\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  7. cvičení z M1110, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Spočtěte souřadnice polynomu $1+3x+5x^2+10x^3$ v bázi
$$\alpha=(1+x+2x^2-x^3, 1+2x+x^3, 1+x+3x^2-x^3, 2+2x+4x^2+5x^3)$$
prostoru $\R_3[x]$.
\end{zad}

\begin{res} $(-10,2,7,1)$
\end{res}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů $P$ a $Q$ v $\R^4$, jestliže
\begin{align*}
P&=[(4,0,-2,6), (2,1,-2,3),(3,1,-2,4)],\\
Q&=[(1,-1,0,2),(2,2,-1,3),(0,1,1,0)].
\end{align*} 
\end{zad}

\begin{res} Průnik má dimenzi 2 a bázi např. $(1,-1,0,2), (-2,-1,2,-3)$.
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů $K$ a $L$ v $\R^4$, jestliže
\begin{align*}
K&=[(1,2,0,3), (0,1,1,2),(2,0,1,1)],\\
L&=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \R^4; \ 2x_1+3x_2-x_3-2x_4=0\}.
\end{align*} 
\end{zad}

\begin{navod} Průnik najděte přímo, bez hledání báze podprostoru $L$. Součet najděte pomocí formulky pro dimenze. 
\end{navod}


\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Najděte báze a dimenze  podprostorů 
$$P=\{f\in\R_4[x]|\ f(1)=0, \ f(2)=0\}\quad\text{a}\quad Q=\{g\in \R_4[x]|\ g(x)=g(-x)\}$$
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
\end{zad}

\begin{res} $\dim P=3$, $\dim Q=3$, $\dim P\cap Q=1$, $\dim P+Q=5$, tedy $P+Q=\R_4[x]$.
\end{res}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Nechť $\alpha=(u_1,u_2,u_3)$ je báze prostoru $U$. Souřadnice vektoru $v\in U$ v této bázi jsou jsou 
$$(v)_{\alpha}=\begin{pmatrix} 2\\3\\-4 \end{pmatrix}.$$
Najděte souřadnice vektoru $v$ v bázi $\beta=(u_3, u_1+2u_2, u_1-u_2+2u_3)$.
 \end{zad}


\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Najděte báze a dimenze následujících vektorových prostorů:
\begin{enumerate}
\item  $U=\{A\in \operatorname{Mat}_{4\times 4}(\R); \ A \text{ je antisymetická matice}\}$ nad $\R$,
\item $\C_2[x]$ jako vektorového prostoru nad $\R$,
\item $\R^M$ nad $\R$, kde $M$ je konečná množina.
\end{enumerate} 

\end{zad}


\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.$^*$\ } (Vracíme se k příkladu 8 z předchozího cvičení.) Ukažte, že vektorový prostor  $\R^{\N}$ všech posloupností reálných čísel nemá nad $\R$ konečnou dimenzi.  Zjistěte prvně, jak je to s dimenzí  vektorového podprostoru
$$W=\{f:\N\to \R; \exists n\in \N\ \forall i\ge n:\ f(i)=0\}.$$
\end{zad}






\end{document}

