Poissonův proces
– je základním nástrojem pro stochastické modelování v pojistné
matematice
– Diskrétní (čítací) proces ve spojitém čase
– Příklad Markovského řetězce ve spojitém čase
– typická aplikace: počet pojistných nároků do času t.
Základní vlastnosti Poissonova procesu
Definice 7.1. Poissonův proces s intenzitou λ > 0 je proces
N = {N(t) : t ≥ 0} nabývající hodnoty v S = {0, 1, 2, . . . } takový,
že
1. N(0) = 0 a pro s < t je N(s) ≤ N(t).
2. P(N(t + h) = n + m|N(t) = n) =



λh + o(h) pro m = 1
o(h) pro m > 1
1 − λh + o(h) pro m = 0
.
3. Je-li s < t, pak počet N(t) − N(s) událostí v intervalech [s, t]
je nezávislý na N(s), t.j. počtu událostí v [0, s].
– N(t) . . . počet příchodů, událostí, emisí do času t.
– N je tzv. čítací proces.
Zajímá nás rozložení N(t).
Věta: N(t) má Poissonovo rozdělení s parametrem λt, tedy
P(N(t) = j) =
(λt)j
j!
e−λt
, j = 0, 1, 2, . . .
Důkaz: Podmíníme N(t + h) hodnotou N(t):
P(N(t + h) = j) =
i
P(N(t) = i) P(N(t + h) = j|N(t) = i)
=
i
P(N(t) = i) P((j − i) přích. v (t, t + h))
= P(N(t) = j − 1) P(1 příchod) + P(N(t) = j) P(žádný přích.) + o(h).
Tedy pj (t) = P(N(t) = j) splňuje
pj (t + h) = λhpj−1(t) + (1 − λh) · pj (t) + o(h) pro j = 0
p0(t + h) = (1 − λh) · p0(t) + o(h).
V první rovnici odečteme pj (t), vydělíme h a necháme h → 0. Pak
pj (t) = λpj−1(t) − λpj (t) pro j = 0 (1)
a podobně z 2.rovnice
p0(t) = −λp0(t).
Okrajové podmínky jsou
pj (0) = δj0 =
1 pro j = 0
0 pro j = 0.
To je systém diferenčně-diferenciálních rovnic pro pj (t).
Řešení najdeme pomocí generujících funkcí (v proměnné s a s
parametrem t).
Definujeme
G(s, t) =
∞
0
pj (t)sj
= E(sN(t)
).
Rovnici 1 vynásobíme sj a sečteme přes j. Dostaneme
∂G
∂t
= λ(s − 1)G
s okrajovou podmínkou G(s, 0) = 1. Řešení je zřejmě
G(s, t) = eλ(s−1)t
= e−λt
∞
0
(λt)j
j!
sj
Uvedeme si ještě důležitou alternativní definici.
Definice 7.2. Nechť T0, T1, . . . jsou dány vztahem
T0 = 0, Tn = inf{t : N(t) = n}.
Pak Tn se nazývá čas n-tého příchodu.
Definice 7.3. Definujeme časy mezi příchody (Inter-arrival times)
jako náhodné veličiny
Xn = Tn − Tn−1.
Ze znalosti N(t) umíme najít hodnoty Xn.
Naopak z Xn lze zrekonstruovat N(t) pomocí
Tn =
n
1
Xi ; N(t) = max{n; Tn ≤ t}.
Věta 7.4. Náhodné veličiny X1, X2, . . . jsou nezávislé a mají
exponenciální rozdělení s parametrem λ.
Připomenutí: Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s
parametrem λ > 0, jestliže její distribuční funkce je
F(x) = 1 − e−λx
x ≥ 0 (2)
Uvažujme Bernoulliho pokusy v časech δ, 2δ, 3δ, . . . a nechť W je
čas čekání na 1.úspěch. Pak
P(W > kδ) = (1 − p)k
Zvolme t pevně. Do času t jsme udělali přibližně k = t
δ pokusů.
Nechť δ → 0. Abychom dostali netriviální limitu, musí také p → 0.
Nechť p
δ → λ. Pak
P(W > t) = P W >
t
δ
· δ ∼= (1 − λδ)
t
δ → e−λt
Důkaz: Nejdříve uvažujeme X1:
P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt
.
Dále podmíníme X2 hodnotou X1,
P(X2 > t|X1 = t1) = P(žádný příchod v [t1, t1 + t]|X1 = t1).
