Posloupnosti M1030 Matematika pro biology 22.11.2023 Posloupnosti Pojem posloupnosti Příklady posloupností Diference a její význam Limita Vlastnosti limity Příklady Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity Příklady - nevlastní limity Aplikace: Růst homogenní populace Posloupnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU{0}: {«n}^Lo Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n £ D (a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU{0}: {«n}^Lo Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU{0}: {«n}^Lo Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n £ D (a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU{0}: {an}^Lo Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU{0}: {an}^Lo Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Rekurentní zápis posloupnosti: předpis pro výpočet n-tého členu posloupnosti pomocí jednoho (nebo několika předchozích) současně se zadáním počátečního členu (nebo několika počátečních členů) Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a poznámka Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) d > 0 neohraničená rostoucí d < 0 neohraničená klesající, d = 0 ohraničená stacionární Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — ^/an_1anjt_1 Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — ^/an_1anjt_1 q > 1, ao / 0 neohraničená, ao > 0 rostoucí, ao < 0 klesající g = 1 ohraničená (stacionární) 0 < q < 1, ao / 0 ohraničená, ao > 0 klesající, ao < 0 rostoucí g = 0, ao / 0 ohraničená, ao > 0 nerostoucí, ao < 0 neklesající — 1 < g < 0, ao / 0 ohraničená, „tlumené oscilace" g = —1, ao / 0 ohraničená, periodická s periodou 2 g < —1, ao / 0 neohraničená, „netlumené oscilace" Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a7 poznámka aritmetická an + l — an + d + nd d - diference, an — ^K-i + «n+l) geometrická an+l —Qan qna0 q — kvocient, an — ^/an_1anjt_1 Fibonacciho a, +2 - an + 1 + an, (1 + 75)^+1 _ (1 _ ^5^+1 ao = 1, ai = 1 2n + 1VŠ Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a7 poznámka aritmetická geometrická an + l — an + d an+l —Qan + nd qna0 d - diference, q - kvocient, an — ^an-lan + l Fibonacciho a, +2 - an + 1 + an, (1 + 75)^+1 _ (1 _ ^5^+1 ao = 1, ai = 1 2n + 1VŠ pro „velká" n „se chová" jako geometrická s kvocientem |(i + VE) a počátečním členem ^(5 + VE) Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — ^/an_1anjt_1 Fibonacciho «n, + 2 = «n + l + an, yj^n+l _ (1 _ y/5)n+1 ao = 1, ai = 1 - r — 1 logistická anjri — ran í 1 —--1 r - růstový koeficient, r K 2n + 1V5 K - kapacita (úživnost) Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an^r\ — an + d + nd d — diference, an — ^K-i + «n+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — ^/an_1anjt_1 Fibonacciho «n, + 2 = «n + l + an, yj^n+l _ (1 _ y/5)n+1 ao = 1, ai = 1 - r — 1 logistická anjri — ran í 1 —--1 r - růstový koeficient, r K 2n + 1V5 K - kapacita (úživnost) r = 2, K = \, cin = 2(1 - an): an = § (l - (1 - Žao)2") r = 4, X = |, an = 4(1 - an): an = [sin (2n arcsin yäô)]2 Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost. ian}n=0 iAan}n=0 Diference a její význam První diference vpřed: Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost. {an}n=0 => iAan} Rekurentní formuli lze přepsat pomocí diference: Příklad: mita lim n—)-oo Limita lim a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Limita lim a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Chyl, Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; a n a < e. Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a je menší než „měřítko malosti", a; a n a < e. Proces: zvětšování indexu n Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a je menší než „měřítko malosti", a; a n a < e. Proces: zvětšování indexu n Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu Limita lim a n—)-oo n Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a Proces: zvětšování indexu n Chyl, je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" e jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a. Limita lim a n—)-oo n Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a Proces: zvětšování indexu n Chyl, je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" e jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a. (Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e Limita lim a n—)-oo n Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a Proces: zvětšování indexu n Chyl, je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" e jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e