euler → poruchy dlouhodobé. Pierre Simon de Laplace Laplace1 * Výpočet aproximací vyšších řádů → střední pohyby obou planet imunní k dlouhodobým změnám. * Poslední část spisu - odvození sekulárních nerovností dráhových elementů planet. *P. S. Laplace: ,,Mémoire sur les solutions particuliéres des équations différentielles et sur les inégalités séculaires des planétes“, Mémoires de l´Académie royle des Sciences de Paris, anné 1772, p. 325 - 366. Pierre Simon de Laplace Laplace*: ,,Síly vyvolávající poruchy od eliptického pohybu, zavedené ve výrazech pro r, dv/dt a s, v předcházející kapitole, čas t přes sinus a cosinus ve tvaru kruhového oblouku narůstajícího neomezeně...Jelikož tyto změny jsou vytvářeny velmi pomalým způsobem, bývají proto nazývány termínem sekulární nerovnosti.“ *P. S. Laplace: Traité de Mécanique Céleste, vol. 2 Duprat, Paris 1799. současnost - sekulární nerovnosti neperiodické, narůstající s časem Pierre Simon de Laplace - gravitace 1.Přitažlivost je přímo úměrná hmotnosti tělesa a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti. 2. Působící síla tělesa je výslednicí interakcí všech jeho částí. 3. Síla se šíří okamžitě. 4. Přitažlivost je stejná u tělesa v klidu jako v pohybu. P. S. Laplace: ,,Sur le principe de la gravitation universelle et sur les inégalités séculaires des planétes dui en dépendent“, Mémoires de l´Académie royle des Sciences de Paris, anné 1773, p. 201 - 275. Lagrange - vztah Po dosazení a úpravě derivací podle času t získal Lagrange vztah *J. L. Lagrange: Sur ľ altération des moyens mouvements des planétes, Nouveaux Mémoires de l´Académie royale des Sciences et Belles - Lettres de Berlin, anné 1776, p. 255 - 271. *,,Vida, obdrželi jsme velmi jednoduchý vztah pro určování změn velké poloosy 2a eliptické dráhy tělesa podrobeného působení centrální síly a poruchových sil X, Y, Z.“ Změny velké poloosy 2a eliptické dráhy rušené planety vyvolány gravitačním působením rušících planet. Lagrangeův - vztah *J. L. Lagrange: Sur ľ altération des moyens mouvements des planétes, Nouveaux Mémoires de l´Académie royale des Sciences et Belles - Lettres de Berlin, anné 1776, p. 255 - 271. Laplace: pohyb Saturn ↔ Jupiter *P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1785, p. 95 - 207. Z integrálu živých sil, při zanedbání všech členů druhého a třetího řádu v hmotnostech m2 a m3, které buď periodické nebo konstantní → vztah kde m, m´, m“ … jsou hmotnosti planet, a, a´, a“ … velikosti velkých poloos jejich drah. Větší hmotnosti Jupiteru a Saturnu oproti ostatním planetám, proto → zmenšování velké poloosy Jupiterovy dráhy → zvětšování velké poloosy dráhy Saturnu. Nechť nJ , nS označují střední pohyby Jupiteru a Saturnu, při vyjádření III. Keplerova zákona Laplace: decelerace Saturnu, akcelerace Jupiteru *P. S. Laplace: Mémoire sur les inégalités séculaires des planétes et des satellites, Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1784, p. 49 - 92. Vzájemná interakce obou planet ovlivňuje střední pohyb, což popsal vztahem respektive Použité hodnoty , aJ=5,20279 au aS=9,53877 au dosazení ke vztahu Poměr decelerace Saturnu k akceleraci Jupiteru 7 : 3, viz věta v textu spisu str. 52*, poměr odpovídal zjištěným