\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z M1110, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

Bylo by dobré udělat minimálně příklady 1, 2, 3 a 5 nebo 6.
\medskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&+ &3x_4&+&2x_5&=&-2\\
2x_1&+&x_2&+&x_3&+ &x_4&+&3x_5&=&1\\
x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&+&2x_3&+&2x_4&+&3x_5&=&0
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{res} Nemá řešení. 

\parindent=0pt
http://www.math.muni.cz/\~{ }xfrancirekp/vyuka/sedme\_cviceni/sedme\_cviceni.pdf
\end{res}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1&+&2x_2&+&x_3&- &x_4&+&x_5&=&0\\
2x_1&+&x_2&+&2x_3&- &2x_4&+&2x_5&=&0\\
2x_1& &&+&x_3&-&x_4&+&2x_5&=&-1\\
x_1&+&x_2&+&2x_3&-&2x_4&+&x_5&=&1
\end{array}$$
\end{zad}
\begin{res} 
$[-1,0,1,0,0]+s(0,0,1,1,0)+t(-1,0,0,0,1)$

\parindent=0pt
http://www.math.muni.cz/\~{ }xfrancirekp/vyuka/seste\_cviceni/sedme\_cviceni.pdf
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcr}
2x_1&-&x_2&+&x_3&- &x_4&=&1\\
2x_1&-&x_2& & &- &3x_4&=&2\\
3x_1& &&-&x_3&+&x_4&=&-3\\
2x_1&+&2x_2&-&2x_3&+&5x_4&=&-6
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{res} 
Jediné řešení.
\end{res}


\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
 Řešte soustavu rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
2x_1&-&3x_2&+&17x_3&     -    &29x_4&-&36x_5&=&22\\
2x_1&-&3x_2&+&18x_3&-         &27x_4&+&33x_5&=&21\\
12x_1&- &18x_3&+&102x_3&- &174x_4&-&216x_5&=&132\\
2x_1&-&3x_2&+&21x_3&-         &24x_4&-&30x_5&=&20\\
2x_1&-&3x_2&+&24x_3&-         &21x_4&-&27x_5&=&19
\end{array}$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Řešte soustavu rovnic pro neznámé $x,\ y,\ z$ v závislosti na hodnotách parametru $a\in\mathbb R$:
$$\begin{array}{rcrcrcr}
x&+&y&+&az&=&1\ \\
x&+&ay&+ &z&=&a\ \\
ax&+&y&+&z&=&a^2\\
\end{array}$$
\end{zad}

\begin{res} Výsledek - příklad 5 

\parindent=0pt
https://is.muni.cz/auth/el/sci/podzim2020/M1110/um/sbirky\_prikladu/vysledky/vysled2.pdf
\end{res}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Najděte všechny dvojice parametrů $a,b\in\R$, pro které je množina řešení soustavy rovnic
$$\begin{array}{rcrcrcr}
x&+&y&+&az&=&1\\
x&+&ay&+ &2z&=&1\\
ax&+&y&+&3z&=&b\\
\end{array}$$
o neznámých $x,y,z\in\R$ 
\begin{enumerate}
\item[(a)] prázdná,
\item[(b)] nekonečná.
\end{enumerate}
V druhém případě soustavu vyřešte.
\end{zad}




\end{document}