Limita lim a n—)-oo n Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a Proces: zvětšování indexu n Chyl, je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" e jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0) a n a < e Limita lim a n—)-oo n Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a Proces: zvětšování indexu n Chyl, je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" e jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0) a n a < e Vlastnosti limity 7/ Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}T=o se nazývá konvergentn n—)-oo Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}T=o se nazývá konvergentn n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}T=o se nazývá konvergentní. n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená • (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c n—)-oo Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}T=o se nazývá konvergentní. n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená • (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}T=o se nazývá konvergentn n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená • (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo • (Vn)an lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo • (Vn)an lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo • (Vn)an lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo • (Vn)an lim an = c • (Vn)an < bn =^> lim an < lim 6? n—)-oo "n n—)-oo n—)-oo (Vn)an lim an6n = 0 n—)-oo n—)-oo lim (an db bn) = lim an db lim bn n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim anbn = lim an • lim bn n—)-oo n—)-oo n—)-oo an lim an lim —^ = ^T^00 pokud lim bn ^ 0 n^oo 6n lim 0n n^oo n—)-oo Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 lim n + 1 n Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim qn = 0 pro \q\ < 1 n—)-oo lim n + 1 n 1 lim ( 1 + - 1 1+ lim - = 1 + 0=1 n—)-oo 77, Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 lim n2 - 2n + 1 n2 — 1 Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 lim n2 - 2n + 1 n2 — 1 = lim (n-l): lim n — 1 lllll--—-- — lllll - n^oo [n + l)(n — 1) n^oo n + 1 lim n—)-oo 1 n + 1 Příklady 1 lim n—)-oo n , = o, k e N, lim qn = O pro \q\ < 1 n—)-oo lim n—>-oc n2 - 2n + 1 = lim (n - 1): lim n — 1 n2 — 1 n^oo (n + l)(n — 1) n^oo n + 1 lim ( 1 n—)-oo 71+ 1 1-* + A lim -s_ n n—)-oo 1 — 1 1 Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 2n lim —— n^oo 2n+1 Příklady 1 lim —: = O, ke N, lim qn = O pro q < 1 n—)-oo fi n—)-oo lim ——-— = lim n->oc 2n+1 - 3n+1 n^oo \ 2n+1 - 3n+1 2n+1 - 3n+1 lim n^~So \2 - 3(f)n 2(|)n - 3 Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 lim n—)-oo 2 n Příklady lim 1 n—)-oo Ti k O, fcGN, lim q n—)-oo n 0 pro \q\ < 1 lim n—)-oo 2 n n2 n2 0 < — = --- 2n (1 + 1) n l + n + + 1 8/14 Příklady lim 1 n—)-oo Ti k = O, k e N, lim qn = O pro g < 1 n—)-oo lim n—)-oo 2 n n2 n2 0 < — = --- 2n (1 + 1) Ti' Ti' n i+„+I;) + M+... + i n0) an> H Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Cleny posloupnosti neomezeně rostou. Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze Ať zvolíme „hranici velikosti" H jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti větší než hranice H a při dalším zvětšování indexu již pod tuto hranici neklesnou. (WH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna. Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > # Posloupnost {an}^L0 diverguje do nekonečna. Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > # Posloupnost {an}^L0 diverguje do nekonečna. lim an = —oo n—)-oo Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > # Posloupnost {an}^L0 diverguje do nekonečna. lim an = —oo n—)-oo (Vil G M)(3n0 G N)(Vn > n0) an < H Posloupnost {an}^L0 diverguje do minus nekonečna. Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená => lim (an =b bn) n—>oo n—>-oo lim an = —oo, {bn}^=0 je ohraničená =^> lim (an ± 6n) n—?-oo n—?-oo Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená =^> lim (an ± bn) = oo n—?-oo n—?-oo lim an = —oo, {6n}^L0 je ohraničená => lim (an ± 6n) = —oo n—>-oo n—>-oo • lim an = =boo, 6n > S > O lim anbn = =boo n—>oo n—>oo lim an = ±00, bn < ô < O =^> lim an6n = +00 n—>-oo n—?-oo Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Divergentní posloupnost je neohraničená lim a n—)-oo lim a n—)-oo n n oo, {bn}^=0 je ohraničená — oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± bn) lim (an ± bn) 00 ■00 lim a lim a n n ±00, 6n > S > O =^> lim anbn = ±00 n—)-oo ±00, bn < ô < O =^> lim an6n = ^00 an — n, lim an = 00, frn = —, n—?