historickým hodnotám. Laplace - úvaha o poruchách *P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1785, p. 95 - 207. Ve spisu * Laplace konstatuje:,, Je tudíž velmi pravděpodobné, že pozorované změny v pohybech Jupiteru a Saturnu jsou výsledkem jejich vzájemných interakcí a je prokázáno, že toto působení může vyvolávat nerovnosti, které buď nepřetržitě narůstají nebo se vyznačují dlouhými periodami …“ …,, je přirozené se domnívat, že existují teorie a velký počet nerovností tohoto typu, jejichž perioda je velmi dlouhá.“ Laplace - stabilita Sluneční soustavy 1.Pozorované zrychlení Jupiteru, zpomalení Saturnu - výsledek vzájemných poruch obou planet. Dlouhoperiodické variace - změny rychlosti středního pohybu, (vyjadřované lineární aproximací), perioda přibližně 900 r. 2. 2.Planetární dráhy vykonávají dva pohyby - precesi perihélia (pomalá rotace dráhy v rovině) - precesi uzlové přímky (rotace dráhové roviny v prostoru). 3. 3.Vývoj dráhových elementů planet vyjádřen prostřednictvím dvou vět, zachycující kinematické vlastnosti planet sluneční soustavy. * P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Science, 1786, p. 211 - 239. Stabilita Sluneční soustavy Lagrange ↔ Laplace Nadšený Laplace ocenil Lagrangeův spis* a odvození vztahu slovy: ...,,výstižná aplikace nádherné metody, kterou jste vysvětlil na začátku vašich memoárů“...,,neobyčejně jednoduchý vztah obdržený pro změnu velké poloosy“... Laplace_X_Lagrange X_porte Korespondence Lagrange → Laplace Lagrange píše Laplaceovi 10. dubna 1775:,, Co mne nejvíce zaujalo, byl výzkum sekulárních nerovností. Vzpomněl jsem si na svou starší práci o teorii Jupiteru a Saturnu, budu usilovat o její aplikaci na další planety. Zamýšlím dále zaslat do spisů Akademie druhé pojednání o nerovnostech sekulárního pohybu afélia a výstředností planet, v kterých je problematika interpretována podobným způsobem .“ Korespondence Laplace → Lagrange Laplace → Lagrange 10. února 1783:,, jestliže předpokládáme dvě planety mající velmi podobný dráhový sklon, potom se na základě vzájemné interakce nemění…“ Vzájemná korespondence nebyla zdvořilostně formální, nýbrž věcná i s matematickými vztahy... Oba považujeme za architekty důkazu stability Sluneční soustavy, proto Lagrangeova - Laplaceova teorie... Stabilita Sluneční soustavy Znovunalezení Ceres Titiusovo - Bodeovo pravidlo *Bonnet, Ch.: Contemplation de la Nature – Pozorování přírody, Amsterodam 1764. * *Bode J. E.. Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels – Příručka ke studiu hvězdné oblohy, Hamburg 1772 předchůdci:Wolf, Ch. (1679 – 1754) Kant, I. (1724 – 1804) existuje mezera u planet Titius, J. D., 1766: Překlad knihy*, umístění poznámky o pravidle → Bonnet pro k = 3… ,,Skutečně Stvořitel zanechal toto místo prázdné? V žádném případě!