Událost {X1 = t1} se vztahuje k intervalu [0, t1], zatímco událost
"žádný příchod v [t1, t1 + t] "k času > t1.
Z definice Poissonova procesu jsou nezávislé, tedy
P(X2 > t|X1 = t1) = P(žádný příchod v [t1, t1 + t]) = e−λt
.
Tedy X2 je nezávislá na X1 a má stejné rozdělení. Tvrzení dále
plyne indukcí přes n.
Složený Poissonův proces
Definice 7.5. Stochastický proces S(t) se nazývá složený
Poissonův proces, jestliže jej lze zapsat ve tvaru
S(t) =
N(t)
i=1
Xi (3)
kde N(t) je Poissonův proces a Xi jsou IID náhodné veličiny,
nezávislé na procesu N(t)
Moment generující funkce
Definice 7.6. Moment generující funkce náhodné veličiny X je
definována vztahem
M (t) = E etX
pro t ≥ 0.
Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f , pak
M (t) =
∞
−∞
etx
f (x) dx.
Pro každé k ∈ N je
E Xk
= M(k)
(0) .
Opravdu, derivujme integrál podle parametru,
M (t) =
∞
−∞
xetx
f (x) dx,
tedy
M (0) =
∞
−∞
xf (x) dx = E (X) .
Analogicky k-násobným derivováním dostaneme
M(k)
(t) =
∞
−∞
xk
etx
f (x) dx.
Tedy
M(k)
(0) = E Xk
Budeme chtít spočítat moment generující funkci složeného
Poissonova procesu. Z věty o celkovém očekávání dostaneme
MS(t)(z) = E ezS(t)
= exp(λt(MX (z) − 1)) (4)
Derivováním moment generující funkce získáme pro momenty
následující vztahy.
Věta 7.7. Pro očekávání složeného Poissonova procesu platí
E(S(t)) = λtE(X1) (5)
a pro jeho rozptyl
Var(S(t)) = λtE(X2
1 ) (6)
Cramér - Lundbergův model
Cramér - Lundbergův model je základním modelem v matematické
teorii neživotního pojištění - teorii ruinování.
Předpoklady Cramér - Lundbergova modelu:
1. Pojistné nároky nastávají v časech 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ . . . , což
jsou časy příchodu homogenního Poissonova procesu N(t)
2. Pojistný nárok přicházející v i-tém čase Ti má velikost Xi .
Posloupnost Xi tvoří nezávislé stejně rozdělené nezáporné
náhodné veličiny
3. Posloupnosti Ti a Xi jsou navzájem nezávislé. Tedy i N(t) a
Xi jsou nezávislé.
Proces
S(t) =
N(t)
i=1
Xi ,
který popisuje celkový pojistný nárok do času t se nazývá složený
Poissonův proces.
Formulace modelu
Ut ... proces přebytku
u = U0 ... počáteční přebytek (počáteční kapitál pojišťovny)
v čase t máme
Ut = U0 + Pt − St
Pt ... proces vybraného pojistného do času t
St ... proces ztrát, vyplacená plnění do času t
Nt ... proces počtu nároků
Tedy
St = X1 + · · · + XNt
je proces celkového nároku v čase t
Podle předpokladů, St je složený Poissonův proces.
Nt je Poissonův proces s intenzitou λ.
Xj tedy jsou IID a nezávislé na Nt.
Pojistné vybíráme spojitě s mírou c. Tedy
Pt = ct.
Je
E(St) = E(Nt)E(X) = λtµ
kde µ = E(X). Chceme
Pt > E(St)
tedy vezmeme
c = (1 + θ)λµ
kde θ je bezpečnostní (riziková) přirážka.
Máme tedy
Pt = (1 + θ)E(S1)t
Definice: pravděpodobnost přežití v nekonečném časovém
horizontu je
φ(u) = P(Ut ≥ 0 pro ∀t ≥ 0 | U0 = u)
a pravděpodobnost zruinování je
ψ(u) = 1 − φ(u).
Definice: Nechť t = κ je nejmenší kladné řešení rovnice
1 + (1 + θ)µt = MX (t),
kde MX (t) = E(etX ) je MGF n.v. X. Pak κ se nazývá Lundbergův
exponent (adjustační koeficient)
Lundbergova nerovnost
Věta: Nechť κ je Lundbergův exponent. Pak pravděpodobnost
zruinování splňuje
ψ(u) ≤ e−κu
pro u ≥ 0.