-00 1 lim arí.frrí, — 1 n—?-oo a r, — n2, lim an = 00, bn = —, 77, - I t/ . 11111 <-^7í, - . ivf-}, - . lim ÍÍ77, ř^TT, - lllll 77/ - OO n—>-oo 72 n—>-oo n—>-oo an — n, lim an = oo, bn = —7, n—?-00 77/ lim anfrn. — Hm — = O n—?-oo n—>-oo 72 10 / 14 Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an =b bn) = oo n—>oo n—>oo lim an = —oo, {6n}^L0 je ohraničená =^> lim (an ± 6n) = —oo n—?-oo n—?-oo • lim an = ±00, bn > ô > O =^> lim an6n = ±00 n—T-oo n—>oo lim an = ±00, bn < ô < O =^> lim an6n = ^00 n—?-oo n-^-oo • lim an = ±00, {bn}^=0 je ohraničená =^> lim — = O n—>oo n—>oo CLn Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 Je ohraničená =^> lim (an ± bn) = oo n—)-oo n—)-oo lim an = —oo, {bn}^L{) je ohraničená =^> lim (an ± 6n) = —oo lim an = ±00, bn > ô > O =^> lim an6n = ±00 n—)-oo n—)-oo lim an = ±00, bn < ô < O =^> lim an6n = ^00 n—)-oo n—)-oo 5n lim an = ±00, {^n}^L0 Je ohraničená lim — = O n—)-oo n—)-oo (2r) lim an = O, an > O =^> lim — = 00 n—)-oo n—)-oo &n lim an = O, an < O =^> lim — = —00 n—)-oo n—)-oo &n Vlastnosti nevlastní limity Operace na R* = R U {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel) Vlastnosti nevlastní limity Operace na R* = R U {—00,00} (rozšírené množině reálných čísel) c e R, c ^ 0 • c + 00 = 00, c — 00 = — 00 • c > 0 =^> c00 = 00, c(—00) = —00 c < 0 ^> c00 = —00, c(—00) = 00 c c • — = -= 0 00 —00 1 • - = 00 0 • 00 + 00 = 00 • 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00 Vlastnosti nevlastní limity Operace na R* = R U {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel) c e R, c ^ 0 • c + 00 = 00, c — 00 = —00 • c > O ^> c00 = 00, c(—00) = —00 c < O ^> c00 = — oo, c(—00) = 00 c c • — = -= O 00 —00 1 • - = 00 O • 00 + 00 = 00 • 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00 m - 0 00 n Neurčite výrazy: -, —, U • 00, 00 — 00 O 00 Vlastnosti nevlastní limity Operace na R* = M U {—00,00} (rozšírené množině reálných čísel) c e R, c ^ 0 • c + 00 = 00, c — 00 = —00 c > 0 ^> c00 = 00, c(—00) = -c < 0 => c00 = —00, c(—00) = •00 00 c = 0 00 —00 1 0 00 00 + 00 = 00 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00 Neurčite výrazy: - — 0_ 1 o 0 „ . 1 0 11 0-0 0 = - 0-00 = 0-- = -, 00-00= --- = — = - Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k e N, n—>oo lim qn < n—too í=0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 11 / 14 Příklady - nevlastní limity lim nk = oc, k e N, n—>oo lim qn < n—too í=0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 lim (4 - 3n + 2n2 - n3) n—>-oo Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, fcGN, n—)-oo lim qn < n—)-oo = 0 = 1 = oo ^ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim (4 - 3n + 2n2 - n3) = lim (4, - ^ + f - l) n3 = - oo n—)-oo Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k e N, n—>oo lim qn < n—too í=0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 lim n—>oo n2 + 2n + 1 1 — n2 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, fcGN, n—)-oo lim q \ = 0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < 1 lim n 2 + 2n + 1 1 — ri (n + 1)2 n + 1 —-——--- = lim - = lim n-)>oo (1 -|- n)(l — Ti) n-)>oo 1 — fl n^oo = lim 1 — n i =-i Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim qn \ n—)-oo 0 1 oo [ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 n2 + 2n + l n. (n + 1)2 n. n +1 .. f 2 --— = lim--—-- = lim - = lim--1 1 — TlZ n^oo (1 + n)(l — Ti) n^oo 1 — n n^oo \1 - n = iimi±i±ii = i±^ = -i n^oo -W — 1 0—1 Příklady - nevlastní limity lim nk n—>oo = ex), k e N, lim qn < n—too í=0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro q < — 1 2n4 - 3n3 + 5 lim--- n^oo 3n5 + 4n + 1 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim qn \ n—)-oo 0 1 oo [ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 = lim ^ ^2 H~ ^5 O 0 + 0 2n4 - 3n3 + 5 3n5 + 4n + 1 n-TÓc 3 + 4 + i 3 + o + 0 = 0 11 / l Příklady - nevlastní limity lim nk n—>oo = ex), k e N, lim qn < n—too í=0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro q < — 1 2n4 - 3n3 + 5 lim--- n-^oo 3nó + 4n + 1 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k e N, n—)-oo lim qn \ n—)-oo = 0 = 1 = oo ^ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro q < — 1 2n4-3n3 + 5 , 2n lim--- = lim — n^oo 3fló + 4n + 1 n^oo 3 -h + ^3 -3 + 4 4 , 1 = OO Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim qn < n—)-oo 0 1 oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro <7 < —1 .. afcnfc + ak-ink 1 H-----h a0 lim------— n^oo bmnrn + bm-inrn 1 + • • • + Oq í sgn( CLk b i O, )oo, k > m k = m