“ - první zmínka o Ceres!? Bode, J. E., 1772:* * zřejmě na základě dopisování s Titiusem Titiusovo - Bodeovo pravidlo ak = 0,4 + 0,3 x 2 k ( k = - ∞, 0, 1, 2,…) au Počátky hledání r. 1781 anglický astronom W. Herschel (1738 - 1822) - objev Uranu pro k = 6 T. B. pravidlo a = 19,6 AU, reálná velká poloosa a = 19,2 AU Franz Xaver von Zach (1754 – 1832), budapešťský rodák, klíčová osoba příběhu astronom v Gotha, začal r. 1787 s hledáním planety mezi Marsem a Jupiterem pro k = 3, a = 2,8 AU nebeská policie - J. H. Schröter, H. W. M. Olbers, W. Herschel, N. Maskelyne atd., celkem 24 astronomů – policistů, G. Piazzi původně nebyl členem Giusseppe Piazzi (1746 - 1826) objev planety (planetky) Ceres Ferdinandea Ramsdenův čočkový dalekohled, D objektivu 7,5 cm identifikace hvězdy Mayer 87 x Lacaille 87, objev Ceres náhodný Piazzi 1. ledna 1801 ve 20 hod 43 min místního času nalezl objekt, který se během noci posunul o 4´ k severozápadu. Svůj objev popsal takto: ,,Pozoroval jsem 1. ledna poblíž ramena Býka objekt s hvězdnou velikostí osmé magnitudy, který se dalšího večera 2. ledna posunul o 3´30“ přibližně k severu o 4´ ke znamení Berana“… Sledování prováděl do 11. února 1801, kdy se objekt přiblížil ke Slunci a přestal být pozorovatelný. Celkově Piazzi sledoval objekt 41 nocí, získal údaje o 21 úplných pozorováních, v nichž zachytil zhruba 9o jeho dráhy kolem Slunce, předpokládal, že jde o kometu….,,já bych tu hvězdu označil jako kometu, avšak nevykazuje žádnou mlhovinu…“ Piazziho pozorování Záznam Piazziho pozorování palermo01e Polohy Ceres zjištěné Piazzim ředitel observatoře v Gota* editor Monatliche Correspondenz informován o ,,kometě“ v dubnu Franz Xaver von Zach 1754 - 1832 539px-Franz_Xaver,_Baron_Von_Zach 378px-Monatliche_Correspondenz Piazzi - leden 1801 - dopisy → Bodemu, Orianu, Lalandovi Bode v dubnu → von Zachovi von Zach - červen rozsáhlá zpráva o objevu v Mon.Cor. Burckhardt v červenci výpočet dráhy v Mon.Cor. → von Zach v září soubor Piazziho pozorování v Mon.Cor. von Zach v říjnu popsal neúspěch při hledání Ceres v Mon.Cor. Gauss v listopadu provádí výpočty von Zach v prosinci v Mon.Cor. předpověd dráhy Ceres 7/8. prosince 1801 von Zach znovunalezl Ceres, přesněji vymezuje 4 podezřelé objekty, následné potvrzení 1. ledna 1802, kdy pozoruje již i Olbers Monatliche Correspondenz - 1801 Monatliche Correspondenz - září 1801 Piazziho pozorování 1.1 - 11.2.1801 rektascenze deklinace 2. ledna 51o 47´ 49“ 15 o 41´ 5“ 22. ledna 51o 42´ 21“ 17 o 3´ 18“ 11. února 54o 10´ 23“ 18 o 47´ 59“ střední sluneční čas p.m. 8 hod 39 min 4,6 s 7 hod 20 min 21,7 s 6 hod 11 min 58,2 s I. dráha: Gauss znovunalezení planetky Ceres gaussernst K. F. Gauss: Theoria Motus: ,,Determinare orbitam corporis coelestis, absque omni suppositione hypothetica, ex obseruationibus tempus haud magnum complectentibus neque adeo delectum…“ A. Seydler: ,,Určiti dráhu oběžnice bez všelikého hypothetického podkladu a z pozorování v krátkém čase po sobě učiněným.“ Gaussovy ekliptikální souřadnice * * III. dráha: 1. ledna, 21. ledna, 11. února. Piazziho pozorování obsahovalo chyby *, Gauss se snažil je vyloučit → restrinkce # # C – O výpočet Gauss stanovil souřadnice pro 25.11. – 31.12.1801 v intervalu po šesti dnech Výpočet pozorovacích hodnot Ceres základní myšlenky výpočtu - září, říjen 1801, první aplikace metody listopad 1801, → dráhové elementy, propočet vícekrát opakován 7/8. prosince 1801 von Zach vymezil 4 podezřelé objekty, jeden z nich Ceres von Zach1 Dráhové elementy Ceres listopad 1801 sklon dráhy i 10 o 36´ 57“ excentricita e 0,0825 hlavní poloosa a 2,7673 AU současné hodnoty: sklon dráhy i 