\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z M1110, podzim 2020}
\end{center}
\bigskip



%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
3&1&2\\
1&-1&-3\\
2&1 &2
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
 Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&4&-2&3\\
2&9&3&-2\\
-1&-6 &-11&4\\
0&-1&-6&0
\end{pmatrix}.$$ 
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
\end{zad}

\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
154&-179&-205&235\\
-36&42&48&-55\\
6&-7 &-8&9\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&a&0&0&0\\
0&1&a&0&0\\
0&0 &1&a&0\\
0&0&0&1&a\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}


\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici tvaru $n\times n$
$$\begin{pmatrix}
2-n&1&1&\dots&1&1\\
1&2-n&1&\dots&1&1\\
1&1 &2-n&\dots&1&1\\
.&.&.&\dots&.&.\\
1&2&1&\dots&2-n&1\\
1&1&1&\dots&1&2-n
\end{pmatrix}.$$ 
\end{zad}

\begin{navod} K 1. řádku přičtěte ostatní řádky. 
\end{navod}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
 Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů s operacemi stejnými jako na vektorovém prostoru jsou rovněž vektorové podprostory.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $U=\{f\in\R[x]|\ f(3)=0, \ f(-1)=0\}\subset \R[x]$,
\item[(b)] $V=\{A\in \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)|\ a_{11}+a_{22}=1\}\subset \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)$,
\item[(c)] $W=\{A\in\operatorname{Mat}_{n\times n}(\R)|\  \operatorname{det} A=0\}\subset \operatorname{Mat}_{n\times n}(\R)$,
\item[(d)] $Z=\{f:\N\to\R|\ f(n+1)=f(n)+f(n-1)\}\subset \{f:\N\to\R\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\bigskip


\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Ukažte, že množina
$$U=\{(x_1,x_2)\in \R^2;\ x_1>0, x_2>0\}$$
společně s operacemi
$$(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1y_1,x_2y_2),\quad a\odot(x_1,x_2)=(x_1^a,x_2^a)$$
tvoří vektorový prostor nad $\R$.
\end{zad}


\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } Ukažte, že množina $U=\R^3$ s operacemi
$$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\quad a\odot(x_2,x_2,x_3)=
(ax_1,x_2,x_3)$$
není vektorový prostor. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
\end{zad}
\bigskip



\end{document}