k < m 11 / 1 Posloupnosti Aplikace: Růst homogenní populace Růst homogenní populace Růst homogenní populace s omezenými zdroji Aplikace: Růst homogenní populace Růst homogenní populace 13 / Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách 13 / Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(ť) + 6x(í) - dx(t) d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) (i - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) (i - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) = rx(í) d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) = rx(í) d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 x(t + 1) = rx(t) Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) = rx(í) d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 x (t + 1) = r#(£) Rekurentní formule pro geometrickou posloupnost Thomas R. Malthus 1766-1834 13 / 14 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí x(t + 1) = x(t) + 6x(í) - dx(t) = (1 + 6 - d)x(í) = rx(í) d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 #(£ + 1) = rx(t) x(0) = xq - počáteční velikost populace x(ť) = XqV* Thomas R. Malthus 1766-1834 13 / 14 Růst homogenní populace x(ť) - velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených" jednotkách d - úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d G (0,1) b - porodnost (průměrný počet potomků jedince), b > 0 r = 1 + b — d - růstový koeficient, r > 0 x(t + 1) = rx(t) x(0) = xq - počáteční velikost populace x(t + 1) x(t + 1) = x(ť) + narození — uhynulí + 6x(í) - = (1 + b - d)x(t) = rx(t) x(t) r > 1, tj. b > d, populace roste < r = 1, tj. b = (i, populace má konstatntní velikost r < 1, tj. b < d, populace vymírá Thomas R Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(ť), x(0) = xq Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(t), x(0) růstový koeficient r x(t + l) x(t) Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(t), x(0) růstový koeficient r x(t + l) x(t) závisí na velikosti populace r = r(x(ťf) Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) x(t r Růst homogenní populace s omezeným zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) x(t r 1 Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) x(t r Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r — (r — 1)^ ) x{t) Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) x(t r Maynard Smith, May: x(t+ 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1)--— 1 + (r - 1) x(t) x(t) Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Maynard Smith, May: x{ť) x(í+l)= r-(r-l)^ )x(t) Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1) -— 1 + (r - 1) x(ť) x(t) r Ricker: x(í + 1) = r Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r - (r - 1) x{ť) Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1) -— x{ť) 1 + (r - 1) x(ť) x(t) r Ricker: x(í + 1) = r Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Ax(t) = (r - 1) 1 - x(t) x(i) r Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1)--— 1 + (r - 1) x(t) x(t) Ricker: x(t + 1) = r1 x Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Ax(t) = (r - 1) 1 - x(t) x(i) r Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1)--— 1 + (r - 1) x(t) x(t) K Ax (t) =■ l + (r-l) x(t) x(t) x{ť) Ricker: x(t + 1) = r1 ir' x Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Ax(t) = (r - 1) 1 - x(t) x(i) r Beverton-Holt, Pielou: x(t + 1)--— 1 + (r - 1) x(t) x(t) K Ax (t) r — 1 r x (ť) x(t + 1) Ricker: x(í + 1) = r1 ir' x Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t + 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Ax(t) = (r - 1) 1 - x(t) x(i) r Beverton-Holt, Pielou: x(í+l)= r 1 + (r - 1) x(t) x(t) K Ax (t) r — 1 r x(t) x(í + 1) Ricker: x(t) x (t + 1) = r1 ^ x / . cc(í) Ax(í) ír1-"^ - Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Malthus: x(t + 1) = rx(t) Ax(t) = (r- l)x(í) Maynard Smith, May: x(t+ 1) = (r - (r - 1) x{ť) x{ť) Ax(t) = (r - 1) 1 x(t) x(ť) r Beverton-Holt, Pielou: x(í+l)= T 1 + (r - 1) x(t) x(t) K Ax (t) r — 1 r x(t) x(t + 1) Ricker: x(í + 1) = r1 ^ x Ax(t) Ír1- " - Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) x(t Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) Základní rovnice: x(t + 1) r 1 + (r - 1) x (ť) ~K~ /3 x(í) r Ax(í) r — 1 l + (-D(#) /3 1 - X p' X (t) Růst homogenní populace s omezeným zdroji x(t +.1) x(t r 1 Rovnice se zpožděním: x(t + 1) r l + (r-D (^1) /3 x(í) Růst homogenní populace s omezenými zdroji x(t +.1) r Allee: x(t +1) = r(K-*y- 4K x{ť) Růst homogenní populace s omezeným zdroji x(t +.1) r Gompertz: x(t + 1) = (rx(t)~^^ x(ť)