10 o 35´ 10“ excentricita e 0,0800 hlavní poloosa a 2,7660 AU oběžná doba T 1 680,3 dne 742px-Ceres_Orbit_svg Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855 gaussmladý Jak vypočítat dráhové elementy eliptické dráhy? Jak určit efemeridy? Kolik pozorování ze Země je nezbytných? Obtíže: rotace Země, oběh kolem Slunce, pozorovací chyby, těsnější pozorovací řada C. F. Gauss r. 1801 ± 24 letý + svobodný - Pojednání o aritmetice Podstata Gaussovy metody tři polohy planetky ve třech časech, dráhová rovina planetky prochází středem Slunce aplikovaná matematika – kombinace geometrických a dynamických podmínek celkové řešení, geometrie situace, prostorový pohyb Země, planetky, více než 80 proměnných ve třech různých souřadných soustavách, jejich transformace, abstraktní matematické myšlení, mnoho algebraických a aritmetických výpočtů, Gauss nevzal do ruky tužku, pokud nebyl problém vyřešen… numerické výpočty, k určení dráhy v prostoru je zapotřebí šesti dráhových parametrů, nezbytná tři pozorování – rektascenze, deklinace → šest konstant, časový interval mezi nimi → II. Keplerův zákon zanedbání gravitačního působení ostatních těles vzhledem k malému časovému intervalu pozorování Ceres pozorujeme z pohybující se Země, jejíž polohu známe, obě tělesa obíhají v různých dráhových rovinách Jak Gauss propočítal dráhu Ceres? Gauss metodu předběžného určení dráhy Ceres popsal v dopise ze 6. srpna 1802 H. W. Olbersovi (1758 – 1840) …výměna mnoha dopisů, občas Gauss neplatil poštovné… vydáno se souhlasem Gausse až r. 1809 Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd – und Himmels-Kunde, C. F. Gauss + Franz Xaver Zach + Lindenau, September 1809, původně Gauss nepředpokládal publikování → von Lindenau ,,s mnoha omluvami za četné nedostatky“ Summarische Übersicht der Bestimmung der Bahnen der beiden neuen Hauptplaneten angewandten Methoden …(Ceres, Pallas) Souhrnný přehled metody užité k určení drah dvou nových planet 1. 1. 1. 1. 1. Dear Dr. Stefl, You are correct: the denominators should be (π1 x π3)•P2. Your e-mail amazes me! I was very surprised to see that the paper was even available on the internet. You must be reading the paper very carefully to have found that typographical error. I read it several times, and it escaped my attention. You might be interested in two other sources of information on this subject. The first is an article titled, “The Discovery of Ceres: How Gauss Became Famous,” in Mathematics Magazine, v.71 n.2, April 1999. This is a paper that I wrote on the subject several years ago. In that article, you will find the formulas that you refer to, but in slightly different notation. Second, you can go straight to the original source. Gauss’s paper, Summarische Ubersicht der zur Bestimmung der Bahnen der beiden neuen Hauptplaneten angewandten Methoden is easily available on the internet. You will find it in the Gauss Werke, v. 6 pp. 146-165. It is, of course, in German. My paper in Mathematics Magazine is a simplified look at Gauss’s original work. Thanks for your note. It is always nice to see that other people are interested in the same things I am! By the way, may I ask where you are located? Don Teets Typografické chyby C. F. Gauss: Summarische Übersicht der zur Bestimmung der Bahnen - září 1809 C. F. Gauss: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium 1809 Teorie pohybu nebeských těles pohybujících se kolem Slunce po kuželosečkách Gauss začal sepisovat r.1805, dokončil v německé verzi r. 1806, následně dílo překládal do latiny, vyšlo až r. 1809 dvě stě roků po Astronomia nova, na kterou těsně navazuje gauss100_v-contentgross kepler4-1 Objev Neptunu Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn r. 1766 německý matematik a fyzik J. D. Titius r. 1772 německý matematik a astronom J. E. Bode Titiusovo – Bodeovo pravidlo ak = 0,4 + 0,3 x 2 k ( k = - ∞, 0, 1, 2,…) 595px-Johann_Daniel_Titius Johann Daniel Titius 1729-1796 Johann Elert Bode 1747-1826 463px-Johann_Elert_Bode Objev Uranu březen 1781: anglický astronom W. Herschel (1738 - 1822) - objev Uranu pro k = 6 T. B. pravidlo a = 19,6 au, reálná velká poloosa a = 19,2 au Ceres, Pallas, Juno, Vesta považovány za planety ~ 1850 Urbain Jean Le Verrier 1811 - 1877 problém Uranu (Neptun) Leverrier_Neptune arago_pic Dominique François Arago 1786 -1853, léto 1845 → Le Verrier řešení problému Uranu Le Verrier: chemik, astronom, matematik Problém Uranu pozorování Uranu, zrychlování pohybu v letech 1781 - 1830, od roku 1831 zpomalování Alexis Bouvard 1767 - 1843 stará pozorování → výpočet dráhových elementů → teoretické polohy → velké nepřesnosti, nevysvětlitelné pozorovacími chybami nová pozorování → výpočet dráhových elementů → zlepšení teoretické polohy → nesoulad se starými pozorováními teorie Uranu r. 1781 - 1820: 5“, stará pozorování se rozcházela o (40“ - 70“) , tedy (8 - 14)krát převyšovaly chyby pozorovatelů r. 1821 opozice Neptunu vzhledem k Uranu r. 1832 výrazné zpomalování pohybu Uranu, teorie nevyhovovala A. Danjon: Le centenaire de la découverté de Neptune. Ciel et Terre, 62 (1946), p. 369 - 383. Le Verrier: historie 1845 - 1846 •10. listopad 1845 - poruchy Uranu způsobené Jupiterem a Saturnem neobjasňují nepravidelnosti jeho pohybu •1. červen 1846 - vysvětlení → zamítnutí jiných hypotéz, existence vnější planety, její poloha pro 1.1.1847, propočet poruch při MN = (1/10 000 -1/4700) MSl •31. srpen 1846 - dráhové elementy nové planety, její hmotnost MN = 1/9300 MS, poloha - hel. délka, jasnost ≈ 8 mag, disk 3“ extrémně rozsáhlé výpočty, rozvinutí teorie poruch, Jupiter, Saturn, neznámá planeta, propočet jejího poruchového vlivu, určena její poloha z analýzy dráhového pohybu Uranu, postupně narůstající přesnost řešení → 1o interpretační problém, řešení nerovností pohybu Uranu přímý problém, propočet poruchových sil neznámé planety - Neptunu inverzní problém, určení parametrů Neptunu - hmotnosti, dráh. elem. Le Verrier - druhá práce Srovnání pozorovaných a vypočítaných poloh Uranu - pozorování nejsou v souladu s teorií * ,,Soustředil jsem se na seriozní objasnění rozdílů vypočítaných a pozorovaných poloh Uranu způsobených působící neznámou silou...“ Vyvrácení hypotéz 1 - 3 nepravidelností pohybu Uranu: 1. Velký měsíc Uranu 2. Kometa 3. Meziplanetární hmota 4. Neznámá planeta Hypotéza o existenci rušící planety → zavedení oprav k dráhovým elementům Uranu, započtení vlivu Neptunu - inverzní problém poruch, předběžné výsledky. *U. J. Le Verrier: Recherches sur les mouvements d´Uranus:. Comptes-Rendus de l´Académie des Sciences de Paris 22, (1846), 907 - 918. Le Verrier - druhá práce Le Verrier v *: ,, Je možné, že nerovnosti Uranu by mohly být způsobeny působením neznámé planety nalézající se na ekliptice v přibližně dvojnásobné vzdálenosti od Slunce než Uran. Jestliže ano, kde se planeta aktuálně nachází ? Jaká je její hmotnost? Jaké jsou její dráhové elementy?“ *U. J. Le Verrier: Recherches sur les mouvements d´Uranus:. Comptes-Rendus de l´Académie des Sciences de Paris 22, (1846), 907 - 918. Le Verrier - třetí práce nová pozorování Uranu, velikost rádius vektoru • Airy → reakce na druhou práci - dopis Le Verrierovi - zahrnutí korekcí v rádius vektoru - již provedeno • v kvadraturách úhel Uran - Země - Slunce pravý, při pozorováních registrujeme poruchy rádius vektoru Uranu • rozdíly pozorované a propočítané geocentrické délky jsou vyvolány jak chybami teorie v heliocentrické délce i v délce rádius vektoru • při pozorování v kvadraturách chyby rádius vektoru se projevují nejvýrazněji • Le Verrier - třetí práce, klíčové problémy: Le Verrier: Čím jsou vyvolány poruchy velikostí rádius vektorů Uranu ? Jejich proměnnost není způsobena poruchami známých planet. Analýza pomocí dobového vztahu* . *G. B. Airy: Mathematical Tracts on the Lunar and Planetary Theories. Cambridge University Press, Cambridge 1842, p. 67. r... délka rádius vektoru, R... poruchová funkce, II. Keplerův zákon teorie: zahrnutí poruch v délce i ve velikosti rádius vektoru Sir George Biddell Airy (1801 - 1892) královský astronom 1835 - 1881 811px-George_Biddell_Airy2 Le Verrier: Uran - Neptun Počátek času 1.1.1800 00.00 hod.,výchozí - dráhové elementy Bouvarda pro eliptickou dráhu a = 19,182 729 au. n = 4,284 901o stř.den.poh. e = 0,046 611 i = 0o 46´28“ z pozorování 1781 - 1820 Le Verrier: 1690 - 1845 - kombinoval údaje ze starých a nových pozorování (celkem ≈ 300) - nutná zjednodušení při zpracování pozorovacích dat - postupná redukce velkého počtu rovnic, seskupení pozorování ve zvolených časových intervalech, v závěru výpočtu řešení celkem 26 rovnic pro 12 → 8 + 1 neznámých dráhových elementů obou planet, volba 40 různých číselných hodnot - varianty výpočtů E. A. Grebenikov, J. A.Rjabov: Poiski i otkrytija planet. Nauka, Moskva 1984. Le Verrier: výpočet Uranu a Neptunu • nepřesnosti v skutečné délce Uranu • dráhový sklon hledané planety velmi malý (Uran – ¾o) , proto zanedbání i = 0, pohyb planet v rovině ekliptiky, R ~ α • dráhové elementy Uranu a, e, ε, ω (Bouvard) + δa, δe, δε, δω, hledané planety Neptunu a1, e1, ε1, ω1 hmotnosti m a m1 mS >> m, m1 • předpoklad Le Verrier: využití Titiova - Bodeova vztahu Porovnání Le Verrier → současnost nepřesná velikost velké poloosy a → tudíž i velikosti oběžné doby T Le Verrier předpokládal rezonanci 3 : 1, reálná spíše 2 : 1 a, e nepřesné - příliš slabé poruchové působení, částečně kompenzováno reálně větší hmotností Neptunu stanovenou po nalezení Tritonu Lassellem (1799 - 1880) již 10. října 1846 nalezení Neptunu šťastná náhoda ? Neptun: a = 30 au, T = 164 roků, MN = l,0.10 26 kg Dopis Le Verrier → Galle Dopis Le Verrier → Galle Pane, dnes bych rád vymohl od neúnavného pozorovatele, aby laskavě věnoval několik okamžiků zkoumání určité oblasti oblohy, kde může býti nalezena jedna planeta. K tomuto výsledku mne přivedla teorie Uranu. Výtah z mých výzkumů vyjde v nejbližší době v Astronomische Nachrichten.... Uvidíte, vážený pane, že dokazuji, že nelze pozorováním Uranu vyhověti matematicky jinak, než zavedením vlivu nové planety, až dosud neznámé. Zajímavé je, že v ekliptice je pouze jedno místo, na kterém může být tato rušící planeta. Tu jsou elementy dráhy, které jsem přisoudil tomuto tělesu: velká poloosa dráhy 36, 154 au. siderická oběžná doba 217,387 roků excentricita 0,10761 délka perihélia 284o 45´ střední délka 1. ledna 1847 318o 47´ hmotnost 1/9300 pravá heliocentrická délka 1. ledna 1847 326o 32´ vzdálenost od Slunce 33,06 a.u. Dopis Le Verrier → Galle Nynější poloha tělesa ukazuje, že máme a ještě několik měsíců budeme mít příznivé podmínky k jeho objevení. Mimoto můžeme z velikosti jeho hmotnosti usouditi, že velikost jeho zdánlivého průměru je větší než 3“ . Je to takový průměr, že může být rozlišen v dobrých dalekohledech od neskutečného průměru hvězd, který vzniká následkem různých vad čoček. Přijměte, vážený pane, ujištění mé velké úcty. Váš oddaný služebník U.J. Le Verrier J. G. Galle 1812 - 1910 + L. H. d´Arrest 1822 - 1875 z dráhových výpočtů Leverriera → souřadnice neznámé planety α = 327o 27´ δ = - 13o 24´ pozorování ,,objektu“: 1.rychlý pohyb na pozadí hvězd 2.pozorovaný disk 2“ - 3“ 3.mapy K. Bremikera 1804 - 1877 JohannGalle Heinrich_Louis_d'Arrest nalezení Neptunu - šťastná náhoda ? J. G. Galle, H. L. d´Arrest: nalezení Neptunu 23/24. 9. 1846 rozhraní Vodnáře – Kozoroha Le Verrier - 1o Adams - 2 1/2o poznámka Galleho Nalezení Neptunu vypočítaná poloha Neptunu Adams, Le Verrier Dopis Galleho → Le Verrierovi Pane, ,,planeta, jejíž polohu jste mi ukázal skutečně existuje. V ten den, kdy jsem obdržel Váš dopis, jsem objevil hvězdu 8 mag, nezachycenou na výborné mapě (sestavené dr. Bremikerem) z hvězdného atlasu Berlínské akademie věd. Pozorování prováděná následující noc potvrdila, že jde o hledanou planetu. Já a pan Encke, jsme pozorovali velkým fraunhoferovským refraktorem a určili jsme polohu planety ve vztahu k srovnávací hvězdě...“ Galileo Galilei 1564 - 1642 předobjevová pozorování Neptunu galileo-nep-sepia pozorovací deník: 28. ledna 1613: ,,za hvězdou a následuje další označená b, která byla pozorována rovněž předcházející noci, ale tehdy se zdály být dále od sebe...“ Ch. Kowal, O, Drake: Galileo´s observations of Neptune. Nature 287 (1980), p. 311 - 313. galileo-nep2-sepia 26.1.1613 pozorovací deník 28.1.1613 pozorovací deník Porovnání výpočtů Adams x Le Verrier souhlas v letech 1830 - 50 přesnost: Adams ± 1o v intervalu 5 roků Le Verrier ± 1o v intervalu 12 roků Poruchové působení Neptunu na Uran směry a velikosti poruchových sil Le Verrierem vypočítaných - - - - - blízké reálným ---------------- , do roku 1800 nevýrazné nalezení Neptunu – šťastná náhoda ? Le Verrier x John Couch Adams 1819 - 1892 240px-John_Couch_Adams UJLeVerrier C - O, Le Verrier a J. C. Adams Le Verrier - výběr pozor. hodnot Le Verrier - 1846 rukopis - poruchové působení Saturnu a Jupiteru na Uran